スカラー色力学

量子場の理論において、スカラー色力学はスカラー量子色力学またはスカラー QCD とも呼ばれ、スカラー場と結合したゲージ場からなるゲージ理論です。この理論は、標準モデルのヒッグス セクターをモデル化するために実験的に使用されます。

これは、スカラー場とゲージ場の結合から生じます。スカラー場は、素粒子物理学で特定の粒子をモデル化するために使用されます。最も重要な例はヒッグス粒子です。ゲージ場は、素粒子物理学で力をモデル化するために使用されます。ゲージ場は力のキャリアです。ヒッグスセクターに適用された場合、これらはグラショー・ワインバーグ・サラム理論によって記述される電弱理論に現れるゲージ場です。

この記事では、一般にミンコフスキー空間として知られる平坦時空に関する理論について説明します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$

このモデルは、ゲージ場と最小限に結合した複素ベクトル値スカラー場から構成されます。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle A_{\mu}}$

理論のゲージ群はリー群です。一般に 、これは何らかの に対して当てはまりますが、 を具体的に固定しなくても多くの詳細は当てはまります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

スカラー場は関数 として扱うことができ、ここで はの表現のデータです。すると はベクトル空間になります。「スカラー」とは、ベクトル値であるにもかかわらず、ローレンツ群の作用によって が（自明に）変換する方法を指します。具体的には、表現は基本表現として選択されることがよくあります。 の場合、この基本表現は です。もう 1 つの一般的な表現は、随伴表現です。この表現では、以下のラグランジアンを変えて運動方程式を見つけると、ヤン・ミルズ・ヒッグス方程式が得られます。 ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow V}$${\displaystyle (V,\rho,G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

ゲージ場の各成分は関数であり、ここで はリー群–リー代数対応からののリー代数です。幾何学的な観点から、は、 （理論が平坦な時空上にあるために可能となる） 大域的な自明化の選択による主接続の成分です。${\displaystyle A_{\mu}:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A_{\mu}}$

ラグランジアン密度は、クライン＝ゴードン・ラグランジアン（ポテンシャル付き）とヤン＝ミルズ・ラグランジアンとの最小結合から生じる。^{[1] : 102}ここで、スカラー場はの基本表現である。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

どこ

• ${\displaystyle F_{\mu \nu}}$はゲージ場の強さであり、 と定義されます。幾何学では、これは曲率形式です。${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu } ]}$
• ${\displaystyle D_{\mu}\phi}$は の共変微分であり、次のように定義される。${\displaystyle \phi}$${\displaystyle D_{\mu }\phi =\partial _{\mu }\phi -ig\rho (A_{\mu })\phi .}$
• ${\displaystyle g}$結合定数です。
• ${\displaystyle V(\phi )}$潜在力です。
• ${\displaystyle {\text{tr}}}$は、キリング形式のような、上の不変 双線型形式です。形式はの何らかの表現におけるトレースとして現れることが多いため、これを とラベル付けするのは、典型的な表記法の乱用です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\text{tr}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

これは、 を置き換えることにより、任意のゲージ群 （不変内積 を備えた任意の表現で が値を取る）に簡単に一般化されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle (D_{\mu }\phi )^{\dagger }D^{\mu }\phi \mapsto \langle D_{\mu }\phi ,D^{\mu }\phi \rangle }$

モデルはゲージ変換に対して不変であり、群レベルでは関数、代数レベルでは関数 です。 ${\displaystyle U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow G}$${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$

グループレベルでは、フィールドの変換は^[2]

${\displaystyle \phi (x)\mapsto U(x)\phi (x)}$

${\displaystyle A_{\mu }(x)\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }U)U^{-1 }.}$

幾何学的観点からは、これは自明性の全体的な変化です。ゲージ対称性を対称性と呼ぶのは誤りであるのはそのためです。これは実際にはシステムの説明における冗長性です。 ${\displaystyle U(x)}$

この理論は曲がった時空 への一般化を認めているが、そのためには理論に現れる多くのオブジェクトに対してより微妙な定義が必要となる。例えば、スカラー場 はファイバー を伴うベクトル束の断面として見なければならない。これは平坦な時空でも当てはまるが、基本空間が平坦であるため、断面を関数 として見ることができ、概念的にはより単純になる。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M\rightarrow V}$

ポテンシャルが の非ゼロ値で最小化される場合、このモデルはヒッグス機構 を示します。実際、標準モデルのヒッグス粒子は を選択してこの理論によってモデル化されます。ヒッグス粒子は電磁気とも結合しています。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle G={\text{SU}}(2)}$

ポテンシャルを具体的に選択することで、いくつかのよく知られた理論を回復することができます。 ${\displaystyle V}$

を取ると、質量 を持つクライン＝ゴードン場と最小限に結合したヤン＝ミルズが得られます。 ${\displaystyle V(\phi )=M^{2}\phi ^{\dagger }\phi }$${\displaystyle M}$

を取ると、標準モデルにおけるヒッグス粒子の可能性が生まれます。 ${\displaystyle V(\phi )=\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}-\mu _{H}^{2}\phi ^{\dagger }\phi }$

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