クライン・ゴルドン方程式

クライン・ゴルドン方程式は、1920年代半ばに多くの物理学者によって独立に発見されました。そのため、ヴォルフガング・パウリはこれを「多くの父を持つ方程式」と表現したことで有名です。^{[ 1 ]： 356} この方程式は、シュレーディンガーの相対論的方程式、あるいはクライン・ゴルドン・フォック方程式と呼ばれることもあります。^{[ 2 ]： 679}

1925 年 12 月にこの方程式を最初に発見したが、発表しなかったのはエルヴィン・シュレーディンガーであった。^{[ 2 ] : 679}彼の導出は、ド・ブロイの物質波の理論に触発されたもので、シュレーディンガーはそれらの進化を記述する波動方程式を見つけようとした。^{[ 3 ]}彼はクライン・ゴルドン方程式を水素原子に適用し、そのスペクトルの微細構造を計算した。これが実験結果と一致しないことがわかったため、彼は方程式をさらに調査する意欲を失った。その結果、彼は 1926 年初頭に方程式の非相対論的極限であるシュレーディンガー方程式のみを発表した。完全なクライン・ゴルドン方程式を発表したのは、1926 年 7 月の彼の 4 番目の論文においてのみであった。^{[ 4 ]}

1920年代、オスカー・クラインはド・ブロイの理論と似た独自の波動理論を発展させていた。^{[ 3 ]}特に、原子の波動理論はマクスウェルの電気力学とアインシュタインの一般相対性理論の統一につながると確信するようになった。このことから、彼は5次元相対性理論（カルツァ＝クライン理論を参照）でそれらを統一するというアイデアに至り、余剰次元は実際の物理的な方向ではなく、電荷を符号化する形式的な内部座標であると解釈した。[ 5 ] : ^{49この理論からクライン}＝ゴルドン方程式を導き出したが、1926年4月の出版物のごく一部を占めるに過ぎなかったため、あまり重要視しなかった。^{[ 6 ]}この方程式が印刷物に登場したのはこれが初めてだった。^{[ 3 ]}クラインは後に、シュレーディンガーよりも前の1925年の夏にこの方程式を最初に発見したと主張したが、これに関する直接的な一次証拠はない。

シュレーディンガーが非相対論的方程式を最初に発表した後、その方程式を相対論的形式に一般化することは容易なことであった。このようにしてパウリは1926年4月に相対論的方程式を得たが、それを発表しなかった。^{[ 7 ] [ 1 ]： 315}彼は、シュレーディンガー方程式の場合のように、行列力学と波動力学の等価性を確立するためにそれを使用することができなかったため、その方程式に対する信頼を失った。^{[ 3 ]}

一方、クラインの論文を知らなかったウラジミール・フォックも同様に方程式を導出し、6月に発表した。^{[ 8 ]}彼はゼーマン効果とシュタルク効果を研究するために波動方程式の議論に焦点を当てた。彼はまた、シュレーディンガーが以前に発見した方程式を使用して水素の微細構造を初めて発表した。その後まもなく、カール・エッカートもクライン・ゴルドン水素微細構造を計算した。^{[ 9 ]}

ルイ・ド・ブロイも同様にこの方程式を導出し、シュレーディンガーの物質波動理論仮説の非相対論的定式化に触発されて7月に発表した。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]： 44}

ウォルター・ゴードンもこの方程式を導出し、9月末に発表した^{[ 13 ] [ 14 ]： 115は}主にコンプトン効果への適用に焦点を当てており、クライン・ゴードン方程式に関連する電流も導出している。これは以前にクラインによって発見された結果である^{[ 3 ] 。}

最後に、クライン・ゴルドン方程式の発見者は他に3人いました。彼らはテオフィル・ド・ドンダーとフランス・H・ファン・デン・ドゥンゲンで、彼らは一般的な力学系を扱っており、量子論には全く明示的に焦点を当てていませんでした。 ^{[ 11 ] [ 5 ] : 49}彼らの論文は1926年7月に発表されました。^{[ 15 ]}ヨハン・クダールも同様に1926年にクライン・ゴルドン方程式について発表しました。^{[ 16 ] : 21 [ 17 ]}

この方程式はその後数年間、いくつかの問題を調査するために使用されました。たとえば、ビクター・ブルシアンはこれを使用して分散を摂動として扱い、シュレーディンガー方程式から得られた結果に対する相対論的補正が小さいことを発見しました。^{[ 18 ]}分散とコンプトン散乱の研究での使用を除けば、この方程式は、スピンを取り込むことができないため、ほとんどの物理的問題を扱うのにあまり役立ちませんでした。^{[ 3 ] : 1031}さらに重要なことに、この方程式は、ハイゼンベルクの不確定性原理、ボーンズの確率的解釈、ポール・ディラックとパスカル・ジョルダンの変換理論など、当時理解されていた量子力学の原理に対応できなかったため、理論家にとって魅力的ではありませんでした。^{[ 19 ] : 35}その結果、この方程式は量子力学の発展において重要な役割を果たしませんでした。

1928年にディラック方程式が発見された後、この方程式は事実上物理学から姿を消したが、1934年にパウリとヴィクトル・ヴァイスコフによって復活し、当時発展した場の量子化理論に基づいて再解釈され、スピン0粒子を記述する妥当な量子解釈が与えられた。^{[ 20 ] [ 2 ]： 684}これにより、素朴な量子力学的解釈で現れた負のエネルギー状態を、代わりに反粒子として再解釈することが可能になった。

最初に予測されたスピン0粒子は、 1935年に湯川秀樹によって予測された中間子で、方程式の一種が用いられた。^{[ 21 ]}最初に発見された中間子は、1947年に発見された荷電パイ中間子で、その運動学はクライン・ゴルドン方程式によって記述される。その後数十年の間に、他の多くの中間子が発見された。最初に発見された素粒子スピン0粒子は、2012年に発見されたヒッグス粒子である。

相対論的スカラー場は現代物理学において重要な役割を果たしているため、クライン・ゴルドン場も同様に多くの分野で不可欠である。例えば、このようなスカラー場は宇宙論やインフレーション理論^{[ 22 ]} : ^{154 、}アクシオンなどの暗黒物質候補やその他の多くの標準模型を超えるシナリオの記述^{[ 23 ]} 、弦理論などの理論物理学の多くの分野におけるモジュライの形で、およびAdS/CFT対応^{[ 24 ]}に見られる。

クライン・ゴルドン方程式は、実スカラー場の時間発展を記述する。${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})}$これは、時空内 の各点に実数を割り当てる場である。この方程式は^{、[ 2 ]}で示される2階双曲型偏微分方程式である^。680

$\displaystyle {\bigg (}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {c^{2}m^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bigg )}\phi (t,{\boldsymbol {x}})=0.}$

ここ$\displaystyle \nabla ^{2}}$ラプラス演算子は、${\displaystyle c}$光の速度、そして${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数です。${\displaystyle m}$はスカラー場の質量の役割を果たす。^{[注1 ]}この方程式の時間によらない場合、遮蔽されたポアソン方程式と等価である。この方程式のより簡潔な表現では、自然単位系が用いられ、光速と換算プランク定数の両方が1に設定される。${\displaystyle c=\hbar =1}$微分演算子はダランベール演算子の形をとる。${\displaystyle \square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$、 どこ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$は、隆起した平坦な計量である。クライン・ゴルドン方程式は、次の形式をとる^{[ 25 ]： 17}

クライン・ゴルドン方程式は複素スカラー場にも作用することができる。${\displaystyle \chi (x)}$は、時空内の各点に複素数を割り当てる場である。^{[ 25 ]： 18}この場合、方程式は、複素スカラー場の2 つの自由度に独立して作用する一対のクライン・ゴルドン方程式に分解できる。これらは、実数成分と虚数成分、または場とその複素共役である。この分解が成り立つのは、単一の複素スカラー場の非相互作用理論が、2 つの分離した実数スカラー場の理論と等価であるためである。

複素スカラー場の場合、ゲージ共変微分を導入することによって場を最小限に結合させることで電磁相互作用を導入することができる。

${\displaystyle D_{\mu }\chi =(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\chi (x),}$

どこ${\displaystyle A_{\mu }}$ゲージ場であり、${\displaystyle e}$はスカラー場の電荷である。共変微分は、ゲージ場とスカラー場が次のように変換されるゲージ変換の下で、結果として得られる理論がゲージ不変であることを保証するために導入される。

${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }\lambda (x),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \chi (x)\rightarrow e^{ie\lambda (x)}\chi (x),}$

ゲージパラメータの場合${\displaystyle \lambda (x)}$電磁気学に最小限に結合したクライン・ゴルドン方程式は次の形式をとる。

${\displaystyle (D_{\mu }D^{\mu }+m^{2})\chi (x)=0.}$

この方程式は、スカラー電気力学における複素スカラー場の発展を記述するものです。

ラグランジュ形式では、実スカラー場に対するクライン・ゴルドン方程式は、ラグランジアンのオイラー・ラグランジュ方程式として得られる^{[ 16 ]： 21}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}.}$

量子場理論において、このラグランジアンは質量を持つ非相互作用の実スカラー場を記述し、その励起は質量を持つスカラーボソンである。${\displaystyle m}$複素スカラー場の場合${\displaystyle \chi (x)}$そのラグランジアンは^{[ 25 ]で与えられる： 18}

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\chi ^{\dagger }\partial _{\mu }\chi -m^{2}\chi ^{\dagger }\chi .}$

クライン・ゴルドン方程式${\displaystyle \chi }$そして$\displaystyle \chi ^{\dagger }}$ラグランジアンを に関して変化させることによって が見つかる。$\displaystyle \chi ^{\dagger }}$そして${\displaystyle \chi }$それぞれ。このラグランジアンは明らかにグローバルな不変条件の下で不変である。${\displaystyle {\text{U}}(1)}$対称性は、ゲージ化するとスカラー電気力学をもたらす。^{[ 26 ]： 140}ラグランジュ形式は、ノーターの定理を用いて対称性に関連する電流を計算する際に有用である。^{[ 27 ]： 92}

この方程式は、粒子のエネルギーに関する非相対論的方程式からシュレーディンガー方程式が導出されるのと同様の方法で導出できる。特に、非相対論的極限では、エネルギーは${\displaystyle E}$運動量を持つ自由粒子${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$は

${\displaystyle E={\frac {1}{2m}}{\boldsymbol {p}}^{2}.}$

対応原理^{[ 14 ] : 116–117}を通じて運動量とエネルギーを演算子に高めることで

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}\rightarrow {\hat {\boldsymbol {p}}}=-i\hbar \nabla ,\ \ \ \ \ \ \ \ E\rightarrow {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}},}$

これによりシュレーディンガー方程式が得られる。^{[ 12 ] : 368}クライン・ゴルドン方程式も同様に、相対論的エネルギー・運動量関係式^{[ 2 ] : 680}においてエネルギーと運動量を対応する演算子で置き換えることによって得られる。

${\displaystyle E^{2}={\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}.}$

一方、上記の式の平方根の式を求めることは、時間と空間が同等に扱われないため問題があります。^{[ 28 ]： 4}さらに、微分演算子の平方根も存在し、これらは通常、平方根をテイラー展開することで処理されます。これにより、無限級数の高階微分項が生じ、理論の扱いが難しくなります。^{[ 14 ]： 118}

この方程式は時空並進とローレンツ群の下で共変的に変換される。これらを合わせてポアンカレ群を形成し、平坦な時空の等長変換を符号化する。スカラー場はローレンツ変換の下でスカラーとして変換される。つまり、${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}$スカラー場は次のように変換される${\displaystyle \phi '(x')=\phi (x)}$[ ^{12 ]： 364-365​}

^{グローバル対称性は、}ネーターの定理を通して電流と電荷を生み出す。4つの時空並進に対応する4つの電流は、応力エネルギーテンソルによって与えられ、実スカラー場理論の場合、それは^{[ 28 ]}で与えられる^。138

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }\phi \partial ^{\nu }\phi -g^{\mu \nu }{\mathcal {L}},}$

どこ$\displaystyle {\mathcal {L}}}$はラグランジアンである。保存電荷は、電流のゼロ次成分の空間積分によって与えられる。この場合、保存電荷は場の全エネルギーと運動量である。^{[ 27 ] : 95}ローレンツ変換の場合、6つの電流は応力エネルギーテンソルを用いて次のように表される。^{[ 28 ] : 139}

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu \rho }=x^{\nu }T^{\mu \rho }-x^{\rho }T^{\mu \nu }.}$

3つの回転自由度から生じる保存電荷は角運動量であり、3つのブーストについては、エネルギー中心の運動に対応する。

実スカラー場理論には内部離散的な${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$対称${\displaystyle \phi (x)\rightarrow -\phi (x)}$ただし、これは自由理論では力学的な結果をもたらしません。 ^{[ 28 ]： 144-145}複素スカラー場の場合、連続的な内部${\displaystyle {\text{U}}(1)}$位相対称性^{[ 16 ]： 79}

${\displaystyle \chi (x)\rightarrow e^{i\alpha }\chi (x),}$

^{[ 25 ]}で与えられる関連するネーター電流^{: 18}

${\displaystyle j^{\mu }=i(\chi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\chi -\chi \partial ^{\mu }\chi ^{\dagger }).}$

この対称性における保存電荷は、粒子数と反粒子数の差を測定する。電磁気学と結合すると、電荷は電気電荷となり、その保存は電荷保存に対応する。^{[ 27 ] : 96}

クライン・ゴルドン方程式は、ソース項を導入することにより、非斉次クライン・ゴルドン方程式に拡張することができる。${\displaystyle J(x)}$[ ^{27 ] : 66​}

${\displaystyle (\square +m^{2})\phi (x)=J(x).}$

^{この方程式は、 [ 27 ] : 146}の形式の一般解を持つ。

${\displaystyle \phi (x)=\int d^{4}y\ G(x,y)J(y),}$

どこ${\displaystyle G(x,y)}$^これはグリーン関数として知られており、方程式^{[ 28 ]の形式解である。55}

${\displaystyle (\square +m^{2})G(x,y)=-i\delta ^{4}(xy).}$

グリーン関数の原理${\displaystyle G(x,y)}$解決策を関連付ける${\displaystyle x}$強制的な条件に${\displaystyle y}$^{[ 27 ] : 145}グリーン関数はクライン・ゴルドン演算子の形式的な逆関数と見なすことができるが、${\displaystyle (\square +m^{2})^{-1}}$この選択は一意ではありません。^{[ 16 ]： 133}グリーン関数の正確な選択には境界条件の選択が必要であり、特定の値でゼロになるなど、そのサポートがある場所を指定します。${\displaystyle y}$。

例えば、遅延グリーン関数は、現在の解を厳密に過去のインパルスに関連付けるものとして定義される。$\displaystyle y^{0}<x^{0}}$^{[ 28 ]： 30}一方、高度なグリーン関数は、現在の解を厳密に未来からのインパルスに関連付けます。これらは次のように与えられます。

${\displaystyle G_{r,a}(x,y)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{ip\cdot (xy)}}{(p_{0}\pm i\epsilon )^{2}-{\boldsymbol {p}}^{2}-m^{2}}},}$

ここで、正の符号はグリーン関数の進歩に対応する。^{[ 29 ]}

境界条件のもう一つの一般的な選択は、時間順序付けを実装するファインマン伝播関数をもたらし、 ^{[ nb 2 ] [ 28 ] : 55}で与えられる。

${\displaystyle G_{F}(x,y)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{ip\cdot (xy)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.}$

量子場理論では、このプロパゲーターはスカラー場の時間順序付き2点相関関数に比例する。^{[ 25 ]： 31}

クライン・ゴルドン方程式は、スカラー場のフーリエ変換を代入することで直接解くことができる^{[ 27 ] : 59}

${\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\phi (p)e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}.}$

ダランベール演算子は指数部の4位の項にのみ作用し、運動量の因子を減少させる。すると、この方程式は平面波の4元運動量に対する制約に帰着する。

${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=m^{2}.}$

これをエネルギーと3次元運動量の観点から記述すると、質量を持つ粒子のエネルギー-運動量関係と等価であることがわかる。${\displaystyle E^{2}-{\boldsymbol {p}}^{2}=m^{2}}$^{[ 12 ] : 367}したがって、クライン・ゴルドン方程式の最も一般的な解は、運動量がエネルギー・運動量関係を満たす平面波解の重ね合わせである。 ^{[ 26 ] : 21}

デルタ関数をフーリエ変換解に挿入するなどしてオンシェル条件を課すことにより、解のより明示的な形式が見つかる^{[ nb 3 ]。}

${\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {d^{3}{\boldsymbol {p}}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E({\boldsymbol {p}})}}(A({\boldsymbol {p}})e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}+B({\boldsymbol {p}})e^{ip_{\mu }x^{\mu }}),}$

どこ${\displaystyle A({\boldsymbol {p}})}$そして${\displaystyle B({\boldsymbol {p}})}$は3運動量の任意の関数であり、${\displaystyle E({\boldsymbol {p}})={\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}}$これはモードのエネルギーです。この形式は、正の周波数解と負の周波数解の両方が必然的に存在することを明確に示しています。

クライン・ゴルドン方程式がクーロンポテンシャルによって電磁気学と最小限に結合している場合、スピンを持たないボソン粒子が原子核の周りを軌道運動するエキゾチック原子の研究に用いられる。^{[ 31 ]： 34}例えば、パイ中間子原子では、原子核の周りを負電荷を持つパイ中間子が軌道運動している。${\displaystyle \pi ^{-}}$質量${\displaystyle m_{\pi }}$パイオンの寿命は、パイオンが崩壊する前にこのシステムが束縛状態を形成するのに十分な長さです。

電荷を持つ原子核の周りを1つのパイ中間子だけが軌道を回る場合${\displaystyle Ze}$直接解くことができる。クーロンポテンシャルの定常解は変数分離法を用い、場は次のように表される。${\displaystyle \phi (x)=e^{-i\epsilon t}\Phi ({\boldsymbol {x}})}$クライン・ゴルドン方程式を次のように表現する^{[ 2 ]： 681}

${\displaystyle {\bigg [}{\bigg (}\epsilon +{\frac {Z\alpha }{r}}{\bigg )}^{2}+\nabla ^{2}-m_{\pi }^{2}{\bigg ]}\Phi ({\boldsymbol {x}})=0,}$

どこ${\displaystyle \alpha }$は微細構造定数である。この系のエネルギー準位は^{[ 31 ]： 34-37}で与えられる。

${\displaystyle E_{\text{KG}}={\frac {m_{\pi }}{\sqrt {1+{\frac {(Z\alpha )^{2}}{{\Big (}n-{\big (}l+{\tfrac {1}{2}}{\big )}+{\sqrt {{\big (}l+{\tfrac {1}{2}}{\big )}^{2}-(Z\alpha )^{2}}}{\Big )}^{2}}}}}},}$

どこ${\displaystyle n}$は主量子数であり、${\displaystyle l}$は軌道角運動量量子数である。非相対論的な場合とは対照的に、相対論的効果はの縮退を解消する。${\displaystyle l}$州。

これらのエネルギー準位は、電子がスピン1/2のフェルミオンであるのに対し、クライン・ゴルドン方程式はスピン0のボソン粒子を記述するため、従来の原子とは異なります。しかし、通常の原子のエネルギー準位を表す式（ゾンマーフェルトの公式として知られる）は非常によく似ています。これは、上記の式からパイオンの質量を電子の質量に置き換え、さらにを置き換えることによって直接得られます。${\displaystyle l\rightarrow j}$、スピン軌道角量子数。${\displaystyle E_{\text{KG}}}$パイオン原子で観測に成功している。^{[ 32 ]}

解決策が崩壊するのは${\displaystyle Z\alpha >l+1/2}$平方根が虚数になるのは、まず次の場合に起こります。${\displaystyle Z=69}$^{[ 33 ] : 95}物理的には、引力クーロンポテンシャルが強すぎるため、パイ中間子の運動エネルギーが不十分で、パイ中間子が原子核に螺旋状に落下するのを阻止できない。 ^{[ 33 ] : 97}非相対論的な場合とは異なり、相対論的理論では、パイ中間子の速度が軌道半径の減少に伴ってクーロン力に抵抗するために必要な遠心力を維持するのに十分な速さで増加できないため、経験的に古典的なレベルでこの問題が発生する。[ 14 ] ^{: 166より正確に}は、波動関数が病的な短距離挙動を示すためにこの問題が生じる。現実的な原子核の場合、この問題はより大きな値で部分的に回避される。${\displaystyle Z}$それらは完全な点状クーロンポテンシャルを持たないためである。^{[ 14 ]： 166-167}

クライン・ゴルドン方程式のもう一つの注目すべき解は、高さのポテンシャル段差による初期平面波の散乱である。${\displaystyle V}$^{[ 34 ]}この溶液の特性は反射係数によって記述される。${\displaystyle R}$透過係数${\displaystyle T}$を満たす${\displaystyle R+T=1}$これらは、入射波が障壁で反射される確率、または障壁を通過する確率をそれぞれ表しています。入射エネルギーが大きい場合、${\displaystyle E>V+m}$反射係数と透過係数の両方がゼロではなく、粒子が障壁を通過する確率と反射される確率がそれぞれある。^{[ 31 ]： 30-34}${\displaystyle V+m>E>V-m}$透過係数はゼロ、反射係数は1であり、粒子は常に反射される。この挙動は、非相対論的シュレーディンガー方程式で見られる挙動と一致する。^{[ 33 ]： 85-88}

しかし、ポテンシャルが非常に大きい場合${\displaystyle V>E+m}$すると、解は負の透過係数を得る。${\displaystyle T<0}$反射係数が1より大きい${\displaystyle R>1}$この現象はクラインのパラドックスとして知られており、オスカー・クラインがディラック方程式について初めて記述した。^{[ 35 ]}このパラドックスは、この現象をポテンシャル障壁自体からの粒子・反粒子対生成として再解釈することで解決される。 ^{[ 31 ]： 30-34}反粒子はポテンシャルに引き寄せられ、粒子は反発され、反射ビームに寄与し、障壁から戻ってくる粒子の数を増加させる。完全な解析には、量子場理論の形での相対論的多粒子理論が必要となる。^{[ 33 ]： 88}

クライン・ゴルドン方程式は、もともと相対論的量子力学の文脈で考案されたもので、シュレーディンガー方程式の相対論的一般化としての役割を果たします。そこでは、複素数値波動関数の時間発展を記述します。${\displaystyle \Psi (t,{\boldsymbol {x}})}$^{[ 36 ] : 480}まで

${\displaystyle \hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\Psi (t,{\boldsymbol {x}})={\big (}c^{2}\hbar ^{2}\nabla ^{2}-c^{4}m^{2}{\big )}\Psi (t,{\boldsymbol {x}}),}$

どこ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ラプラシアンは、${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数であり、${\displaystyle c}$は光の速度です。

クライン・ゴルドン方程式が波動関数を記述するためには、波動関数から構築できる対応する保存確率密度が必要である。 ^{[ 36 ]： 482}候補となる確率密度は、 4元電流のゼロ番目の成分によって与えられ、${\displaystyle {\text{U}}(1)}$複雑な位相対称性${\displaystyle \Psi (t,{\boldsymbol {x}})\rightarrow e^{i\theta }\Psi (t,{\boldsymbol {x}})}$^{は[ 2 ]}で与えられます^{: 683}

${\displaystyle P({\boldsymbol {r}},t)={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}{\bigg (}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}{\bigg )}.}$

これは保存されるものの、正定値ではないため、確率密度として解釈することはできない。^{[ 12 ]： 365}これは、対応する3カレントが非相対論的極限におけるシュレーディンガー方程式の確率カレントの形式と一致するという事実にもかかわらずである。

もう一つの問題は、負のエネルギー状態の存在です。方程式の平面波解${\displaystyle \Psi =Ae^{-i(Et-{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {x}})/\hbar }}$正のエネルギーソリューションの両方を認める${\displaystyle E>mc^{2}}$負のエネルギーソリューション${\displaystyle E<-mc^{2}}$^{[ 2 ] : 683}原理的には、相互作用のない理論では、無限スペクトルの存在は問題にならない。しかし、電磁場との結合など、相互作用が含まれると問題が生じる。歴史的には、これは電磁放射の放出による状態の無限崩壊を防ぐものが何もないため問題と見なされてきた。現代の観点からは、これはむしろ理論の単粒子解釈の破綻を反映している。^{[ 36 ] : 487}

量子場理論の第2量子化フレームワークでは、場は状態に作用する演算子に昇格される。^{[ 36 ]： 489}それらは、状態に作用するときに粒子または反粒子を生成または消滅させるために使用できる。複素スカラー場の場合、演算子は${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}$粒子を消滅させ反粒子を生成する一方、${\displaystyle {\hat {\phi }}^{\dagger }(x)}$粒子を生成し、反粒子を消滅させる。^{[ 16 ] : 66}これは、場が単一粒子の状態を記述する波動関数に対応する相対論的量子力学とは対照的である。クライン・ゴルドン方程式は、場演算子とそれが生成する粒子の運動方程式を記述する。 ^{[ 37 ] : 82}コヒーレント状態または半古典状態における占有数が大きい極限では、スカラー場の量子場理論は古典場理論に帰着する。^{[ 38 ] : 209}

クライン・ゴルドン方程式の量子力学的応用において問題となる負の周波数状態は、正のエネルギーを持つ反粒子として再解釈される。^{[ 37 ]： 18}実スカラー場理論では、粒子は自身の反粒子であるが、複素スカラー場理論では、両者は反対の電荷を持つ。正定値性を満たさなかった量子理論の候補確率密度は、代わりに量子場理論における保存電荷密度演算子を記述するものとして再解釈される。^{[ 31 ]： 26}

非相対論的極限${\displaystyle v\ll c}$複素クライン・ゴルドン方程式から、主要項でシュレーディンガー方程式が得られる。これは、場の再定義^{[ 16 ] : 190}を通じて振動する静止質量エネルギーを因数分解することによって導出できる。

${\displaystyle \chi (t,{\boldsymbol {x}})={\tilde {\chi }}(t,{\boldsymbol {x}})e^{-imt},}$

そして、正の周波数の粒子セクターに限定することで、反粒子をスペクトルから除外する。^{[ 27 ]： 112-113}より慎重なアプローチでは、2 つの複素場に対する 2 つの独立したシュレーディンガー方程式が得られる。${\displaystyle ({\tilde {\chi }}_{1},{\tilde {\chi }}_{2})}$粒子と反粒子それぞれに1つずつ割り当てられる。^{[ 12 ]： 366}結果として得られる非相対論的理論は拡張され、${\displaystyle {\text{U}}(2)}$複素ペアに関連付けられた対称群${\displaystyle ({\tilde {\chi }}_{1},{\tilde {\chi }}_{2})}$. これには${\displaystyle {\text{U}}(1)\times {\text{U}}(1)}$各サブグループ、位相の再定義に対応${\displaystyle {\tilde {\chi }}_{i}}$これは、粒子数と反粒子数がそれぞれ保存されることを意味する。^{[ 39 ]}相互作用が含まれる場合、これらの対称性は単一のグローバル対称性に破れる可能性がある。${\displaystyle {\text{U}}(2)\rightarrow {\text{U}}(1)}$完全な相対論的理論から受け継がれた電荷保存則に対応します。さらに、非相対論的有効場理論は、粒子と反粒子が出会って相対論的状態に消滅しない場合など、有効範囲が限られている可能性があります。そのような事象が発生することが許容され、有効場理論に相対論的自由度が含まれていない場合、非相対論的有効場理論はもはや閉じたユニタリー理論ではありません。^{[ 40 ]}

実クライン・ゴルドン方程式の非相対論的極限は、粒子が自身の反粒子であるため、より微妙な問題となる。しかし、単一の相対論的実スカラー場が非相対論的極限における単一の複素スカラー場の理論となるように定義することは可能である。複素場であるにもかかわらず、相対論的理論は時間に関して2階微分理論であり、非相対論的理論は1階微分理論であるため、自由度は一致する。したがって、各非相対論的場は、相対論的理論の半分の自由度を持つ。^{[ 41 ]}非相対論的複素スカラー場の素朴な定義${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$相対論的場から${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})}$[ ^{42 ]​}

${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})={\frac {1}{\sqrt {2m}}}[\psi (t,{\boldsymbol {x}})e^{-imt}+\psi ^{*}(t,{\boldsymbol {x}})e^{imt}].}$

この定義は、非相対論的理論が自由理論である場合にうまく機能します。${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$次数の高周波項を省略することによって得られる。${\displaystyle m}$シュレーディンガー方程式を主要項まで与える。しかし、相互作用を考慮に入れると、修正された非局所定義${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$は、より容易に効果的な非相対論的理論に到達するために通常使用されます。^{[ 43 ]}非相対論的理論には、創発的な${\displaystyle {\text{U}}(1)}$非相互作用の場合には厳密に成り立つ対称性。この対称性は、粒子数保存則と数電荷を意味する。

${\displaystyle N=\int d^{3}{\boldsymbol {x}}\ |\psi |^{2}.}$

自己相互作用理論においては、この対称性は、十分に低いエネルギーの極限において、摂動論のすべての次数まで成り立つ。${\displaystyle E\ll m}$また、運動学的に数違反プロセスを許容しない低占有数の場合にも適用されます。^{[ 43 ]}

古典的な非相互作用クライン・ゴルドン方程式を古典的なシュレーディンガー方程式に極限することは容易であるが、量子場理論を非相対論的量子力学に極限する際には、より注意が必要である。これは、両者の枠組みで使用される基本変数が大きく異なるためである。

非相対論的極限を取るための粗雑な方法は、粒子状態の波動関数を構築することである。特に、複素クライン・ゴルドン場の場合、これは量子場理論の場演算子を用いて、位置にある粒子の状態を作成することによって行われる。${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$[ ^{nb 4 ] [ 36 ] : 480}

${\displaystyle |{\boldsymbol {x}}\rangle =\phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}})|0\rangle .}$

これは、これらの位置状態の重ね合わせとして、より一般的な状態を構築するために使用されます。

${\displaystyle |\varphi \rangle =\int d^{3}x\varphi ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}\rangle ,}$

どこ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}})}$は波動関数である。^{[ 44 ]}場の理論ハミルトニアンを構築することにより、これが波動関数に対するシュレーディンガー方程式を意味することを示すことができる。

${\displaystyle i{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\varphi .}$

この手順は技術的にやや不正確であり、相互作用を含めるように容易に一般化することはできません。また、反粒子の自由度がどうなったかについても説明していません。代わりに、より詳細な分析により、非相対論的極限が粒子と反粒子の両方に対するシュレーディンガー方程式を生み出すことが示されています。この手順は、実際のクライン・ゴルドン場の場合にも使用して、非相対論的量子論を得ることができます。^{[ 45 ]}

曲がった時空では、平坦な計量を曲がった計量に引き上げる必要があり、共変微分を導入することによって時空の曲率を考慮するように微分を修正する必要がある。${\displaystyle \nabla _{\mu }}$主に負の計量符号の場合、曲がった時空におけるクライン・ゴルドン方程式は次の形式をとる^{[ 46 ] : 182}

${\displaystyle (g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }+m^{2})\phi =0.}$

共変微分を通常の偏微分に置き換え、クリストッフェル記号を明示的に計算する必要を回避した別の形式は、 ^{[ 47 ] : 105}に示されている。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\phi )+m^{2}\phi =0.}$

ここ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$は逆計量テンソルであり、${\displaystyle g}$これは、その指標の決定要因です。

重力との非最小結合を^許容するクライン・ゴルドン方程式のより一般的な形式は^{[ 48 ]}で与えられている^。44

${\displaystyle (\nabla ^{\mu }\nabla _{\mu }+m^{2}+\xi R)\phi =0,}$

どこ${\displaystyle R}$はリッチスカラーです。${\displaystyle \xi =0}$これは最小結合として知られており、方程式は前述の形式に簡略化されます。一方、${\displaystyle d}$次元時空の場合、^{[ 49 ] : 44}

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{4}}{\frac {d-2}{d-1}},}$

クライン・ゴルドン場は重力と共形的に結合していると言われている。共形的に結合した場が質量ゼロの場合、方程式は共形的に不変である。このケースは、曲がった時空計算における量子場理論の特に扱いやすいモデルとしてよく用いられる。特に、共形的に平坦な時空の場合、これらの場は、システムが平坦な空間理論と等価であるため、粒子生成を起こさない。^{[ 48 ] : 62}

クライン・ゴルドン方程式は、自由相対論的スカラー場理論の運動方程式である。${\displaystyle V(\phi )}$その結果得られる運動方程式は、非線形クライン・ゴルドン方程式の形をとる^{[ 26 ]： 32}

${\displaystyle (\square +m^{2})\phi (x)=-{\frac {\partial V}{\partial \phi }}.}$

注目すべき例としては、サイン・ゴルドン方程式と運動方程式がある。${\displaystyle \phi ^{4}}$理論。^{[ 38 ]： 59-60}

クライン・ゴルドン方程式に相互作用を導入するには、スカラー場をあるゲージ群の下でゲージ化すればよい。^{[ 26 ] : 121}${\displaystyle {\text{U}}(1)}$グループの場合、これはスカラー電気力学につながりますが、${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$群の下で測定すると、結果はスカラー色力学と呼ばれる。一般に、あるリー群の下で測定すると、${\displaystyle G}$クライン・ゴルドン方程式は次の形式をとる^{[ 50 ]}

${\displaystyle (D_{\mu }D^{\mu }+m^{2})\Phi (x)=0,}$

どこ${\displaystyle \Phi (x)}$は、リー群の何らかの表現に属する多成分スカラー場である。これは、次のように変換されることを意味する。${\displaystyle \Phi (x)\rightarrow \rho (g(x))\Phi (x)}$、 どこ${\displaystyle \rho (g)}$は群要素の行列表現です${\displaystyle g\in G}$一方、ゲージ共変微分は^{[ 26 ] : 482}のように定義される。

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}T^{a},}$

どこ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$は、接続に対応するゲージ場の成分であり、${\displaystyle T^{a}}$リー代数の表現における生成子は、リー群の表現に対応している。${\displaystyle \rho (g)}$。

相互作用しないすべてのスピン場の成分は、直接的に、または適切な制約を課すことで、クライン・ゴルドン方程式を満たします。 ^{[ 51 ]}これは群論的な帰結であり、ポアンカレ群のすべてのユニタリ既約表現がこの方程式を満たします。^{[ 38 ] : 8}例えば、スピン1/2のスピノル場を記述するディラック方程式の任意の解は、自動的にクライン・ゴルドン方程式の解となります。^{[ 52 ]}同様の結果は、スピン1の質量ゼロおよび質量のある場を記述するマクスウェル方程式とプロカ方程式にも当てはまります。${\displaystyle A^{\mu }}$それぞれ。^{[ 27 ]： 120–121}制約条件が満たされると、それらの構成要素方程式はどちらも質量ゼロおよび質量のあるクライン・ゴルドン方程式に帰着する。${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}$これはプロカ方程式にとって必要な制約であるが、マクスウェル方程式にとってはローレンツゲージのゲージ選択に過ぎない。 ^{[ 38 ] : 125 [ 26 ] : 119}