バイナリ形式の不変量

数学の不変量理論では、バイナリ形式の不変量とは、変数xとyに作用する特殊線型群の下で不変のままである、2 つの変数xとyのバイナリ形式の係数の多項式です。

2 進形式 (次数n ) は同次多項式 です。群はこれらの形式に作用して、を に、をにします。これにより、 と が張る空間への作用が、これらの変数の多項式に誘導されます。 不変量とは、この作用の下で不変であるこれらの変数の多項式です。より一般的には、共変量とは、 、 において不変である多項式です。したがって、不変量は、変数およびが発生しない共変量の特殊なケースです。さらに一般的には、同時不変量とは、およびにおけるいくつかの異なる形式の係数の多項式です。 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a_{ni}x^{ni}y^{i}=a_{n}x^{n}+ {\binom {n}{1}}a_{n-1}x^{n-1}y+\cdots +a_{0}y^{n}}$${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ax+by}$${\displaystyle y}$${\displaystyle cx+dy}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

表現論の観点から、群の任意の表現が与えられた場合、上の不変多項式の環を求めることができます。 の二元形式の不変量は、 を- 次元の既約表現と見なすことに対応し、共変量は、を 2 次元と 次元の既約表現の和と見なすことに対応します。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n+1}$

2 進形式の不変量は次数代数を形成し、ゴルダン (1868) は、基底体が複素数である場合にこの代数が有限生成であることを証明しました。

2、3、4、5、6、7、8、9、10 次形式は、2 次、3 次、4 次、5 次、6 次、7 次または 8 次、9 次、10 次または 10 次と呼ばれることもあります。「Quantic」は、任意の次数の形式の古い名前です。1、2、3、4、... 変数の形式は、1 次、2 次、3 次、4 次、... 形式と呼ばれます。

形式f自体は次数 1 、順序nの共変量です。

フォームの 判別式は不変量です。

2 つの形式の結果は、それらの同時不変量です。

ヒルベルト（1993、p.88）の形式のヘッセ行列共変量は、ヘッセ行列の行列式である。

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

これは、2 n − 4 次、2 次 共変量です。

カタレクティカントは、偶数次nのバイナリ形式の次数n /2+1の不変量です。

正規化数は、奇数次nの二元形式の次数と順序 ( n +1)/2の共変量です。

ヤコビアン​

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\end{bmatrix}}}$

は、2つの形式f、gの同時共変です。

不変量環の構造は、小さい次数については解明されている。シルベスターとフランクリン (1879) は、10 次までの形式について不変量と共変量の生成元の数の表を示したが、この表には、大きな次数についてはいくつかの小さな誤りがあり、そのほとんどは、いくつかの不変量または共変量が省略されている箇所である。

線形形式の場合、不変量は定数のみです。共変量の代数は、次数 1、順序 1 の形式自体によって生成されます。 ${\displaystyle F_{1}(x,y)=Ax+By}$

二次形式の不変量の代数は、2 次 判別式によって生成される 1 変数の多項式代数です。共変量の代数は、判別式と形式自体 (次数 1、順序 2) によって生成される 2 変数の多項式代数です。(Schur 1968、II.8) (Hilbert 1993、XVI、XX) ${\displaystyle F_{2}(x,y)=Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}}$${\displaystyle B^{2}-AC}$

3 次形式の不変量の代数は、4 次判別式によって生成される 1 変数の多項式代数です。共変量の代数は、判別式、形式自体 (1 次、3 次)、ヘッセ行列 (2 次、2 次)、および3 次、3 次共変量によって生成されます。これらは、 6 次、6 次という関係にあります。(Schur 1968、II.8) (Hilbert 1993、XVII、XX) ${\displaystyle F_{3}(x,y)=Ax^{3}+3Bx^{2}y+3Cxy^{2}+Dy^{3}}$${\displaystyle \Delta =3B^{2}C^{2}+6ABCD-4B^{3}D-4C^{3}AA^{2}D^{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 4H^{3}=Df^{2}-T^{2}}$

4次形式の不変量の代数は、次数2、3の不変量 、 によって生成される。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{4}(x,y)&=Ax^{4}+4Bx^{3}y+6Cx^{2}y^{2}+4Dxy^{3}+Ey^{4}\\i_{F_{4}}&=AE-4BD+3C^{2}\\j_{F_{4}}&=ACE+2BCD-C^{3}-B^{2}E-AD^{2}\end{aligned}}}$$

この環は、レベル 1 のモジュラー形式の環と自然に同型であり、2 つの生成元はアイゼンシュタイン級数とに対応します。共変量の代数は、これら 2 つの不変量と、次数 1 で順序 4 の形式、次数 2 で順序 4 のヘッセ行列、次数 3 で順序 6 の共変量によって生成されます。これらは、次数 6 で順序 12 の合同関係で関連付けられています。(Schur 1968、II.8) (Hilbert 1993、XVIII、XXII) ${\displaystyle E_{4}}$${\displaystyle E_{6}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle jf^{3}-Hf^{2}i+4H^{3}+T^{2}=0}$

5 次形式の不変量の代数はシルベスターによって発見され、4、8、12、18 次不変量によって生成されます。4、8、12 次生成子は、18 次エルミートの歪不変量の平方を含む多項式環を生成します。不変量を明示的に記述するのはかなり複雑です。シルベスターは、4、8、12、18 次生成子には、非常に大きな係数を持つことが多い 12、59、228、848 個の項があることを示しました。(Schur 1968、II.9) (Hilbert 1993、XVIII) 共変量環は 23 個の共変量によって生成され、そのうちの 1 つは次数3、順序 3 の 標準形です。

6 次形式の不変量の代数は、次数 2、4、6、10、15 の不変量に​​よって生成されます。次数 2、4、6、10 の生成元は、次数 15 の生成元の平方を含む多項式環を生成します。(Schur 1968、II.9) 共変量の環は、26 個の共変量によって生成されます。不変量の環は、種数 2 の曲線のモジュライ空間と密接に関連しています。これは、そのような曲線が 6 点で分岐する射影直線の二重被覆として表され、6 点が 2 元 6 次式の根としてとられるためです。

バイナリ セプティックの不変量環は異常であり、いくつかの出版された誤りを引き起こしました。ケイリーは不変量環は有限生成ではないと誤って主張しました。シルベスターとフランクリン (1879) は、不変量環と共変量環の生成元の数の下限を 26 と 124 とし、証明されていない「基本公理」は等式が成り立つことを意味すると指摘しました。しかし、フォン ガル (1888) は、シルベスターの数が生成元の数 (不変量環の場合は 30、共変量環の場合は少なくとも 130) と等しくないことを示し、シルベスターの基本公理は誤りです。フォン・ガル (1888) とディクスミアとラザード (1988) は、次数 7 の形式の不変量代数は、次数 4 の不変量 1 個、次数 8 の不変量 3 個、次数 12 の不変量 6 個、次数 14 の不変量 4 個、次数 16 の不変量 2 個、次数 18 の不変量 9 個、次数 20、22、26、30 がそれぞれ 1 個ずつの集合によって生成されることを示した。クロニ (2002) は、共変量環の生成元を 147 個示している。

シルベスターとフランクリン (1879) は、8 次形式の不変量環は 2、3、4、5、6、7、8、9、10 次数の 9 つの不変量に​​よって生成され、共変量環は 69 個の共変量によって生成されることを示した。アウグスト・フォン・ガル (フォン・ガル (1880)) と塩田 (1967) は、不変量環の生成元を確認し、それらの間の関係のイデアルは 16、17、18、19、20 次数の要素によって生成されることを示した。

Brouwer & Popoviciu (2010a) は、9次形式の不変量の代数は92個の不変量に​​よって生成されることを示した。Cröni、Hagedorn、Brouwer ^[1]は476個の共変量を計算し、Lercier & Olive はこのリストが完全であることを示した。

シルベスターは、2進10進数の不変量環は104個の不変量で生成され、共変量環は475個の共変量で生成されると述べました。彼のリストは16次までは正しいのですが、それ以上の次数では間違っています。BrouwerとPopoviciu (2010b)は、10次形式の不変量代数は106個の不変量で生成されることを示しました。HagedornとBrouwer ^[1]は510個の共変量を計算し、LercierとOliveはこのリストが完全であることを示しました。

11 次バイナリ形式の不変量環は複雑であり、まだ明示的に記述されていません。

シルベスター (1881) は、12 次形式の場合、14 次までの基本不変量は 109 個あることを発見しました。より高い次数では、少なくとも 4 個多くあります。基本共変量の数は少なくとも 989 個です。

バイナリ形式の不変量と共変量の生成元の数は、それぞれ ( OEISのシーケンスA036983 ) と ( OEISのシーケンスA036984 )にあります。

バイナリ形式の共変量は、バイナリ形式とバイナリ線形形式の結合不変量と本質的に同じです。より一般的には、バイナリ形式の任意の集合の結合不変量 (および共変量) を求めることができます。これまでに研究されたいくつかのケースを以下に示します。

注:

• 線形形式の基本不変量は、その基本共変量と本質的に同じです。
• 2 つの 4 次方程式の場合、8 つの基本不変量 (次数 2 が 3 つ、次数 3 が 4 つ、次数 4 が 1 つ) と 28 の基本共変量が存在します。(Gordan は 30 の共変量を示しましたが、Sylvester はこれらのうち 2 つが既約であることを示しました。)

複数のフォーム:

• いくつかの線型形式の共変量: 線型形式の不変量環は、次数 2 の不変量に​​よって生成されます。線型形式の共変量環は、線型形式の不変量環と本質的に同じです。${\displaystyle n}$${\displaystyle n(n-1)/2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$
• いくつかの線形形式と二次形式の共変量:
  • 線型形式と二次形式の和の不変量環は、次数 2、次数 3、次数 4 の生成元によって生成されます。${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m(m-1)/2+n(n+1)/2}$${\displaystyle nm(m+1)/2+n(n-1)(n-2)/6}$${\displaystyle m(m+1)n(n-1)/4}$
  • 共変環の生成元の数については、に変更します。${\displaystyle m}$${\displaystyle m+1}$
• 多くの三次または四次共変量: Young (1898) を参照。

• 三元立方体
• 三次四次

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