遠心力

遠心力は、ニュートン力学における架空の力（「慣性」力または「疑似」力とも呼ばれる）であり、回転する基準フレームで見るとすべての物体に作用するように見えます。遠心力は、フレームの回転軸から放射状に離れる方向に向いているように見えます。角速度ωで回転する基準フレームの軸から距離rにある質量mの物体にかかる遠心力Fの大きさは、次のとおりです。 $${\displaystyle F=m\omega ^{2}r}$$

この架空の力は、遠心分離機、遠心ポンプ、遠心調速機、遠心クラッチなどの回転装置や、遠心鉄道、惑星軌道、傾斜曲線などで、回転座標系などの非慣性基準フレームで解析されるときによく適用されます。

この用語は、いくつかのシナリオにおいて 向心力に対する反作用として存在する、フレームに依存しない実際のニュートン力である反作用遠心力を指すために使用されることもあります。

1659年から、新ラテン語のvi centrifuga（「遠心力」）という用語がクリスティアーン・ホイヘンスのメモや手紙の中に確認されています。^{[1] [2]ラテン語で}centrumは「中心」を意味し、-fugus（fugiōから）は「逃げる、避ける」を意味することに注意してください。したがって、centrifugusは文字通り翻訳すると「中心から逃げる」ことを意味します。

1673年、ホイヘンスは著書『時計の振動数』の中で次のように書いている（リチャード・J・ブラックウェル訳）。^[3]

これまで検討してきた振動の他に、別の種類の振動があります。つまり、吊り下げられた重りが円周に沿って移動する運動です。このことから、最初の時計を発明したのとほぼ同時期に、別の時計を製作するに至りました。[...] 当初、私はこれらの時計の長い説明を、いわゆる円運動と遠心力^[a]に関する事柄とともに、ここに掲載するつもりでした。この主題については、現時点では私が語れる以上のことが山ほどあります。しかし、これらのことに関心のある人々が、この新しくて無駄ではない考察を早く楽しめるように、また、何らかの事故でその出版が妨げられないように、私は当初の計画に反して、この第 5 部を追加することにしました [...]。

同年、アイザック・ニュートンはヘンリー・オルデンバーグを通じてホイヘンスの著作を受け取り、「[ホイヘンス氏に]私のささやかな感謝の気持ちを返していただければ幸いです。[...] 遠心力に関する新たな講演が期待できることを嬉しく思います。その推測は、力学だけでなく、自然哲学や天文学にも役立つかもしれません。 」と返信した。[ ^{1] [4]}

1687年、ニュートンは『プリンキピア』で遠心力の概念をさらに発展させました。この頃、ニュートン、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ、ロバート・フックによってもこの概念がさらに発展しました。

18 世紀後半には、遠心力の現代的な概念は、回転する物体から生じる「架空の力」として発展しました。 ^{[引用が必要]}

遠心力は、古典力学における絶対運動の検出に関する議論でも役割を果たしてきました。ニュートンは、絶対回転が検出できるかどうかという疑問に対する答えとして、回転バケツ論と回転球論という2つの議論を提案しました。^[5]ニュートンによれば、それぞれのシナリオにおいて、遠心力は、物体のローカルフレーム（物体が静止しているフレーム）が絶対空間に対して回転している場合にのみ観測されます。

1883 年頃、マッハの原理が提唱されました。これは、絶対的な回転ではなく、遠方の星の局所的な慣性系に対する相対的な運動が、何らかの (仮説的な) 物理法則を通じて遠心力やその他の慣性効果を生じさせるというものです。今日の見解は、慣性系の概念に基づいています。これは、物理法則が最も単純な形をとる観測者、特に運動方程式で遠心力を使用しない系を優先し、運動を正しく記述します。

1914年頃、遠心力（人工重力を作り出すために使用されることもある）と重力の類似性から、一般相対性理論の等価原理が生まれました。^{[6] [7]}

遠心力は回転する基準系に現れる外向きの力である。^{[8] [9] [10] [11]}慣性基準系を基準としてシステムが記述される場合には遠心力は存在しない。

位置と速度の測定はすべて、何らかの基準系を基準に行う必要があります。たとえば、飛行中の旅客機内の物体の運動の分析は、旅客機、地球の表面、さらには太陽を基準に行うことができます。^{[12] 「}恒星」に対して静止している基準系（または回転せずに一定速度で移動する基準系）は、一般に慣性系と見なされます。慣性系（したがって遠心力なし）では、どのようなシステムも分析できます。ただし、回転系を使用して回転システムを説明する方が便利な場合が多くあります。計算が簡単になり、説明がより直感的になります。この選択を行うと、遠心力を含む架空の力が発生します。

原点を通る軸の周りを回転する基準フレームでは、運動の状態に関係なく、すべての物体は、質量、フレームの回転軸からの距離、およびフレームの角速度の2乗に比例する、放射状（回転軸から）の外向きの力の影響下にあるように見えます。 ^{[13] [14]}これが遠心力です。人間は通常、メリーゴーランドや乗り物など、回転する基準フレーム内から遠心力を経験するため、これは向心力よりもはるかによく知られています。

回転するフレームに対する運動は、別の架空の力、コリオリの力を生じます。フレームの回転速度が変化すると、3 つ目の架空の力 (オイラーの力) が必要になります。これらの架空の力は、回転する基準フレーム^{[15] [16]}における正しい運動方程式の定式化に必要であり、ニュートンの法則をそのようなフレームで通常の形で使用することを可能にします (ただし、架空の力はニュートンの第三法則に従わず、等しく反対の力を持つものが存在しません)。^[15]ニュートンの第三法則では、対応する力が同じ基準フレーム内に存在することが求められているため、そうでない遠心力と向心力は作用と反作用ではありません (時々誤って主張されるように)。

遠心力という考えを生む一般的な経験は、方向転換する車などの乗り物に乗っている乗客が経験することです。車が直線道路に沿って一定の速度で走行している場合、車内の乗客は加速しておらず、ニュートンの運動の第二法則によれば、乗客に作用する正味の力はゼロです（乗客に作用するすべての力は互いに打ち消し合います）。車が左に曲がるカーブに入ると、乗客は右側に引っ張られるように見える見かけの力を感じます。これが架空の遠心力です。乗客のローカルな参照フレーム内で、車に対して突然右側に加速し始める傾向を説明するために、この力が必要です。乗客は、車内で固定された位置にとどまるために、車に右向きの力（たとえば、座席に対する摩擦力）を適用して、この傾向に抵抗する必要があります。乗客は座席を右に押すので、ニュートンの運動の第三法則によれば、座席は乗客を左に押すことになります。遠心力は乗客の基準フレーム（乗客が静止しているフレーム）に含まれていなければならない。遠心力は座席によって乗客に加わる左向きの力に対抗し、この不均衡な力が乗客を加速させない理由を説明する。^[17]しかし、高架上から静止した観察者にとっては、座席によって乗客に加わる摩擦力が均衡していないことは明らかである。この摩擦​​力は左向きの正味の力となり、乗客はカーブの内側に向かって加速する。これは、乗客が車とともに動き続けるために必要であり、そうでなければ直線で進むはずの方向に進むことができないためである。したがって、乗客が感じる「遠心力」は、慣性によって引き起こされる「遠心傾向」の結果である。^{[18]同様の効果は飛行機や}ジェットコースターでも見られ、見かけの力の大きさはしばしば「 G 」で報告される。

石が水平面内で紐の上で回転する場合、水平面内で石に作用する唯一の実際の力は紐によって加えられます (重力は垂直に作用します)。水平面内で石に作用する正味の力は中心に向かって作用します。

慣性系では、この正味の力が石に作用していなければ、ニュートンの第一運動法則によれば、石は直線上を進みます。石を円軌道で動かし続けるためには、この場合弦によって提供される向心力が石に継続的に加えられなければなりません。弦が外されると（たとえば弦が切れた場合）、石は上から見て直線上を進みます。この慣性系では、実際の力とニュートンの運動法則のみを使用してすべての運動を適切に記述できるため、遠心力の概念は必要ありません。

石と同じ軸の周りを回転する基準系では、石は静止しています。しかし、弦によって加えられた力は石に作用し続けています。ニュートンの法則を通常の形式 (慣性系) で適用すると、石は加えられた正味の力の方向、つまり回転軸に向かって加速するはずですが、実際にはそうではありません。回転系でニュートンの運動法則を適用するには、実際の力に加えて、遠心力やその他の架空の力も考慮する必要があります。

地球は、23 時間 56 分ごとに軸の周りを 1回転するため、回転基準フレームを構成します。回転が遅いため、回転によって生じる架空の力は小さいことが多く、日常の状況では通常無視できます。高精度を必要とする計算でも、遠心力は明示的に含められることはなく、重力とまとめられます。地球表面の任意のポイントでの局所的な「重力」の強さと方向は、実際には重力と遠心力の組み合わせです。ただし、架空の力は任意のサイズにすることができます。たとえば、地球を基準とする基準システム (地球は静止していると見なされます) では、架空の力 (コリオリの力と遠心力のネット) は非常に大きく、太陽が地球の周りを周回する原因となっています。これは、太陽の質量と速度が大きいためです (地球に対して)。

地球の極の 1 つで単純なバネ秤を使って物体の重さを量ると、物体には 2 つの力が作用します。下向きに作用する地球の重力と、上向きに作用するバネの復元力です。物体は静止しており加速していないため、物体には正味の力は作用せず、バネの力は物体にかかる重力の大きさに等しくなります。この場合、秤は物体にかかる重力の値を示します。

同じ物体を赤道上で計量すると、同じ 2 つの実力はその物体に作用します。しかし、物体は地球の自転に合わせて円軌道を描いて移動しているため、向心加速度を受けます。慣性系 (つまり、地球とともに回転していない系) で考えると、加速度がゼロでないということは、重力がバネの力と釣り合わないことを意味します。正味の向心力を得るには、バネの復元力の大きさが重力の大きさよりも小さくなければなりません。バネの復元力が減ると、秤では重量が減り、赤道では極よりも約 0.3% 軽くなります。^[19] 地球基準系 (計量されている物体が静止している系) では、物体は加速しているようには見えません。しかし、2 つの実力、つまり重力とバネの力は同じ大きさであり、釣り合いが取れません。見かけ上の加速の欠如と一致するように、力の合計をゼロにするために遠心力を含める必要があります。

注: 実際には、観測された重量差はもっと大きく、約0.53%です。地球は完全な球体ではないため、地球の重力は赤道よりも極の方が少し強く、そのため極にある物体は赤道にある物体よりも地球の中心に少し近くなります。この効果と遠心力が組み合わさって、観測された重量差が生じます。^[20]

以下の形式では、回転参照フレームは、静止フレームとして示される慣性参照フレームに対して回転する 非慣性参照フレームの特殊なケースと見なされます。

回転座標系では、時間のベクトル関数P（物体の速度ベクトルや加速度ベクトルなど）の時間微分は、静止座標系での時間微分とは異なります。P ₁ P ₂、P ₃が、回転座標系の軸に沿った単位ベクトルi、j、kに関するPの成分である場合（つまり、 P = P ₁ i + P ₂ j + P ₃ k ）、回転座標系に関するPの1 次時間微分[d P /d t ]は、定義により、 d P ₁ /d t i + d P ₂ /d t j + d P ₃ /d t kです。回転座標系の絶対角速度がωである場合、静止座標系に関するPの微分d P /d tは、次式によって[d P /d t ]と関連します。 ^[21] ここで、 はベクトル積を表します。言い換えれば、静止フレームにおけるPの変化率は、回転フレームにおける見かけの変化率と、回転フレームの運動に起因する回転率の合計です。ベクトルω は、回転率に等しい大きさωを持ち、右手の法則に従って回転軸に沿って向きます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {P}}}{\mathrm {d} t}}=\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {P}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {P}}\ ,}$$${\displaystyle \times }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {P}}}$

質量mの粒子に対するニュートンの運動の法則は、ベクトル形式で次のように表されます。 ここで、Fは粒子に作用する物理的な力のベクトルの合計であり、aは粒子の絶対加速度(つまり、慣性系における加速度) で、次のように表されます。 ここで、rは粒子の位置ベクトルです (上記の半径と混同しないでください)。 $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}\ ,}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\ ,}$$

上記の変換を静止フレームから回転フレームに 3 回（ に 2 回、 に 1 回）適用すると、粒子の絶対加速度は次のように表すことができます。 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}}$${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}\ \right)\\&=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\\&=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}\ \right)\\&=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]+{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+2{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})\ .\end{aligned}}}$$

回転系における見かけの加速度は である。回転に気付いていない観測者は、外力がない場合はこれがゼロであると予想する。しかし、ニュートンの運動法則は慣性系にのみ適用され、絶対加速度 で力学を記述する。したがって、観測者は余分な項を架空の力による寄与として認識する。見かけの加速度におけるこれらの項は質量とは無関係であるため、重力などの架空の力はそれぞれ、物体をその質量に比例して引っ張るように見える。これらの力が加わると、運動方程式は次の形式になる。^{[22] [23] [24]}${\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}+\underbrace {\left(-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}\right)} _{\text{Euler}}+\underbrace {\left(-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]\right)} _{\text{Coriolis}}+\underbrace {\left(-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})\right)} _{\text{centrifugal}}=m\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\ .}$$

回転フレームの観点からは、追加の力の項は実際の外力と同じように感じられ、見かけの加速に寄与します。^{[25] [26]}方程式の力の側にある追加の項は、左から右に読むと、それぞれオイラー力 、コリオリの力、遠心力として認識できます。^[27]他の 2 つの架空の力とは異なり、遠心力は常に回転フレームの回転軸から放射状に外側を向いており、大きさは です。ここで、 は位置ベクトルの に垂直な成分であり、特にコリオリの力とは異なり、回転フレーム内の粒子の運動とは無関係です。予想どおり、回転しない慣性基準フレームでは、遠心力と他のすべての架空の力は消えます。^[28]同様に、遠心力は物体からフレームの回転軸までの距離に比例するため、軸上にある物体に対しては遠心力は消滅します。 ${\displaystyle -m\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}/\mathrm {d} t\times {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle -2m{\boldsymbol {\omega }}\times \left[\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}/\mathrm {d} t\right]}$${\displaystyle -m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})}$${\displaystyle m\omega ^{2}r_{\perp }}$${\displaystyle r_{\perp }}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}=0)}$

ニュートンは、局所フレームの絶対回転を検出できるかどうか、つまり、観測者が観測対象が回転しているかどうか、あるいは観測者が回転しているかどうかを判断できるかどうかという疑問に答えるために、3つのシナリオを提案した。^{[29] [30]}

• バケツの中で回転する水面の形状。表面の形状は、遠心力と液体にかかる他の力とのバランスをとるために凹状になります。
• 質量の中心を回転する 2 つの球を結合する弦の張力。弦の張力は、共通の質量の中心を回転する各球にかかる遠心力に比例します。

これらのシナリオでは、物体が慣性系に対して絶対回転している場合、遠心力に起因する効果は、ローカル フレーム (物体が静止しているフレーム) でのみ観察されます。対照的に、慣性系では、観察される効果は慣性と既知の力の結果として発生し、遠心力を導入する必要はありません。この議論に基づくと、物理法則が最も単純な形をとる特権フレームは、架空の力を呼び出す必要がない静止フレームです。

この物理学的見解では、通常遠心力に起因するとされる他のあらゆる現象は、絶対回転を特定するために使用できる。例えば、自由に流れる物質の球体の扁平性は、遠心力の観点から説明されることが多い。扁平回転楕円体の形状は、クレローの定理に従って、重力による閉じ込めと遠心力による分散のバランスを反映している。地球自体が扁平回転楕円体であり、半径距離、したがって遠心力が大きくなる赤道で膨らんでいることは、地球の絶対回転の証拠の1つと見なされている。^[31]

数多くの一般的な回転機械システムの動作は、遠心力の観点から最も簡単に概念化できます。例:

• 遠心調速機は、エンジンの速度が変化するとスロットルを調整し、放射状に移動する回転質量を使用してエンジンの速度を制御します。回転質量の基準フレームでは、遠心力によって放射状の動きが生じます。
• 遠心クラッチは、チェーンソー、ゴーカート、模型ヘリコプターなどの小型エンジン駆動装置で使用されています。遠心クラッチにより、装置を駆動せずにエンジンを始動してアイドリング状態にすることができますが、エンジン速度が上昇すると自動的にスムーズに駆動が開始されます。ロッククライミングで使用される慣性ドラムブレーキアセンダーや、多くの自動車のシートベルトで使用されている慣性リールも、同じ原理で動作します。
• 遠心力は、回転する宇宙ステーションの提案設計のように、人工重力を生成するために使用できます。火星重力バイオサテライトは、このように重力をシミュレートして、火星レベルの重力がマウスに与える影響を研究したはずです。
• スピン鋳造と遠心鋳造は、遠心力を利用して液体金属またはプラスチックを金型の負の空間全体に分散させる製造方法です。
• 遠心分離機は、科学や産業で物質を分離するために使用されます。遠心分離機の回転する基準フレームでは、遠心力によって、回転軸に対して垂直に向いた液体で満たされたチューブに静水圧勾配が生じ、低密度の粒子を内側に押し込む大きな浮力が生じます。液体よりも密度の高い要素または粒子は、遠心力の影響を受けて外側に移動します。これは、重力ではなく遠心力によって生成されるアルキメデスの原理に似ています。
• いくつかの遊園地の乗り物は遠心力を利用している。例えば、グラビトロンの回転により、乗客は壁に押し付けられ、地球の重力に逆らって機械の床から上に持ち上げられる。^[32]

ただし、これらのシステムはすべて、遠心力の概念を必要とせずに、静止フレーム内の運動と力の観点から記述することもできます。ただし、システム内の力と運動の考慮には多少の注意が必要になります。

科学文献の大半では、回転フレームで発生する特定の架空の力を指すために遠心力という用語を使用していますが、この用語が他の異なる物理的概念に適用されている文献の例は限られています。

こうした例の 1 つは、ラグランジュ力学で発生します。ラグランジュ力学は、一般化座標{ q _k } で力学を定式化します。一般化座標は通常の極座標と同じくらい単純なものでも、はるかに広範な変数のリストでもかまいません。 ^{[33] [34]この定式化では、運動は}一般化された力で記述され、ニュートンの法則の代わりにオイラー-ラグランジュ方程式が使用されます。一般化された力のうち、時間微分の 2 乗 {(d q _k   ⁄ d t  ) ² } を伴うものは、遠心力と呼ばれることがあります。^{[35] [36] [37] [38]}中心ポテンシャル内の運動の場合、ラグランジュ遠心力は、共回転フレームで導出される架空の遠心力と同じ形式になります。^[39]しかし、他のより一般的なケースにおけるラグランジアンの「遠心力」の使用は、ニュートンの定義との関連が限られている。 ${\displaystyle (r,\ \theta )}$

別の例では、この用語は向心力に対する反作用 力、または反作用遠心力を指す。円運動などの曲線運動をしている物体は、特定の時点で中心に向かって加速している。この向心加速は、曲線運動をしている物体に他の物体によって及ぼされる向心力によって提供される。ニュートンの運動の第3法則によれば、曲線運動をしている物体は、他の物体に等しく反対の力を及ぼす。この反作用力は、曲線運動をしている物体から、向心力を与える他の物体に及ぼされ、その方向は他の物体から曲線運動をしている物体に向かう。^{[40] [41] [42] [43]}

この反力は遠心慣性反力と呼ばれることもあります^{[44] [45]。}つまり、遠心方向に向いた力であり、質量の軌道を曲げる向心力と等しく反対の反力です。

反作用遠心力の概念は、力学や工学で時々使用されます。反作用遠心力ではなく、単に遠心力と呼ばれることもありますが^{[46] [47]、}この用法は初等力学では推奨されていません。^[48]

• 回転質量のバランス
• 加速の遠心メカニズム
• 等価原理
• 民間物理学
• ラグランジアン点
• ラム方程式

• ウィキメディア・コモンズの遠心力に関連するメディア