ステップポテンシャル

量子力学と散乱理論において、1 次元ステップポテンシャルは、入射波、反射波、透過波をモデル化するのに使用される理想化されたシステムです。問題は、1 次元のステップ状ポテンシャルを持つ粒子の時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解くことです。通常、ポテンシャルはヘビサイドのステップ関数としてモデル化されます。

波動関数 の時間に依存しないシュレーディンガー方程式は、 Ĥ はハミルトニアン、ħは縮約プランク定数、mは質量、E は粒子のエネルギーです。ステップポテンシャルは、V ₀、障壁の高さ、およびヘビサイドステップ関数の積です。 ${\displaystyle \psi (x)}$$${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),}$$$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}}$$

障壁はx = 0 に配置されていますが、ステップの位置を − x ₀だけシフトするだけで、結果を変えずに任意の位置x ₀を選択できます。

ハミルトニアンの最初の項は、粒子の 運動エネルギーです。${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$

ステップは空間をx < 0 とx > 0 の 2 つの部分に分割します。これらの部分のいずれにおいてもポテンシャルは一定であり、粒子は準自由であることを意味し、シュレーディンガー方程式の解は左方向と右方向に移動する波の重ね合わせとして表すことができます(自由粒子を参照)。

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\left(A_{\rightarrow }e^{ik_{1}x}+A_{\leftarrow }e^{-ik_{1}x}\right)\quad x<0,}$

${\displaystyle \psi _{2}(x)=\left(B_{\rightarrow }e^{ik_{2}x}+B_{\leftarrow }e^{-ik_{2}x}\right)\quad x>0}$

ここで、下付き文字 1 と 2 はそれぞれx < 0 とx > 0の領域を示し、振幅AとB の下付き文字 (→) と (←) は粒子の速度ベクトルの方向、つまりそれぞれ右と左を示します。

それぞれの領域における 波動ベクトルは

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}},}$

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$

どちらもド・ブロイ関係式（1次元） と同じ形をしている。

${\displaystyle p=\hbar k}$。

係数A、B は、 x = 0における波動関数の境界条件から見つける必要があります。波動関数とその導関数はどこでも連続している必要があるため、次のようになります。

${\displaystyle \psi _{1}(0)=\psi _{2}(0),}$

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=0}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=0}.}$

波動関数を挿入すると、境界条件は係数に次のような制限を与える。

${\displaystyle (A_{\rightarrow }+A_{\leftarrow })=(B_{\rightarrow }+B_{\leftarrow })}$

${\displaystyle k_{1}(A_{\rightarrow }-A_{\leftarrow })=k_{2}(B_{\rightarrow }-B_{\leftarrow })}$

この状況を古典的なケースと比較すると便利です。どちらの場合も、粒子は障壁領域の外側では自由粒子として動作します。障壁の高さV ₀より大きいエネルギーEを持つ古典的な粒子は減速されますが、障壁によって反射されることはありません。一方、障壁の左側から入射するE < V ₀の古典的な粒子は常に反射されます。量子力学的な結果がわかったら、古典的な限界を回復する方法という問題に戻ります。

量子の場合を研究するために、次の状況を考えてみましょう：障壁の左側A _→から粒子が入射します。反射されるか ( A _← )、透過されるか ( B _→ ) します。ここで、および以下では、E > V ₀と仮定します。

左から入射した場合の反射と透過の振幅を求めるには、上記の式でA _→ = 1 (入射粒子)、A _← = √ R (反射)、B _← = 0 (右からの入射粒子なし)、B _→ = √ Tk ₁ / k ₂ (透過^{[1] )と設定します。次に、} TとRについて解きます。

結果は次のとおりです。

${\displaystyle {\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {R}}={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}.}$

このモデルはパリティ変換に関して対称であり、同時にk ₁とk _{2 を}交換する。したがって、右からの入射の場合、透過と反射の振幅は次のようになる。

${\displaystyle {\sqrt {T'}}={\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {R'}}=-{\sqrt {R}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}.}$

エネルギーE < V ₀の場合、ステップの右側の波動関数は距離にわたって指数関数的に減少します。 ${\displaystyle 1/(k_{2})}$

このエネルギー範囲では、透過係数と反射係数は従来の場合とは異なります。左から入射する場合も右から入射する場合も同じです。

${\displaystyle T=|T'|={\frac {4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle R=|R'|=1-T={\frac {(k_{1}-k_{2})^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$

大きなエネルギーE ≫ V ₀の極限では、 k ₁ ≈ k ₂となり、古典的な結果T = 1、R = 0 が回復されます。

したがって、ステップの高さよりも大きいエネルギーを持つ粒子が反射される確率は有限です。

• Eが大きく正で、ステップが小さい場合、 T はほぼ 1 になります。
• しかし、 Eが小さく正でVが大きい負の場合、R はほぼ 1 になります。

言い換えれば、量子粒子は大きな電位降下から反射します (大きな電位ステップから反射するのと同様)。これはインピーダンス不整合の観点からは理にかなっていますが、古典的には直感に反しているようです...

R について得られた結果は、比E / V ₀のみに依存します。表面的には、プランク定数の値や粒子の質量に関係なく、反射の確率は有限であるため、対応原理に違反しているように見えます。たとえば、ビー玉がテーブルの端まで転がったとき、落ちずに反射される確率が高いと予測できます。ステップポテンシャルが不連続であるという非物理的な仮定を排除することで、古典力学との整合性が回復します。ステップ関数を有限の距離wにわたるランプに置き換えると、反射の確率は の限界でゼロに近づきます。ここで、kは粒子の波数です。^[2]${\displaystyle wk\to \infty }$

ステップポテンシャルと衝突する自由粒子の相対論的計算は、相対論的量子力学を使用して得ることができる。電子やニュートリノのような 1/2 フェルミオンの場合、高エネルギー障壁に対するディラック方程式の解は、有界でない透過係数と反射係数を生成する。この現象はクラインのパラドックスとして知られている。この見かけ上のパラドックスは、量子場理論の文脈では消える。

ヘビサイドステップポテンシャルは、主に量子力学入門の演習として役立ちます。その解決には、波動関数の正規化、連続性、入射/反射/透過振幅、確率など、さまざまな量子力学の概念を理解する必要があるためです。

検討した問題と同様の問題が、常伝導金属と超伝導体の界面の物理学にも現れます。準粒子は、最も単純なモデルでは階段状の形状を持つと想定できる対ポテンシャルで散乱します。ボゴリュボフ・ド・ジェンヌ方程式の解は、議論したヘビサイドステップポテンシャルの解に似ています。超伝導体の常伝導金属の場合、これによりアンドレーエフ反射が発生します。

• 長方形のポテンシャル障壁
• 有限ポテンシャル井戸
• 無限の可能性の井戸
• デルタポテンシャル障壁
• 有限ポテンシャル障壁

• 量子力学の謎を解明、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2006年、ISBN 0-07-145546 9 
• 原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学（第 2 版）、R. アイスバーグ、R. レズニック、John Wiley & Sons、1985 年、ISBN 978-0-471-87373-0 
• 量子力学、E.アバーズ、ピアソン編集、アディソン・ウェズリー、プレンティス・ホール社、2004年、ISBN 978-0-13-146100-0 
• 初等量子力学、NF モット、ワイカムサイエンス、ワイカムプレス（テイラー＆フランシスグループ）、1972年、ISBN 0-85109-270-5 
• 定常状態、A. ホールデン、カレッジ物理学モノグラフ（米国）、オックスフォード大学出版局、1971年、ISBN 0-19-851121-3 
• 量子力学、E. Zaarur、Y. Peleg、R. Pnini、Schaum's Outlines、Mc Graw Hill（米国）、1998年、ISBN 007-0540187 

• 新しい量子宇宙、T.Hey、P.Walters、ケンブリッジ大学出版局、2009年、ISBN 978-0-521-56457-1。 
• 量子場理論、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2008年、ISBN 978-0-07-154382-8 
• 量子力学、E. Zaarur、Y. Peleg、R. Pnini、Schaum's Easy Outlines Crash Course、Mc Graw Hill (米国)、2006 年、ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-145533-6