境界値問題

微分方程式の研究において、境界値問題とは境界条件と呼ばれる制約条件に従う微分方程式のことである。^[1]境界値問題の解は境界条件も満たす微分方程式の解である。

境界値問題は、あらゆる物理的な微分方程式に見られるように、物理学のさまざまな分野で発生します。波動方程式に関連する問題、たとえば通常モードの決定などは、境界値問題として表現されることがよくあります。重要な境界値問題の大きなクラスは、シュトゥルム・リウヴィル問題です。これらの問題の解析では、線形の場合、微分演算子の固有関数が関係します。

境界値問題が応用で役立つためには、適切に設定されている必要があります。これは、問題への入力が与えられた場合、入力に連続的に依存する唯一の解が存在することを意味します。偏微分方程式の分野における多くの理論的研究は、科学および工学の応用から生じる境界値問題が実際には適切に設定されていることを証明することに費やされています。

最も古くから研究されている境界値問題の一つに、調和関数（ラプラス方程式の解）を求めるディリクレ問題があります。この解はディリクレの原理によって与えられました。

境界値問題は初期値問題に似ています。境界値問題では、方程式内の独立変数の両端 (「境界」) で条件が指定されますが、初期値問題では、すべての条件が独立変数の同じ値で指定されます (その値はドメインの下限にあるため、「初期」値と呼ばれます)。境界値とは、システムまたはコンポーネントに指定された最小または最大の入力値、内部値、または出力値に対応するデータ値です。^[2]

たとえば、独立変数が領域 [0,1] 上の時間である場合、境界値問題ではと の両方での値を指定しますが、初期値問題では の時間でとの値を指定します。 ${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle y'(t)}$${\displaystyle t=0}$

片方の端が絶対零度に保たれ、もう一方の端が水の凝固点に 保たれた鉄の棒のすべての点の温度を求めることは、境界値問題になります。

問題が空間と時間の両方に依存する場合、すべての時間における特定のポイントでの問題の値、またはすべての空間における特定の時間での問題の値を指定できます。

具体的には、境界値問題（空間1次元）の例は次のようになる。

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

境界条件を持つ 未知の関数を解く${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

境界条件がない場合、この方程式の一般解は

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

境界条件から次の式が得られる。 ${\displaystyle y(0)=0}$

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

これは境界条件から次のことがわかる 。${\displaystyle B=0.}$${\displaystyle y(\pi /2)=2}$

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

そして境界条件を課すことで、この場合は次のような唯一の解を決定できることがわかります。 ${\displaystyle A=2.}$

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

関数自体の値を指定する境界条件は、ディリクレ境界条件、または第 1 種境界条件です。たとえば、鉄の棒の一端が絶対零度に保持されている場合、空間内のその点における問題の値がわかります。

関数の正規導関数の値を指定する境界条件は、ノイマン境界条件、または第 2 タイプの境界条件です。たとえば、鉄の棒の一方の端にヒーターがある場合、エネルギーは一定の割合で追加されますが、実際の温度はわかりません。

境界が、正規導関数と変数自体に値を与える曲線または面の形をとる場合、それはコーシー境界条件です。

未知の関数、境界条件によって指定される定数および、および境界条件によって指定される 既知のスカラー関数およびの境界条件の概要。${\displaystyle y}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

境界条件の他に、境界値問題は、関係する微分演算子の種類によっても分類されます。楕円演算子の場合は、楕円境界値問題について説明します。双曲演算子の場合は、双曲境界値問題について説明します。これらのカテゴリは、さらに線形タイプとさまざまな非線形タイプに細分されます。

静電気学では、特定の領域の電位を表す関数を見つけることが一般的な問題です。領域に電荷が含まれていない場合、電位はラプラス方程式の解（いわゆる調和関数）でなければなりません。この場合の境界条件は、電磁場のインターフェイス条件です。領域に電流密度がない場合、同様の手順を使用して 磁気スカラー電位を定義することもできます。

• AD Polyanin および VF Zaitsev、「常微分方程式の厳密解ハンドブック (第 2 版)」、 Chapman & Hall/CRC Press、ボカラトン、2003 年。ISBN 1-58488-297-2。 
• ADポリアニン著『エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック』、 Chapman & Hall/CRC Press、ボカラトン、2002年。ISBN 1-58488-299-9。 

• 「ポテンシャル理論における境界値問題」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「境界値問題、複素変数法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 線形偏微分方程式: 正確な解と境界値問題 (EqWorld: 数学方程式の世界)。
• 「境界値問題」Scholarpedia。