同次多項式

数学において、同次多項式（こうじょうたにん）は、古い文献では量子多項式と呼ばれることもある、ゼロでない項がすべて同じ次数を持つ多項式のことである。^[1]たとえば、は2変数の5次同次多項式であり、各項の指数の合計は常に5である。指数の合計が項ごとに一致しないため、この多項式は同次ではない。同次多項式によって定義される関数は常に同次関数である。 ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$

代数形式、または単に形式 は、同次多項式によって定義される関数です。 ^{[注 1]} 2 元形式は2 つの変数の形式です。形式 はベクトル空間上で定義される関数でもあり、任意の基底上の座標の同次関数として表すことができます。

0 次多項式は常に同次です。これは単に係数の体または環の要素であり、通常は定数またはスカラーと呼ばれます。1 次形式は線形形式です。^{[注 2]} 2 次形式は二次形式です。幾何学では、ユークリッド距離は二次形式の 平方根です。

同次多項式は数学や物理学のいたるところで使われています。^{[注 3]同次多項式は}代数幾何学において基本的な役割を果たしており、射影代数多様体は同次多項式の集合の共通零点の集合として定義されます。

同次多項式は同次関数を定義します。つまり、多変数多項式 Pが次数dの同次である場合、

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

Pの係数を含む任意の体の任意の に対して成り立ちます。逆に、上記の関係が無限個に対して成り立つ場合 、多項式はd次同次です。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$

特に、Pが同次で あれば

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,}$

あらゆる に対してこの性質は射影多様体の定義において基本的なものである。 ${\displaystyle \lambda .}$

任意の非ゼロ多項式は、異なる次数の同次多項式の和​​として一意に分解できます。これらの和は、多項式の 同次成分と呼ばれます。

体上の多項式環 （または、より一般的には環）Kが与えられたとき、次数dの斉次多項式はベクトル空間（または加群）を形成し、これは一般に と表記されます。上記の一意の分解は、が（すべての非負整数上の和）の直和であることを意味します。 ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots,x_{n}]}$${\displaystyle R_{d}.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{d}}$

ベクトル空間（または自由モジュール）の次元は、 n変数の次数dの異なる単項式の数（つまり、n変数の次数dの同次多項式における非ゼロ項の最大数）である。これは二項係数に等しい。${\displaystyle R_{d}}$

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.}$

同次多項式は、同次関数に対するオイラーの恒等式 を満たす 。つまり、Pが不定元において次数dの同次多項式である場合、係数の 可換環が何であれ、${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$

${\displaystyle dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},}$

ここで、Pの形式的偏微分を表す。${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle x_{i}.}$

非同次多項式P ( x ₁ ,..., x _n )は、追加の変数x ₀を導入し、同次多項式^h Pを定義することによって同次化することができる。^[2]

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),}$

ここでdはPの次数である。例えば、

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

それから

${\displaystyle ^{h}\!P(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

同次多項式は、追加変数x ₀ = 1を設定することで非同次化できます。つまり、

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

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• ウィキメディア・コモンズの同次多項式に関連するメディア
• Weisstein、Eric W.「同次多項式」。MathWorld。