スカラー曲率

数学の分野であるリーマン幾何学において、スカラー曲率（またはリッチ・スカラー）は、リーマン多様体の曲率の尺度である。リーマン多様体上の各点に、その点の近くの計量の幾何学によって決まる単一の実数を割り当てる。これは、計量​​成分の偏導関数に関する複雑な明示的公式によって定義されるが、無限小の測地線球の体積によっても特徴付けられる。曲面の微分幾何学の文脈では、スカラー曲率はガウス曲率の2 倍であり、曲面の曲率を完全に特徴付ける。しかし、より高次元では、スカラー曲率はリーマン曲率テンソルの特定の部分のみを表す。

偏微分によるスカラー曲率の定義は、擬リーマン多様体のより一般的な設定でも有効です。これは一般相対性理論において重要であり、ローレンツ計量のスカラー曲率はアインシュタイン場の方程式の重要な項の 1 つです。さらに、このスカラー曲率はアインシュタイン-ヒルベルト作用のラグランジアン密度であり、そのオイラー-ラグランジュ方程式は真空中のアインシュタイン場の方程式です。

正のスカラー曲率を持つリーマン計量の幾何学は、広く研究されてきた。非コンパクト空間では、これは1970 年代にリチャード・シェーンとシン・トン・ヤウによって証明され、その後すぐにエドワード・ウィッテンによって異なる手法で再証明された正の質量定理の背景となっている。シェーンとヤウ、およびミカエル・グロモフとブレイン・ローソンはそれぞれ独立に、正のスカラー曲率の計量をサポートする閉多様体の位相に関するいくつかの基本的な結果を開発した。彼らの結果と組み合わせて、 2003 年にグリゴリ・ペレルマンが手術によるリッチフローを構築したことで、3 次元の場合のこれらの位相の完全な特徴付けが行われた。

リーマン計量 gが与えられたとき、スカラー曲率Scalは、計量に関するリッチ曲率テンソルのトレースとして定義される。 ^[1]

${\displaystyle \operatorname {Scal} =\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} .}$

スカラー曲率はリッチ曲率から直接計算することはできない。なぜなら後者は (0,2) テンソル場だからである。トレースを取るためには、メトリックを使って指数を上げて(1,1) テンソル場を得る必要がある。局所座標では、アインシュタインの表記法を使って次のように書くことができる。 ^[2]

${\displaystyle \operatorname {Scal} =g^{ij}R_{ij}}$

ここで、R _ij = Ric(∂ _i , ∂ _j )は座標基底におけるリッチテンソルの成分であり、g ^ijは逆計量成分、すなわち計量成分行列g _ij = g (∂ _i , ∂ _j )の逆行列の成分である。リッチ曲率は断面曲率の合計であることから、スカラー曲率は次のように表すこともできる^[3]。

${\displaystyle \operatorname {Scal} (p)=\sum _{i\neq j}\operatorname {Sec} (e_{i},e_{j})}$

ここでSec は断面曲率、e ₁ , ..., e _{n は}pにおける任意の正規直交フレームである。同様の推論により、スカラー曲率は曲率演算子のトレースの2倍である。^{[4]あるいは、}クリストッフェル記号によるリッチ曲率の座標ベースの定義を考えると、スカラー曲率は次のように表すことができる。

${\displaystyle \operatorname {Scal} =g^{\mu \nu }\left({\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu ,\lambda }-{\Gamma ^{\lambda }}_ {\mu \lambda ,\nu }+{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\lambda \sigma }-{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \lambda }{\Gamma ^{\lambda }}_{\nu \sigma }\right)}$

ここで、は計量のクリストッフェル記号であり、はσ座標方向 の偏微分です。${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }}$${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda ,\sigma }}$${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }}$

上記の定義は擬似リーマン計量にも同様に当てはまります。^[5]ローレンツ計量の特殊なケースは一般相対性理論において重要であり、スカラー曲率とリッチ曲率はアインシュタイン場の方程式の基本項です。

しかし、リーマン曲率テンソルやリッチテンソルとは異なり、スカラー曲率は、(0,2)-テンソル場のトレースが定義できないという理由で、任意のアフィン接続に対して定義することはできない。しかし、フィンスラー幾何学を含む、スカラー曲率の他の一般化が存在する。^[6]

テンソル指数表記の文脈では、文字Rを3つの異なるものを表すために使うのが一般的です。^[7]

1. リーマン曲率テンソル: R _ijk ^lまたはR _ijkl
2. リッチテンソル: R _ij
3. スカラー曲率: R

これら3つは、指数の数によって区別されます。リーマンテンソルは4つの指数を持ち、リッチテンソルは2つの指数を持ち、リッチスカラーは0の指数を持ちます。スカラー曲率に使用される他の表記法には、scal、^[8]、 κ、^[9]、 K、^[10]、 r、^[11]、 sまたはS、^[12]、τなどがあります。^[13]

インデックス表記を使用しない場合、通常はR を完全なリーマン曲率テンソルとして使います。あるいは、座標フリー表記では、リーマン テンソルにRiem 、リッチ テンソルにRic 、スカラー曲率に R を使うこともできます。

一部の著者は、代わりに正規化係数を用いてリッチ曲率とスカラー曲率を定義しており、^[10]

${\displaystyle R_{ij}={\frac {1}{n-1}}g^{kl}R_{kijl}{\text{ かつ }}R={\frac {1}{n}}g^{ij}R_{ij}.}$

このような選択の目的は、リッチ曲率とスカラー曲率が断面曲率の合計ではなく平均値になることです。 ^[14]

スカラー曲率が等長写像の下で不変であることは基本的な事実である。正確に言うと、f が空間Mから空間Nへの微分同相写像であり、後者が（擬）リーマン計量gを備えている場合、 M上の引き戻し計量のスカラー曲率は、gのスカラー曲率と写像fの合成に等しい。これは、スカラー曲率が座標チャートや局所フレームの選択に関係なく、幾何学的に明確に定義されているという主張に等しい。^{[15]より一般的には、}相似性の言葉で表現されるように、計量を定数係数cでスケーリングする効果は、スカラー曲率を逆係数c ⁻¹でスケーリングすることである。^[16]

さらに、スカラー曲率は（正規化係数の任意の選択を除いて）正規座標チャートの中心で評価されるように、計量の微分に関する多項式であり、上記のスケーリング特性を持つ、計量の唯一の座標に依存しない関数です。^{[17]これは、}ヴェルメイユの定理の1つの定式化です。

ビアンキ恒等式の直接的な帰結として、任意の（擬）リーマン計量は^[5]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\nabla _{i}R=g^{jk}\nabla _{j}R_{ki}.}$

この恒等式は縮約ビアンキ恒等式と呼ばれる。ほぼ直接的な帰結として、リッチテンソルが点ごとに計量の倍数である場合、計量はアインシュタインでなければならない（次元が2でない限り）というシュアー補題が得られる。さらに、これは（2次元を除いて）リッチテンソルとスカラー曲率が次式で関係する場合に限り、計量がアインシュタインであるということを意味している。

${\displaystyle R_{ij}={\frac {1}{n}}Rg_{ij},}$

ここでnは次元を表す。^{[18]縮約されたビアンキ恒等式は、}アインシュタインテンソルを基本量として特定するため、一般相対性理論の数学においても基本的なものである。 ^[19]

n次元空間上の（擬）リーマン計量gが与えられたとき、リーマン曲率テンソルのスカラー曲率部分は（0,4）テンソル場である。

${\displaystyle {\frac {1}{n(n-1)}}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).}$

（これは、 R _ijkl = g _lp ∂ _i Γ _jk ^p − ...という慣例に従います。）このテンソルは、リッチ分解の一部として重要です。これは、リーマンテンソルとそれ自身の差に直交します。リッチ分解の他の 2 つの部分は、スカラー曲率に寄与しないリッチ曲率の成分と、リッチ曲率に寄与しないリーマンテンソルの部分であるワイルテンソルに対応します。言い換えると、上記のテンソル場は、スカラー曲率に寄与するリーマン曲率テンソルの唯一の部分であり、他の部分はそれに直交しており、そのような寄与をしません。^[20]ケーラー計量の曲率に対するリッチ分解もあります。^[21]

等角変換計量のスカラー曲率は次のように計算できる: ^[22]

${\displaystyle R(e^{2f}g)=e^{-2f}{\Big (}R(g)-2(n-1)\Delta ^{g}f-(n-2)(n-1)g(df,df){\Big )},}$

ラプラス・ベルトラミ演算子に対してΔ = g ^ij ∇ _i ∇ _jという規則を用いる。あるいは、^[22]

${\displaystyle R(\psi ^{4/(n-2)}g)=-{\frac {4{\frac {n-1}{n-2}}\Delta ^{g}\psi -R (g)\psi }{\psi ^{\frac {n+2}{n-2}}}}.}$

基礎となる測定基準が微小に変化した場合、^[23]

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-\Delta ^{g}\left(g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)+\left(\nabla _{k}\nabla _{l}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}-R_{kl}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)g^{ik}g^{jl}.}$

これは特に、計量をそのスカラー曲率に送る 微分作用素の主記号が次のように与えられることを示している。

${\displaystyle (\xi _{i},h_{ij})\mapsto -g(\xi ,\xi )g^{ij}h_{ij}+h_{ij}\xi ^{i}\xi ^ {j}。}$

さらに、線形化されたスカラー曲率演算子の随伴関数は

${\displaystyle f\mapsto \nabla _{i}\nabla _{j}f-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},}$

リーマン計量の場合には過剰決定楕円作用素である。第一変分公式から明らかなように、第一順序では、閉じた多様体上のリッチ平坦リーマン計量は正または負のスカラー曲率を持つように変形することはできない。また第一順序では、閉じた多様体上のアインシュタイン計量は体積正規化の下でスカラー曲率を増加または減少するように変形することはできない。^[23]

ある点におけるスカラー曲率が正の場合、その点の周りの小さな測地線球の体積は、ユークリッド空間内の同じ半径の球の体積よりも小さくなります。一方、ある点におけるスカラー曲率が負の場合、小さな球の体積はユークリッド空間内の体積よりも大きくなります。

これをより定量的に表すと、リーマンn多様体の点pにおけるスカラー曲率Sの正確な値を特徴付けることができる。すなわち、半径εの球体のn次元体積とユークリッド空間の対応する球体の体積の比は、εが小さい場合、^{[24]で与えられる。}${\displaystyle (M,g)}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Vol} \left(B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n}\right)}}=1-{\frac {S}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right).}$

したがって、半径ε = 0で評価されたこの比の 2 次導関数は 、スカラー曲率を 3( n  + 2) で割った値とまったく同じになります。

これらの球の境界は半径の( n  −1)次元球面であり、その超曲面測度（「面積」）は次の式を満たす：^[25]${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {面積} (\partial B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {面積} (\partial B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {S}{6n}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right).}$

これらの展開は、ガウス曲率の特定の特徴を2 次元から高次元まで一般化します。

2次元では、スカラー曲率はガウス曲率のちょうど2倍である。ユークリッド空間R ³の埋め込み面の場合、これは次のことを意味する。

${\displaystyle S={\frac {2}{\rho _{1}\rho _{2}}}\,}$

ここで、 は表面の主半径です。たとえば、半径rの 2 次元球面のスカラー曲率は 2/ r ²に等しくなります。 ${\displaystyle \rho _{1},\,\rho _{2}}$

2次元リーマン曲率テンソルは1つの独立成分しか持たず、スカラー曲率と計量面積の形式で表現できる。つまり、任意の座標系において、

${\displaystyle 2R_{1212}\,=S\det(g_{ij})=S\left[g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}\right].}$

空間形式は、定義により、断面曲率が一定であるリーマン多様体です。空間形式は、次のいずれかのタイプに局所的に等長です。

スカラー曲率は、定正則断面曲率のケーラー計量が与えられた場合にも一定である。^[21]

リーマン多様体の積 M × Nのスカラー曲率は、 MとNのスカラー曲率の和です。たとえば、任意の滑らかな 閉多様体 Mについて、 2 次元球面をMと比較して小さくする (したがって曲率が大きい) だけで、M × S ^{2 は}正のスカラー曲率の計量を持ちます。この例は、スカラー曲率が多様体のグローバルな幾何学とほとんど関係がないことを示唆している可能性があります。実際、以下で説明するように、スカラー曲率はグローバルな意味を持ちます。

数学と一般相対論の両方において、歪んだ積の計量は重要な例である。例えば、宇宙論にとって重要な一般ロバートソン・ウォーカー時空は、ローレンツ計量である。

${\displaystyle -dt^{2}+f(t)^{2}g}$

（a , b） × M上の、gは3次元多様体M上の定曲率リーマン計量である。ロバートソン・ウォーカー計量のスカラー曲率は次のように与えられる。

${\displaystyle 6{\frac {f'(t)^{2}+f(t)f''(t)+k}{f(t)^{2}}},}$

ここでkはgの定曲率である。^[26]

任意のリッチ平坦多様体はスカラー曲率がゼロであることは自動的にわかります。このクラスで最もよく知られている空間はカラビ・ヤウ多様体です。擬リーマンのコンテキストでは、これにはシュワルツシルト時空とカー時空も含まれます。

スカラー曲率がゼロだがリッチ曲率がゼロでない計量が存在する。例えば、実射影空間上のトートロジー直線束上には、スカラー曲率がゼロだがリッチ曲率がゼロでない歪んだ積計量として構成された完全なリーマン計量が存在する。これは、円筒R × S ⁿ上のスカラー曲率がゼロの回転対称リーマン計量として見ることもできる。^[27]

山辺問題は1984年に山辺英彦、ニール・トゥルーディンガー、ティエリー・オーバン、リチャード・シェーンらの研究結果の組み合わせによって解決された。^{[28]彼らは、}閉多様体上のすべての滑らかなリーマン計量に何らかの滑らかな正の関数を掛け合わせると、一定のスカラー曲率を持つ計量が得られることを証明した。言い換えれば、閉多様体上のすべてのリーマン計量は、一定のスカラー曲率を持つ計量と 共形である。

閉じたリーマン 2 次元多様体Mの場合、スカラー曲率はMの位相と明確な関係があり、ガウス・ボネ定理によって表現されます。つまり、 Mの全スカラー曲率はMのオイラー特性の4 π倍に等しくなります。たとえば、正のスカラー曲率の計量を持つ閉じた表面は、正のオイラー特性を持つもの、つまり球面S ²とRP ²だけです。また、これら 2 つの表面は、スカラー曲率 ≤ 0 の計量を持ちません。

1960年代、アンドレ・リヒネロヴィッチは、スピン多様体上で、ディラック演算子の2乗とテンソルラプラシアン（スピノル場で定義される）の差は、スカラー曲率のちょうど4分の1​​で与えられることを発見した。これは、ヴァイツェンベックの公式の基本的な例である。結果として、閉多様体上のリーマン計量が正のスカラー曲率を持つ場合、調和スピノルは存在できない。したがって、アティヤ・シンガー指数定理の帰結として、4で割り切れる次元を持ち、正のスカラー曲率を持つ任意の閉スピン多様体に対して、種数はゼロでなければならない。これは、正のスカラー曲率を持つリーマン計量の存在に対する純粋に位相的な障害である。^[29]

ディラック演算子を用いたリヒネロヴィチの議論は、補助ベクトル束によって「ひねり」を加えることができるが、その効果はリヒネロヴィチの公式に1つの余分な項を導入するだけである。^{[30]次に、指数定理の族バージョンと}α種数として知られる種数の改良バージョンを使用することを除いて上記と同じ分析に従って、ナイジェル・ヒッチンは、特定の次元では正のスカラー曲率のリーマン計量を持たないエキゾチックな球面が存在することを証明した。グロモフとローソンは後に、リヒネロヴィチの研究のこれらの変形を広範囲に使用した。彼らの結果として得られた定理の1つは、拡大可能性のホモトピー理論的概念を導入し、拡大可能なスピン多様体は正のスカラー曲率のリーマン計量を持つことができないと述べている。系として、トーラスのような非正曲率のリーマン計量を持つ閉多様体には、正のスカラー曲率を持つ計量は存在しない。 正のスカラー曲率を持つリーマン計量が存在しないというグロモフとローソンのさまざまな結果は、正のスカラー曲率を持つ任意の閉スピン多様体のさまざまな位相不変量が消えるという予想を支持している。 これは（正確な定式化では）今度は、C*-代数の K-理論を扱う基本群に対する強ノビコフ予想の特殊なケースとなる。^[31]これは今度は、基本群 に対するバウム-コヌ予想の特殊なケースとなる。 ^[32]

4次元多様体の特殊なケースでは、セイバーグ・ウィッテン方程式はスカラー曲率の研究に有効に応用されてきた。リヒネロヴィッチの解析と同様に、鍵となるのは、スカラー曲率が正の場合にはセイバーグ・ウィッテン方程式の解は自明であることを証明するための最大原理の適用である。また、リヒネロヴィッチの研究と同様に、指数定理は方程式の非自明な解の存在を保証できる。このような解析は、正のスカラー曲率の計量の非存在に対する新しい基準を提供する。クロード・ルブランは、このようなアイデアをいくつかの論文で追求した。^[33]

上記の存在しない結果とは対照的に、ローソンとヤウは、非可換有効群作用の広いクラスから正のスカラー曲率のリーマン計量を構築した。^[30]

その後、シェーン・ヤウとグロモフ・ローソンは（異なる手法を用いて）正のスカラー曲率のリーマン計量の存在は少なくとも3次元の位相的手術によって保存され、特に連結和によって保存されるという基本的な結果を証明した。これは、さまざまな多様体上にそのような計量が存在することを確立する。たとえば、球面空間形式と一般化円筒の任意の数のコピーの連結和S ^m × S ⁿは、正のスカラー曲率のリーマン計量を持つことがすぐにわかる。グリゴリー・ペレルマンの手術によるリッチフローの構成は、直接の帰結として、3次元の場合の逆を持つ。つまり、正のスカラー曲率のリーマン計量を持つ閉じた有向3次元多様体は、そのような連結和でなければならない。^[34]

グロモフ・ローソンとシェーン・ヤウの構成によって可能になった手術に基づ​​いて、グロモフとローソンは、h-コボルディズム定理とコボルディズム環の解析が直接適用できることを観察した。彼らは、4次元を超える任意の非スピン単連結閉多様体は、正のスカラー曲率のリーマン計量を持つことを証明した。^[35]ステファン・シュトルツは、4次元を超える単連結閉多様体の存在理論を完成させ、α種数がゼロである限り、正のスカラー曲率のリーマン計量が存在することを示した。^[36]

これらの結果によれば、閉じた多様体の場合、3 次元の場合と 4 次元を超える単連結多様体の場合には、正のスカラー曲率のリーマン計量の存在が完全に解決されます。

スカラー曲率の符号は、高次元では位相と弱い関係を持つ。少なくとも次元が3の滑らかな閉多様体Mが与えられたとき、カズダンとワーナーは、 M上のどの滑らかな関数がM上の何らかのリーマン計量のスカラー曲率として生じるかを記述する、規定されたスカラー曲率問題を解いた。すなわち、Mは次の3つのタイプのうちの1つでなければならない：^[37]

1. M上のすべての関数は、M上の何らかの計量のスカラー曲率です。
2. M上の関数は、どこかで常にゼロまたは負になる場合にのみ、M上の何らかの計量のスカラー曲率になります。
3. M上の関数は、どこかで負になる場合にのみ、M上の何らかの計量のスカラー曲率になります。

したがって、次元が 3 以上の多様体はすべて、負のスカラー曲率を持つ計量を持ち、実際は負の一定のスカラー曲率を持ちます。Kazdan-Warner の結果は、どの多様体が正のスカラー曲率を持つ計量を持つかという問題に注目し、それが特性 (1) と同等です。境界ケース (2) は、強くスカラー平坦な計量を持つ多様体のクラスとして記述できます。これは、 Mが正のスカラー曲率を持つ計量を持たない ようなスカラー曲率 0 の計量を意味します。

二木明人は、（上で定義した）強スカラー平坦な計量は非常に特殊であることを示した。少なくとも5次元の強スカラー平坦な単連結リーマン多様体Mに対して、 Mはホロノミー群SU( n )（カラビ・ヤウ多様体）、Sp( n )（ハイパーケーラー多様体）、またはSpin(7)を持つリーマン多様体の積でなければならない。 ^{[38]特に、これらの計量はスカラー平坦であるだけでなく、リッチ平坦でもある。逆に、} K3曲面など、これらのホロノミー群を持つ多様体の例があり、これはスピンであり、α不変量がゼロではないため、強スカラー平坦である。

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