スカラー電気力学

このモデルは複素スカラー場から構成される。${\displaystyle \phi (x)}$ゲージ場に最小限に結合${\displaystyle A_{\mu }(x)}$。

この記事では、平坦な時空に関する理論について論じます。$\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$（ミンコフスキー空間）したがって、これらの場は（素朴に）関数として扱うことができる${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} } 、および${\displaystyle A_{\mu }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow (\mathbb {R} ^{1,3})^{*}}$この理論は曲がった時空に対しても定義できますが、これらの定義はより微妙なものに置き換える必要があります。ゲージ場は主接続、特に主接続としても知られています。${\displaystyle {\text{U}}(1)}$繋がり。

ダイナミクスはラグランジュ密度によって与えられる

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {L}}&=&(D_{\mu }\phi )^{*}D^{\mu }\phi -V(\phi ^{*}\phi )-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\\&=&(\partial _{\mu }\phi )^{*}(\partial ^{\mu }\phi )-ie((\partial _{\mu }\phi )^{*}\phi -\phi ^{*}(\partial _{\mu }\phi ))A^{\mu }+e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -V(\phi ^{*}\phi )-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\end{配列}}}$

どこ

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }=(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })}$これは、電磁場の強度、または接続部の曲率を表します。
• ${\displaystyle D_{\mu }\phi =(\partial _{\mu }\phi -ieA_{\mu }\phi )}$は場の共変微分である${\displaystyle \phi }$
• ${\displaystyle e=-|e|<0}$電気電荷は
• ${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )}$これは複素スカラー場のポテンシャルである。

このモデルは、以下のパラメータで表されたゲージ変換の下で不変です。${\displaystyle \lambda (x)}$これは実数値関数です${\displaystyle \lambda$ :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {R} .}

${\displaystyle \phi '(x)=e^{ie\lambda (x)}\phi (x)\quad {\textrm {and}}\quad A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }\lambda (x).}$

ヒッグス機構を実証するための単純なポテンシャルの選択は

${\displaystyle V(|\phi |^{2})=\lambda (|\phi |^{2}-\Phi ^{2})^{2}。}$

ポテンシャルは最小限に抑えられる${\displaystyle |\phi |=\Phi }$これは、ゼロより大きい値に選ばれます。これにより、最小値の円が生成され、その値は次のようになります。$\displaystyle \Phi e^{i\theta }}$、 のために${\displaystyle \theta }$実数。