サイン・ゴルドン方程式

サイン・ゴルドン方程式は、関数に関する2階非線形偏微分方程式である。${\displaystyle \varphi }$通常は 2 つの変数に依存する${\displaystyle x}$そして${\displaystyle t}$波動演算子と正弦を含む${\displaystyle \varphi }$。

これは元々、エドモンド・ブール（1862年）が一定の負の曲率を持つ曲面の研究の過程で、 3次元空間における一定のガウス曲率-1を持つ曲面に対するガウス-コダッツィ方程式として導入したものです。^{[ 1 ]}この方程式は、ヤコフ・フレンケルとタチアナ・コントロワ（1939年）が結晶転位の研究で再発見したもので、フレンケル-コントロワモデルとして知られています。^{[ 2 ]}  

この方程式は、ソリトン解の存在により1970年代に大きな注目を集め、^{[ 3 ]}可積分偏微分方程式の一例である。よく知られている可積分偏微分方程式の中で、サイン・ゴルドン方程式はローレンツ不変性のため唯一の相対論的システムである。

「サイン・ゴルドン方程式」という名前は、物理学でよく知られているクライン・ゴルドン方程式をもじったものです。 ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.}$$

サイン・ゴルドン方程式は、ラグランジュ密度が次式で与えられる場のオイラー・ラグランジュ方程式である。

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .}$$

ラグランジアンのコサインのテイラー級数展開を用いて、

$${\displaystyle \cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}},}$$

これは、クライン・ゴルドン・ラグランジアンに高次の項を加えたものとして書き直すことができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$$

サイン・ゴルドン方程式の興味深い特徴の一つは、ソリトン解とマルチソリトン解が存在することである。

1ソリトン解

サイン・ゴルドン方程式には、以下の1ソリトン解が存在する。

$${\displaystyle \varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right),}$$

どこ

$${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}},}$$

そして、方程式のやや一般的な形式が仮定される。

$${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.}$$

1ソリトン解では、正の根を選択しました。${\displaystyle \gamma }$これはキンクと呼ばれ、変数のねじれを表します。${\displaystyle \varphi }$これにより、システムは1つの定数解から${\displaystyle \varphi =0}$隣接する定数解へ${\displaystyle \varphi =2\pi }$州${\displaystyle \varphi \cong 2\pi n}$これらはゼロエネルギーの定常解であるため、真空状態として知られています。負の根を取る1ソリトン解は、${\displaystyle \gamma }$これはアンチキンクと呼ばれます。1ソリトン解の形式は、自明な（真空）解にバックルンド変換を適用し、得られた1階微分を積分することによって得られます。

$${\displaystyle \varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2}},}$$

$${\displaystyle \varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}}{\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0}$$

永遠に。

1ソリトン解は、1970年にジュリオ・ルビンシュタインによって導入された弾性リボンサイン・ゴルドンモデルを用いて視覚化することができる。^{[ 8 ]}ここでは、弾性リボンの時計回り（左巻き）のねじれを位相電荷を持つキンクとみなす。${\displaystyle \theta _{\text{K}}=-1}$位相電荷を持つ、別の反時計回り（右巻き）のねじれ${\displaystyle \theta _{\text{AK}}=+1}$反性的嗜好となるだろう。

仮に${\displaystyle \varphi }$これはサイン・ゴルドン方程式の解である。 $${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .\,}$$

次にシステムが $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{u}&=\varphi _{u}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {\psi +\varphi }{2}}{\Bigr )}\\\psi _{v}&=-\varphi _{v}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {\psi -\varphi }{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$$ ここでa は任意のパラメータであり、関数に対して解くことができる。${\displaystyle \psi }$これはサイン・ゴルドン方程式も満たします。これはオート・バックルンド変換の一例です。${\displaystyle \varphi }$そして${\displaystyle \psi }$これらは同じ方程式、すなわちサイン・ゴルドン方程式の解である。

行列システムを用いることで、サイン・ゴルドン方程式の解に対する線形バックルンド変換を求めることも可能である。

例えば、${\displaystyle \varphi }$自明な解決策${\displaystyle \varphi \equiv 0}$、 それから${\displaystyle \psi }$は、1ソリトン解で、${\displaystyle a}$ソリトンに適用されるブーストに関連している。

解のトポロジカル電荷または巻き数${\displaystyle \varphi }$は $${\displaystyle N={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\left[\varphi (x=\infty ,t)-\varphi (x=-\infty ,t)\right].}$$溶液の エネルギー${\displaystyle \varphi }$は $${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} }dx\left({\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}+\varphi _{x}^{2})+m^{2}(1-\cos \varphi )\right)}$$ここで、一定のエネルギー密度が加えられているため、ポテンシャルは非負になります。これにより、ポテンシャルのテイラー展開の最初の2項は、命名法の項で述べたように、質量を持つスカラー場のポテンシャルと一致します。高次の項は相互作用と考えることができます。

エネルギーが有限であれば、トポロジカル電荷は保存される。トポロジカル電荷は、ローレンツブーストまで含めても解を決定しない。自明な解とソリトン・反ソリトン対解の両方が${\displaystyle N=0}$。

サイン・ゴルドン方程式は特定の曲率に相当する${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$-接続オン${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ゼロに等しい。^{[ 12 ]}

具体的には、座標を用いて${\displaystyle (u,v)}$の上${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$接続部品${\displaystyle A_{\mu }}$は次のように与えられる。 $${\displaystyle A_{u}={\begin{pmatrix}i\lambda &{\frac {i}{2}}\varphi _{u}\\{\frac {i}{2}}\varphi _{u}&-i\lambda \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\varphi _{u}i\sigma _{1}+\lambda i\sigma _{3},}$$$${\displaystyle A_{v}={\begin{pmatrix}-{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi &-{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi \\{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi &{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi \end{pmatrix}}=-{\frac {1}{4\lambda }}i\sin \varphi \sigma _{2}-{\frac {1}{4\lambda }}i\cos \varphi \sigma _{3},}$$ どこで${\displaystyle \sigma _{i}}$はパウリ行列である。すると、ゼロ曲率方程式は $${\displaystyle \partial _{v}A_{u}-\partial _{u}A_{v}+[A_{u},A_{v}]=0}$$

これはサイン・ゴルドン方程式と同等である。${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi }$ゼロ曲率方程式は、曲率が定義されている場合にゼロに等しくなることに対応するため、そのように名付けられています。${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]}$。

行列のペア${\displaystyle A_{u}}$そして${\displaystyle A_{v}}$これらは、サイン・ゴルドン方程式のラックス対としても知られており、ラックス方程式を満たすのではなく、ゼロ曲率方程式が偏微分方程式を再現するという意味で知られています。

のsinh-Gordon方程式は^{[ 13 ]}で与えられる。

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .}$$

これはラグランジアンのオイラー・ラグランジュ方程式である。

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .}$$

もう一つ密接に関連する方程式は、楕円サイン・ゴルドン方程式またはユークリッドサイン・ゴルドン方程式であり、次のように表される。

$${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,}$$

どこ${\displaystyle \varphi }$これは変数xとyの関数です。これはもはやソリトン方程式ではありませんが、解析接続(またはウィック回転) y  =  i tによってサイン ゴルドン方程式と関連付けられているため、多くの類似した性質を持っています。

楕円型sinh-Gordon方程式も同様の方法で定義できる。

もう一つの類似の方程式は、リウヴィル場理論のオイラー・ラグランジュ方程式から得られる。

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=2e^{2\varphi }.}$$

戸田場理論によって一般化が与えられる。^{[ 14 ]}より正確には、リウヴィル場理論は有限カッツ・ムーディー代数に対する戸田場理論である。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$sin(h)-GordonはアフィンKac–Moody代数に対するToda場理論である。${\displaystyle {\hat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$。

^{円上、 [ 15 ]}線分上、または半直線上のサイン・ゴルドンモデルも考えることができます。 ^{[ 16 ]}モデルの積分可能性を維持する境界条件を見つけることが可能です。^{[ 16 ]}半直線上のスペクトルには、ソリトンとブリーザーに加えて境界束縛状態が含まれます。 ^{[ 16 ]}

量子場理論では、サイン・ゴルドン模型にはプランク定数と同一視できるパラメータが含まれています。粒子スペクトルは、ソリトン、反ソリトン、および有限（場合によってはゼロ）個のブリーザーから構成されます。^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}ブリーザーの数はパラメータの値に依存します。多粒子生成は質量殻で相殺されます。

サイン・ゴルドン模型の半古典的量子化は、ルドウィグ・ファデエフとウラジミール・コレピンによって行われた。^{[ 20 ]}正確な量子散乱行列は、アレクサンダー・ザモロドチコフによって発見された。^{[ 21 ]} この模型は、コールマンによって発見されたように、サーリング模型のS双対である。^{[ 22 ]}これはコールマン対応として知られており、相互作用のある場合のボソン・フェルミオン対応の例として用いられる。この論文では、模型に現れる定数が繰り込みの下でうまく振る舞うことも示されている。パラメータは3つある。${\displaystyle \alpha _{0},\beta }$そして${\displaystyle \gamma _{0}}$コールマンは示した${\displaystyle \alpha _{0}}$乗法的な補正のみを受け、${\displaystyle \gamma _{0}}$加算補正のみを受け、${\displaystyle \beta }$正規化されていない。さらに、臨界値（ゼロでない値）の場合${\displaystyle \beta ={\sqrt {4\pi }}}$実際、この理論は自由質量ディラック場理論と双対関係にある。

量子サイン・ゴルドン方程式は、指数関数が頂点演算子となるように修正する必要がある。

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QsG}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi +{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}-\alpha (V_{\beta }+V_{-\beta })}$$

と${\displaystyle V_{\beta }=:e^{i\beta \varphi }:}$ここで、セミコロンは通常の順序付けを表します。質量項が含まれる場合があります。

確率的または動的サイン・ゴルドンモデルは、 Martin HairerとHao Shen ^{[ 25 ]}によって研究されており、 量子サイン・ゴルドン理論からのヒューリスティックな結果を統計的設定で証明することが可能です。

方程式は $${\displaystyle \partial _{t}u={\frac {1}{2}}\Delta u+c\sin(\beta u+\theta )+\xi ,}$$ どこ${\displaystyle c,\beta ,\theta }$は実数値定数であり、${\displaystyle \xi }$は時空白色ノイズです。空間次元は2に固定されています。解の存在証明では、閾値は${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {n}{n+1}}8\pi }$また、特定の用語の収束を決定する上で役割を果たす。

サイン・ゴルドン・モデルの超対称拡張も存在する。^{[ 26 ]}この拡張に対する可積分性を維持する境界条件も見つけることができる。^{[ 26 ]}

サイン・ゴルドンモデルは、結晶転位をモデル化したフレンケル・コントロワモデルの連続体極限として現れる。

長いジョセフソン接合のダイナミクスはサイン・ゴルドン方程式によってよく説明され、逆にサイン・ゴルドンモデルを研究するための有用な実験システムを提供する。^{[ 27 ]}

サイン・ゴルドン模型は、磁気の模型である連続古典的XY模型における渦と反渦のクーロン気体の有効作用と同じ普遍性クラスに属します。 ^{[ 28 ] [ 29 ]}したがって、渦のコステリッツ・サウレス遷移は、サイン・ゴルドン場理論の再規格化群解析から導出できます。 ^{[ 30 ] [ 31 ]}

サイン・ゴルドン方程式は、別の磁性モデルである量子ハイゼンベルクモデル、特にXXZモデルの形式的な連続極限としても現れる。^{[ 32 ]}

• ジョセフソン効果
• フラクソン
• 波形

• EqWorld: 数学方程式の世界におけるサイン・ゴルドン方程式。
• EqWorld（数学方程式の世界）におけるSinh-Gordon方程式。
• サイン・ゴルドン方程式 NEQwiki（非線形方程式百科事典）のWayback Machineに2012年3月16日にアーカイブされました。