エネルギーと運動量の関係

物理学において、エネルギーと運動量の関係、あるいは相対論的分散関係は、全エネルギー（相対論的エネルギーとも呼ばれる）を不変質量（静止質量とも呼ばれる）と運動量に関連付ける相対論的方程式である。これは、運動量がゼロでない物体またはシステムに対する 質量とエネルギーの等価性の拡張である。

次のように定式化できます。

この方程式は、全エネルギーがE、不変質量がm ₀、運動量の大きさがp である 1 つ以上の粒子などの物体またはシステムに対して成り立ちます。定数cは光速です。これは、平坦な時空^{[1] [2] [3]}の特殊相対性の場合と、粒子が自由であることを前提としています。全エネルギーは静止エネルギーと相対論的運動エネルギーの合計です。 不変質量は、運動量中心フレーム で測定された質量です。運動量がゼロの物体またはシステムの場合、これは質量エネルギー方程式に簡略化され、この場合の全エネルギーは静止エネルギーに等しくなります。 ${\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2}}$$${\displaystyle E_{K}=E-E_{0}={\sqrt {(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}}-m_{0}c^{2}}$$${\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2}}$

反物質の存在を予測するために使用されたディラックの海モデルは、エネルギーと運動量の関係と密接に関係しています。

エネルギーと運動量の関係は、どちらの解釈においても、よく知られている質量とエネルギーの関係と一致しています。E = mc ^{2 は}、全エネルギーEを（全）相対論的質量m （ m _relまたはm _totとも表記）に関連付けます。一方、E ₀ = m ₀ c ²は、静止エネルギーE _{0 を}（不変の）静止質量m ₀に関連付けます。

これら2つの方程式とは異なり、エネルギー運動量方程式（1）は全エネルギー_を静止質量m0に関連付けます。3つの方程式はすべて同時に成り立ちます。

1. 物体が質量のない粒子（m ₀ = 0）であれば、（1）はE = pcに簡約されます。光子の場合、これは19世紀の古典電磁気学で発見された、放射運動量（放射圧を引き起こす）と放射エネルギーの関係です。
2. 物体の速度vがcよりはるかに小さい場合、( 1 ) はE = ⁠に簡約されます。1/2⁠ m ₀ v ² + m ₀ c ² ; つまり、物体の全エネルギーは単純にその古典的な運動エネルギー（ ⁠1/2⁠ m ₀ v ² ) とその静止エネルギーを加算します。
3. 物体が静止している場合（v = 0）、つまり運動量中心フレーム（p = 0 ）にある場合、 E = E ₀およびm = m ₀となり、したがってエネルギーと運動量の関係と質量とエネルギーの関係の両方の形式（上記）はすべて同じになります。

一般相対性理論では、より一般的な関係式( 1 )が成り立つ。

不変質量（または静止質量）は、すべての参照フレーム（名前の由来）に対して不変であり、平坦な時空の慣性フレームだけでなく、曲がった時空を通過する加速フレーム（以下を参照）でも不変です。ただし、粒子Eの全エネルギーと相対運動量pはフレームに依存します。2 つのフレーム間の相対運動により、それらのフレームの観測者は粒子のエネルギーと運動量の異なる値を測定してしまいます。1 つのフレームはEとp を測定し、もう 1 つのフレームはE ′とp ′ を測定します（ここでE ′ ≠ Eかつp ′ ≠ p ）。ただし、観測者間に相対運動がない場合、各観測者は同じエネルギーと運動量を測定します。平坦な時空でも、次のことが言えます。

${\displaystyle {E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

量E、p、E ′、p ′はすべてローレンツ変換によって関連付けられます。この関係により、異なるフレームの関係を等しくすることで、エネルギーと運動量の大きさのみを決定するときにローレンツ変換を回避できます。再び平坦な時空では、これは次のように変換されます。

${\displaystyle {E}^{2}-\left(pc\right)^{2}={E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

m _{0 は}フレームごとに変化しないため、エネルギーと運動量の関係は相対論的力学と素粒子物理学の計算で使用されます。エネルギーと運動量は粒子の静止フレーム (つまり、粒子とともに移動する観測者が結論付けるE ′とp ′ ) で与えられ、実験室フレーム(つまり、粒子物理学者が実験室で決定したEとpであり、粒子とともに移動しているわけではありません) で測定されます。

相対論的量子力学では、相対論的波動方程式を構築するための基礎となる。なぜなら、粒子を記述する相対論的波動方程式がこの方程式と矛盾しない場合、相対論的力学と一致し、ローレンツ不変となるからである。相対論的量子場理論では、すべての粒子と場に適用できる。^[4]

エネルギーと運動量の関係は、1906年に発表されたマックス・プランクの論文^[5]に遡ります。この関係は1926年にウォルター・ゴードン によって使用され、その後1928年にポール・ディラックによって の形で使用されました。ここでVは位置エネルギーの量です。^{[6] [7]}${\textstyle E={\sqrt {c^{2}p^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}}}+V}$

この方程式はさまざまな方法で導き出すことができますが、最も単純な 2 つの方法は次のとおりです。

1. 質量を持つ粒子の相対論的力学から、
2. システムの4 元運動量のノルムを評価することによって。この方法は質量のある粒子と質量のない粒子の両方に適用され、比較的少ない労力で多粒子システムに拡張できます (以下の§ 多粒子システムを参照)。

実験室系において質量の大きい物体が3速度u = ( u _x , u _y , u _z )で運動し、大きさ| u | = uである場合: ^[1]

${\displaystyle E=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}c^{2}}$

実験フレーム内の移動物体の全エネルギーである。

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}\mathbf {u} }$

は、大きさ| p | = pを持つ実験フレーム内の物体の3 次元相対論的運動量です。相対論的エネルギーEと運動量pには、次のように定義されるローレンツ因子が含まれます。

${\displaystyle \gamma _{(\mathbf {u} )}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}}}$

一部の著者は、次のように定義される相対論的質量を使用します。

${\displaystyle m=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}}$

ただし、静止質量m ₀にはより基本的な意味があり、この記事では 相対論的質量mよりも主に静止質量 m 0 が使用されます。

3 運動量を二乗すると次のようになります。

${\displaystyle p^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} ={\frac {m_{0}^{2}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{1- {\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}={\frac {m_{0}^{2}u^{2}}{1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}$

次にu ²を解き、ローレンツ因子に代入すると、3次元速度ではなく、3次元運動量と質量に関する別の形が得られます。

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}$

この形式のローレンツ因子をエネルギー方程式に代入すると、次のようになります。

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}$

さらに並べ替えると、( 1 ) が得られます。ローレンツ因子を消去すると、( 1 ) の粒子の暗黙の速度依存性も消去され、質量のある粒子の「相対論的質量」への推論もすべて消去されます。このアプローチは、質量のない粒子が考慮されていないため、一般的ではありません。単純にm ₀ = 0に設定すると、 E = 0およびp = 0となり、エネルギーと運動量の関係を導くことができませんが、これは正しくありません。

ミンコフスキー空間では、エネルギー（cで割ったもの）と運動量はミンコフスキーの4元ベクトルの2つの要素、すなわち4元運動量である。^[8]

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,,}$

(これらは反変成分です)。

このベクトルとそれ自身とのミンコフスキー内積 ⟨、⟩はこのベクトルのノルムの2乗を与え、それは物体の 静止質量mの2乗に比例します。

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2} \,,}$

ローレンツ不変量であり、したがって参照フレームに依存しない。計量シグネチャ(− + + +)を持つミンコフスキー計量ηを使用 すると、内積は

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=-\left(m_{0}c\right)^{2 }\,,}$

そして

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle }$ ${\displaystyle =P^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }P^{\beta }}$ ${\displaystyle ={\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}&p_{x}&p_{y}&p_{z}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle =-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}\,,}$

それで

${\displaystyle -\left(m_{0}c\right)^{2}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}}$

または、c = 1の自然単位では、

${\displaystyle |\mathbf {P} |^{2}+(m_{0})^{2}=0.}$

一般相対論では、4次元運動量は局所座標系で定義される4次元ベクトルであるが、定義上、内積は特殊相対論の内積と同様である。

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,,}$

ここでミンコフスキー計量ηは計量 テンソル場 gに置き換えられる。

${\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }\,,}$

アインシュタインの場の方程式から解くと、次のようになる。^[9]

${\displaystyle P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }=\left(m_{0}c\right)^{2}\,.}$

c = 1の自然単位では、エネルギー運動量方程式は次のように簡約される。

${\displaystyle E^{2}=p^{2}+m_{0}^{2}\,.}$

素粒子物理学では、エネルギーは通常、電子ボルト(eV)、運動量は eV· c ⁻¹、質量は eV· c ⁻²の単位で表されます。電磁気学では、相対論的不変性のため、cgs (ガウス) 単位系を使用して、電場 Eと磁場 B を同じ単位 (ガウス) で表すと便利です。この単位系では、エネルギーはerg、質量はグラム(g)、運動量は g·cm·s ⁻¹で表されます。

エネルギーは理論上はグラム単位で表すこともできますが、実際にはこの範囲の質量に相当するには大量のエネルギーが必要です。たとえば、最初の原子爆弾は約 1 グラムの熱を放出し、最大の熱核爆弾は1キログラム以上の熱を発生しました。熱核爆弾のエネルギーは通常、その量のトリニトロトルエン(TNT)を爆発させることで放出されるエネルギーを指して、数十キロトンや数十メガトンで表されます。

静止系にある物体の場合、運動量はゼロなので、方程式は次のように簡略化される。

${\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2}\,,}$

ここで、m _{0 は}物体の静止質量です。

物体が質量を持たない場合、光子の場合のように、方程式は次のように簡約される。

${\displaystyle E=pc\,.}$

これは便利な単純化です。ド・ブロイ関係式を使って他の方法で書き直すこともできます。

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}=\hbar ck\,.}$

波長 λまたは波数 kが与えられている場合。

質量のある粒子の関係を次のように書き直すと、

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,,}$

二項定理（またはテイラー級数） によってべき級数に展開すると次のようになります。

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{4}+\cdots \right]\,,}$

u ≪ cの極限では、 γ ( u ) ≈ 1となるので、運動量は古典的な形p ≈ m ₀ uとなり、( ⁠p/メートル₀秒⁠ )²
（つまり、（ ⁠p/メートル₀秒⁠ )^2位
n = 1の場合、 n ≥ 2の場合、すべての項を無視すると、

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {m_{0}u}{m_{0}c}}\right)^{2}\right]\,,}$

または

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}u^{2}\,,}$

ここで、2 番目の項は古典的な運動エネルギーで、最初の項は粒子の静止エネルギーです。この近似は質量のない粒子には有効ではありません。なぜなら、展開には運動量を質量で割る必要があるからです。ちなみに、古典力学には質量のない粒子は存在しません。

相対論的な運動量p _nとエネルギーE _{n を}持つ多数の粒子の場合、n = 1、2、...（粒子の総数まで）は、特定のフレームで測定された粒子に単にラベルを付けるだけで、このフレームの 4 元運動量を加算できます。

${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {P} _{n}=\sum _{n}\left({\frac {E_{n}}{c}},\mathbf {p} _{n}\right)=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}},\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\,,}$

次にノルムを取り、多粒子系の関係式を得る。

${\displaystyle \left|\left(\sum _{n}\mathbf {P} _{n}\right)\right|^{2}=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}}\right)^{2}-\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c\right)^{2}\,,}$

ここでM ₀はシステム全体の不変質量であり、すべての粒子が静止していない限り、粒子の静止質量の合計とは等しくない（詳細については特殊相対論における質量§複合システムの質量を参照）。代入して整理すると、（1）の一般化が得られる。

方程式内のエネルギーと運動量はすべてフレームに依存しますが、M ₀はフレームに依存しません。

運動量中心フレーム(COM フレーム)では、定義により次のようになります。

${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {p} _{n}={\boldsymbol {0}}\,,}$

（ ２ ）から、不変質量はc ²因子とは別に運動量中心（COM）の質量エネルギーでもあることが分かる。

${\displaystyle \left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\Rightarrow \sum _{n}E_{\mathrm {COM} \,n}=E_{\mathrm {COM} }=M_{0}c^{2}\,,}$

これはすべてのフレームに当てはまります。なぜならM _{0 は}フレームに依存しないからです。エネルギーE _{COM n は}COM フレームのエネルギーであり、ラボ フレームのエネルギーではありません。しかし、多くのよく知られた境界システムは COM フレームとしてラボ フレームを持っています。これはシステム自体が動いておらず、したがって運動量がすべてゼロに打ち消されるからです。例としては、単純な物体 (原子の振動運動量が打ち消される) や、容器が静止しているガス容器が挙げられます。このようなシステムでは、システムのすべてのエネルギーが質量として測定されます。たとえば、スケール上の物体の熱、またはスケール上のガス容器内の運動エネルギーの合計は、すべてスケールによってシステムの質量として測定されます。

あるフレームで測定された粒子のエネルギーまたは運動量は、各粒子のエネルギー運動量の関係を使用して除去できます。

${\displaystyle E_{n}^{2}-\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}=\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}\,,}$

M _{0 を}エネルギーと静止質量、または運動量と静止質量で表す ことができます。特定のフレームでは、和の二乗は二乗和（および積）として書き直すことができます。

${\displaystyle \left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}E_{n}\right)\left(\sum _{k}E_{k}\right)=\sum _{n,k}E_{n}E_{k}=2\sum _{n<k}E_{n}E_{k}+\sum _{n}E_{n}^{2}\,,}$

${\displaystyle \left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\cdot \left(\sum _{k}\mathbf {p} _{k}\right)=\sum _{n,k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=2\sum _{n<k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}+\sum _{n}\mathbf {p} _{n}^{2}\,,}$

したがって、それらの合計を代入すると、それらの静止質量m _nを（2）に導入することができます。

${\displaystyle \sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}+2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$

エネルギーは次のように除去できます。

${\displaystyle E_{n}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}+\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad E_{k}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{k}c\right)^{2}+\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,}$

同様に、運動量は次のようにして除去できます。

${\displaystyle \mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=\left|\mathbf {p} _{n}\right|\left|\mathbf {p} _{k}\right|\cos \theta _{nk}\,,\quad |\mathbf {p} _{n}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{n}^{2}-\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad |\mathbf {p} _{k}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{k}^{2}-\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,}$

ここで、θ _nkは運動量ベクトルp _nとp _kの間の角度です。

並べ替え:

${\displaystyle \left(M_{0}c^{2}\right)^{2}-\sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}=2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)\,.}$

システムの不変質量と各粒子の静止質量はフレームに依存しないため、右辺も不変です (エネルギーと運動量はすべて特定のフレームで測定されますが)。

物質波のエネルギーと運動量に関するド・ブロイの関係式を用いると、

${\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}$

ここで、ωは角周波数、kは大きさ| k | = kを持つ波数の波動ベクトルであり、エネルギーと運動量の関係は波動量で表すことができます。

${\displaystyle \left(\hbar \omega \right)^{2}=\left(c\hbar k\right)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,,}$

そして全体を( ħc ) ²で割って整理します。

これは4波ベクトルの大きさからも導き出せる。

${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)\,,}$

上記の 4 つの運動量と同様の方法で。

この式では、換算プランク定数 ħと光速 cの両方が現れて煩雑になるため、自然単位が特に役立ちます。これらをħ = c = 1となるように正規化すると、次のようになります。

${\displaystyle \omega ^{2}=k^{2}+m_{0}^{2}\,.}$

相対論的エネルギー・運動量関係による ブラディオンの速度

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

はcを超えることはできない。逆に、 エネルギー運動量方程式が^{[10]である}タキオンの場合 、cは常にcよりも大きくなる。

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}-m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

対照的に、仮想的なエキゾチック物質は負の質量を持ち^[11] 、エネルギー運動量方程式は

${\displaystyle E^{2}=-p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.}$

• 質量エネルギー等価性
• 4つの運動量
• 特殊相対論における質量

• A. ハルパーン (1988)。物理学における 3000 の解決済み問題、シャウムシリーズ。マグロウヒル。pp. 704–705。ISBN 978-0-07-025734-4。
• G. ウォーン (2010)。『ケンブリッジ物理学公式ハンドブック』ケンブリッジ大学出版局。p. 65。ISBN 978-0-521-57507-2。
• CB パーカー (1994)。マグロウヒル物理学百科事典 (第 2 版)。マグロウヒル。pp. 1192、1193。ISBN 0-07-051400-3。
• RG Lerner ; GL Trigg (1991)。物理学百科事典（第2版）。VHC Publishers。p. 1052。ISBN 0-89573-752-3。