物質波

19世紀末、光はマクスウェル方程式に従って伝播する電磁場の波で構成されていると考えられていた一方、物質は局在化した粒子で構成されていると考えられていた（波動と粒子の二重性の歴史を参照）。1900年、この区分は、黒体放射の理論を研究していたマックス・プランクが、振動する原子の熱エネルギーが離散的な部分、すなわち量子に分割されると提唱したことで疑問視された。^{[ 1 ]}プランクの研究を光電効果との関連を含め、いくつかの方法で拡張し、アルベルト・アインシュタインは1905年に、光も量子で伝播および吸収されると提唱した。^{[ 2 ] : 87}現在では光子と呼ばれている。これらの量子は、プランク・アインシュタインの関係式で与えられるエネルギーを持つ。 $${\displaystyle E=h\nu }$$ そして運動量ベクトル${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|=p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }},}$$ ここで、ν（ギリシャ文字の小文字のニュー）とλ（ギリシャ文字の小文字のラムダ）はそれぞれ光の周波数と波長を表し、cは光速、 hはプランク定数である。[ 3 ^]現代の慣例では、周波数はfで表され、この記事の残りの部分でもそのようにしている。アインシュタインの仮説は^、 1912年にKTコンプトンとOWリチャードソン^{[ 4 ] 、} ALヒューズ^{[ 5 ]}によって実験的に検証され^、その後、1916年にロバートミリカンによってプランク定数の測定を含めてより慎重に検証さ^れた。^{[ 6 ]}

私が1923年から1924年にかけて波動力学の最初の基本的な考え方を思いついたとき、私の目標は、アインシュタインが1905年に光量子論において光子に対して導入した波動性と粒子性の共存を、すべての粒子に有効な真の物理的統合によって実現することでした。

ド・ブロイは、1924年の博士論文^{[ 8 ]}で、光が波動性と粒子性の両方の性質を持つように、電子も波動性を持つと提唱した。彼の論文は、「固有質量m₀を_{持つエネルギーの各部分には、}周波数ν₀の周期現象を関連付けることができ、hν₀ = m₀c²と^なる。周波数_ν₀は、もちろん、エネルギーパケットの静止系で測定される。この仮説が我々の理論の基礎である」という仮説から始まった。_[ 9 _] ^{[ 8 ] ： 8 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] （この周波数}はコンプトン周波数としても知られている。）

動いている物体の波長に相当するものを求めるために、ド・ブロイ^{[ 2 ] : 214は}、その物体の特殊相対性理論からの全エネルギーをhνに等しいと設定した。 $${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=h\nu }$$

（現代物理学ではもはやこの形式の全エネルギーは使用されていません。エネルギーと運動量の関係の方がより有用であることが証明されています。）ド・ブロイは粒子の速度を特定し、${\displaystyle v}$自由空間における 波群速度は以下のとおりです。$${\displaystyle v_{\text{g}}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {d\nu }{d(1/\lambda )}}}$$

（群速度の現代的な定義では、角周波数ωと波数kが用いられる。）エネルギー方程式に微分を適用し、相対論的運動量を特定することにより、次の式が得られる。 $${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

そして積分することで、ド・ブロイは電子に関連付けられた波長λとプランク定数hを介した運動量の大きさp^の関係式に到達した。 [ ^{14 ]}$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

ド・ブロイの考えに続いて、物理学者のピーター・デバイは、粒子が波のように振る舞うならば、何らかの波動方程式を満たすはずだと何気なくコメントした。デバイの発言に触発されたエルヴィン・シュレーディンガーは、電子のための適切な三次元波動方程式を見つけることを決意した。彼は、ウィリアム・ローワン・ハミルトンの力学と光学のアナロジー（ハミルトンの光力学的アナロジーを参照）に導かれた。これは、光学のゼロ波長極限が力学系に似ているという観察に符号化されている。光線の軌跡は、最小作用の原理のアナロジーであるフェルマーの原理に従う鋭い軌跡になる。^{[ 15 ]}

1926年、シュレーディンガーは現在彼の名を冠する波動方程式^{[ 16 ]} （マクスウェル方程式の物質波版）を発表し、それを用いて水素のエネルギー スペクトルを導出した。非相対論的シュレーディンガー方程式の解の周波数は、粒子の静止質量に対応するエネルギーが非相対論的シュレーディンガー方程式に含まれていないため、ド ブロイ波とはコンプトン周波数だけ異なる。シュレーディンガー方程式は、空間の各点に複素数を割り当てる関数である波動関数の時間発展を記述する。シュレーディンガーは、波動関数の絶対値の二乗を電荷密度として解釈しようとした。しかし、このアプローチは成功しなかった。^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}マックス ボルンは、波動関数の絶対値の二乗は確率密度であると提案し、これは現在ボルンの規則として知られる成功した提案である。^{[ 17 ]}

翌年の1927年、C・G・ダーウィン（有名な生物学者チャールズ・ダーウィンの孫）は、いくつかの理想化されたシナリオでシュレーディンガー方程式を研究した。^{[ 20 ]}彼は自由空間の束縛されていない電子について、初期ガウス波束を仮定して波の伝播を計算した。ダーウィンは、時刻において、${\displaystyle t}$その後、そのポジション${\displaystyle x}$速度で移動するパケット${\displaystyle v}$だろう $${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+\left({\frac {ht}{2\pi \sigma m}}\right)^{2}}},}$$ どこ${\displaystyle \sigma }$は初期位置の不確定性です。この位置の不確定性により、速度の不確定性（平方根の第2項）が生じ、ハイゼンベルクの不確定性関係と一致します。波束は図に示すように広がります。

1927年、物質波は、ジョージ・パジェット・トムソンとアレクサンダー・リードの回折実験^{[ 21 ]}とダヴィソン・ゲルマー実験^{[ 22 ] [ 23 ]}（いずれも電子に関するもの）で初めて実験的に確認された。^{[ 24 ] [ 25 ]： 56}

ノーベル賞受賞者のG・P・トムソンと彼の教え子アレクサンダー・リードが1925年に製作・使用したオリジナルの電子回折カメラ

G.P.トムソンの研究室で1925年から1927年にかけて撮影された、オリジナルの電子回折写真の例。

ド・ブロイの仮説と物質波の存在は、他の素粒子、中性原子、さらには分子についても確認されている。^{[ 26 ]}

波動と粒子の二重性を直接示す最初の電子波干渉パターンは、電子バイプリズム^{[ 27 ] [ 28 ]}（基本的に電子顕微鏡内に置かれたワイヤー）を使用し、回折パターンを構成する単一の電子を測定した。物理的な開口部を通して電子を使用した有名な二重スリット実験^{[ 29 ] : 260の}忠実なコピーにより、示されている動画が得られた。^{[ 30 ]}

ド・ブロイ仮説では、粒子の速度は物質波の群速度に等しい。 ^{[ 2 ]： 214} 等方性媒質または真空中では、波の 群速度は次のように定義される。$${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\partial \omega (\mathbf {k} )}{\partial \mathbf {k} }}}$$ 角周波数と波数ベクトルの関係は分散関係と呼ばれます。非相対論的な場合、これは次のようになります。 $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,,}$$ どこ${\displaystyle m_{0}}$は静止質量である。微分を適用すると、（非相対論的な）物質波群速度が得られる。 $${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m_{0}}}\,.}$$比較のために、分散を 伴う光の群速度${\displaystyle \omega (k)=ck}$光速​${\displaystyle c}$。

代替案として、物質波の 相対論的分散関係を用いる$${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,,}$$ それから $${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\mathbf {k} c^{2}}{\omega }}\,.}$$ この相対論的な形式は、後述するように位相速度と関連している。

非等方性媒体の場合、代わりにエネルギー・運動量形式を使用します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (\mathbf {p} /\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}.\end{aligned}}}$$

しかし（下記参照）、位相速度は${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }=E/\mathbf {p} =c^{2}/\mathbf {v} }$、 それから $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} _{\mathrm {p} }}}\\&=\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {v} }$これは粒子の重心の速度であり、群速度と同一である。

等方性媒体における位相速度は次のように定義さ れる。$${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}}$$ 上記の相対論的群速度を用いると：^{[ 2 ]： 215}$${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {c^{2}}{\mathbf {v_{g}} }}}$$ これは、${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$1948年にRWディッチバーン、1952年にJLシンジによって報告されたように、電磁波も ${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$両方とも${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |=c}$そして${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |=c}$物質波の場合、${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |<c}$したがって、${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |>c}$しかし、情報を伝えるのは群速度のみである。したがって、超光速位相速度は情報を伝えないため、特殊相対性理論に違反しない。

非等方性媒体の場合、 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}={\frac {E/\hbar }{\mathbf {p} /\hbar }}={\frac {E}{\mathbf {p} }}.}$$

エネルギーと運動量に関する 相対論的関係式を用いると、$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {E}{\mathbf {p} }}={\frac {mc^{2}}{m\mathbf {v} }}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}\mathbf {v} }}={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} }}.}$$ 変数${\displaystyle \mathbf {v} }$粒子速度は、粒子の速度または対応する物質波の群速度のどちらとしても解釈できます。両者は同じです。${\displaystyle |\mathbf {v} |<c}$（特殊相対性理論によれば）質量がゼロでない粒子の場合、物質波の位相速度は常にcを超える。つまり、 $${\displaystyle |\mathbf {v} _{\mathrm {p} }|>c,}$$粒子速度が相対論的になると、この速度は光速c に近づきます。超光速位相速度は、上記の非等方性媒質の場合と同様に、特殊相対性理論に違反しません。詳細については、分散（光学）に関する記事を参照してください。

特殊相対性理論の2つの公式、1つは相対論的質量エネルギー、もう1つは相対論的運動量を用いて$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}\\[1ex]\mathbf {p} &=m\mathbf {v} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$$ ド・ブロイ波長と周波数の式は次のように書ける。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\[2.38ex]&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle v=|\mathbf {v} |}$速度は、${\displaystyle \gamma }$ローレンツ因子、そして${\displaystyle c}$真空中の光速。[ ^{56 ] [ 57 ]これ}は、粒子の速度がゼロ（静止）に近づくにつれて、ド・ブロイ波長が無限大に近づくことを示しています。

4元ベクトルを用いると、ド・ブロイの関係式は1つの方程式にまとめられる。 $${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} ,}$$ これは座標系に依存しない。同様に、群速度／粒子速度と位相速度の関係は、座標系に依存しない形で次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} ,}$$ どこ

• 4つの運動量${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\mathbf {p} }\right)}$
• 4波ベクトル${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\mathbf {k} }\right)}$
• 4速${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\mathbf {u} })=\gamma (c,v_{\mathrm {g} }{\hat {\mathbf {u} }})}$

単一の粒子タイプ（例えば単一の電子または中性子のみ）に対応する物質波のより一般的な記述は、次のような形式になります。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -iE(\mathbf {k} )t/\hbar )}$$ ここで空間項が追加される${\displaystyle u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )}$前面に、そしてエネルギーはより一般的に波数ベクトルの関数として記述されています。エネルギーはもはや常に波数ベクトルの二乗に比例するわけではありませんが、前述のさまざまな項は依然として適用されます。一般的なアプローチは、一般にテンソルである有効質量を定義することです。${\displaystyle m_{ij}^{*}}$によって与えられた $${\displaystyle {m_{ij}^{*}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$$ したがって、すべての方向が同じである単純なケースでは、その形状は上記の自由波の形状と類似している。$${\displaystyle E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}$$一般的に、群速度は確率電流に置き換えられる^{[ 58 ]}$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} )={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}(\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )-\psi (\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi ^{*}(\mathbf {r} )\right)}$$ どこ${\displaystyle \nabla }$はdelまたは勾配演算子です。運動量は運動量演算子を使用して記述されます。^{[ 58 ]}$${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$$ 波長は依然として波数ベクトルの絶対値の逆数として記述されるが、測定はより複雑になる。このアプローチは、単一粒子の物質波を記述するために用いられる多くの事例がある。

• ブロッホ波は、アシュクロフトとマーミンで説明されているバンド構造の大部分の基礎を形成し、固体による高エネルギー電子の回折を説明するためにも使用されます。 ^{[ 59 ] [ 35 ]}
• 電子渦ビームなどの角運動量を持つ波。^{[ 60 ]}
• エバネッセント波とは、波数ベクトルの一方向成分が複素数となる波のことである。これは物質波が反射される際によく見られ、特に斜入射回折において顕著である。

物質波の他の種類は複数の粒子が関与するため、集団波と呼ばれ、多くの場合準粒子である。これらの多くは固体中で発生する（AshcroftとMerminを参照）。例としては以下のようなものがある。

• 固体中の電子準粒子は、固体中の他の電子との相互作用が考慮された電子である。電子準粒子は、 「通常の」（素粒子）電子と同じ電荷とスピンを持ち、通常の電子と同様にフェルミオンである。ただし、その有効質量は通常の電子の有効質量と大きく異なる可能性がある。^{[ 61 ]}また、電場遮蔽の結果として、その電場も変化する。
• ホールは準粒子であり、状態における電子の空孔と考えることができます。これは、半導体の価電子帯の空状態の文脈で最も一般的に使用されます。^{[ 61 ]}ホールは電子とは反対の電荷を持ちます。
• ポーラロンとは、電子が近傍の原子の分極と相互作用する準粒子である。
• 励起子とは、電子と正孔が結合した状態のペアのことである。
• クーパー対とは、2つの電子が結合して単一の物質波として振る舞う状態を指す。

3番目のクラスは、波数ベクトル、波長を持ち、時間とともに変化するが、群速度または確率流束がゼロである物質波です。これらのうち最も単純なものは、上記の表記法に似ており、次のようになります。 $${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$$これらは、箱の中の粒子 の一部として、またリングの中などの他のケースでも発生します。これは、他の多くのケースにも拡張することができ、また拡張すべきであるとも言えるでしょう。たとえば、初期の研究では、ド・ブロイは、電子物質波がリング内で連続でなければならないという概念を使用して、量子力学への初期のアプローチでボーア・ゾンマーフェルト条件と結び付けました。 ^{[ 62 ]}その意味で、原子の周りの原子軌道、および分子軌道は電子物質波です。^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}

高エネルギー電子が規則的な固体に反射または透過する際に、電子回折パターンが現れる。これらのパターンを解析することで、固体中の原子配列のモデルが得られる。

これらは、電子顕微鏡を用いた透過型、走査型、および低エネルギー表面における、ミクロンから原子スケールまでのイメージングに使用されます。

電子エネルギー損失分光法における電子のエネルギー損失の測定は、物質の化学組成や電子構造に関する情報を提供する。また、電子ビームはエネルギー分散分光法において特性X線を生成し、ナノスケールでの化学組成に関する情報を得ることができる。

量子トンネル効果は、電子が静電場において古典的な予測よりも低いエネルギーで金属から脱出する仕組みを説明する。すなわち、物質波が金属の仕事関数障壁を透過するのである。

走査型トンネル顕微鏡は、量子トンネル効果を利用して固体表面の最上層の原子を画像化する。

電子ホログラフィーは、光ホログラフィーの電子物質波版であり、薄膜中の電場と磁場をプローブする。

中性子回折は、散乱断面積の違いや磁気に対する感度の違いにより、X線回折を補完するものである。

小角中性子散乱は、軽元素、同位体、磁気モーメントに敏感な、無秩序系の構造を得るための手段を提供する。

中性子反射率測定法は、薄膜の構造を測定するための、中性子回折技術である。

原子干渉計は、光干渉計と同様に、異なる経路をたどる原子物質波の位相差を測定する。

原子光学は、鏡や原子集束ゾーンプレートなど、多くの光学素子を模倣している。

走査型ヘリウム顕微鏡は、ヘリウム原子波を用いて固体構造を非破壊的に画像化する。

量子反射は、物質波の挙動を利用して、原子の斜入射反射を説明するものであり、これは一部の原子鏡の基礎となっている。

量子デコヒーレンス測定は、ルビジウム原子の波動干渉を利用する。

大きな分子からの物質波の干渉によって明らかになった量子重ね合わせは、波動粒子二重性と量子巨視性の限界を探る。 ^{[ 84 ] [ 85 ]}

物質波干渉計は分子ビーム上にナノ構造を生成し、それをナノメートル精度で読み取ることができるため、高感度な力測定に使用でき、そこから個々の複雑な分子のさまざまな特性を推測することができる。^{[ 86 ]}