共変変換

物理学において、共変変換とは、ベクトルやテンソルなどの特定のエンティティが基底の変更によってどのように変化するかを指定する規則です。^[1]新しい基底ベクトルを古い基底ベクトルの線形結合として記述する変換は、共変変換として定義されます。慣例的に、基底ベクトルを識別するインデックスは下位インデックスとして配置され、同じように変換されるすべてのエンティティも同様に配置されます。共変変換の逆は反変変換です。ベクトルが基底の変更に対して不変である必要がある場合、つまりベクトルが以前と同じ大きさと方向を持つ同じ幾何学的または物理的オブジェクトを表す必要がある場合は常に、そのコンポーネントは反変規則に従って変換する必要があります。慣例的に、ベクトルのコンポーネントを識別するインデックスは上位インデックスとして配置され、同じように変換されるエンティティのすべてのインデックスも同様に配置されます。同じ下位インデックスと上位インデックスを持つ積のペアで一致するインデックスの合計は、変換に対して 不変です。

ベクトル自体は、原則として、選択された基底に依存しない（不変の）幾何学的量です。ベクトルv は、選択された基底e _i上の成分v ⁱで与えられます。別の基底、たとえばe ′ _jでは、同じベクトルvが異なる成分v ′ ^jを持ちます。 ベクトルとして、v は選択された座標系に対して不変で、選択された基底に依存しません。つまり、その「現実世界の」方向と大きさは、基底ベクトルに関係なく同じに見える必要があります。ベクトルe _{i を}基底ベクトルe ′ _jに変換して基底の変更を実行する場合は、補正のために成分v ^{i が}新しい成分v ′ ^jに変換されることも確認する必要があります。 $${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}.}$$

vの必要な変換は反変変換規則と呼ばれます。

示されている例では、ベクトルは2 つの異なる座標系、すなわち直交座標系 (黒いグリッド) と放射状座標系 (赤いグリッド) によって記述されています。両方の座標系に対して基底ベクトルが選択されています。直交座標系の場合はe _xとe _y、放射状座標系の場合はe _rとe _φです。放射状基底ベクトルe _rとe _{φ は、直交基底ベクトル}e _xとe _yに対して反時計回りに回転して表示されます。したがって、基底ベクトルに対して実行される共変変換は反時計回りの回転であり、最初の基底ベクトルから 2 番目の基底ベクトルに回転します。 ${\textstyle \mathbf {v} =\sum _{i\in \{x,y\}}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j\in \{ r,\phi \}}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}}$

v の座標は新しい座標系に変換する必要がありますが、ベクトルv自体は数学的オブジェクトとして、選択された基底から独立したままであり、座標の変更に対して不変で、同じ方向と同じ大きさを指しているように見えます。反変変換は、異なる基底間の回転を補正することでこれを保証します。放射座標系のコンテキストからvを見ると、直交基底ベクトルe _xとe _{yに対する相対的な外観と比較して、基底ベクトル}e _rとe _φから時計回りに回転しているように見えます。したがって、この例でvに必要な反変変換は、時計回りの回転です。

共変変換の明示的な形式は、関数の導関数の変換特性によって最もよく導入される。与えられた座標系で識別可能な点の集合p上で定義されたスカラー関数f（空間内の特定の場所の温度など）を考える（このような集合は多様体と呼ばれる）。新しい座標系を採用すると、各iについて、元の座標は新しい座標の関数として表すことができるので、導関数の 連鎖律を使用して、古い座標でのfの導関数を新しい座標で表すことができる。${\displaystyle x^{i},\;i=0,1,\dots }$${\displaystyle {x'}^{j},j=0,1,\dots }$${\displaystyle {x}^{i}}$${\displaystyle x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=0,1,\dots }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {x}^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial {x'}^{j}}}\;{\frac {\partial {x'}^{j}}{\partial {x}^{i}}}}$

これは共変変換規則の明示的な形式である。座標に関する正規微分の表記では、次のようにコンマが使用されることがある。

${\displaystyle f_{,i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

ここで、共変変換のため、インデックスi は下位のインデックスとして配置されます。

ベクトルは基底ベクトルで表現できます。特定の座標系では、座標グリッドに接するベクトルを選択できます。この基底は座標基底と呼ばれます。

変換特性を説明するために、与えられた座標系(多様体) で識別可能な点pの集合を再度考えてみましょう。この空間のすべての点pに実数を割り当てるスカラー関数fは、座標 の関数です。曲線は、点cの 1 パラメータの集合で、曲線パラメータ λ の場合、c (λ) とします。曲線の接線ベクトルv は、曲線に沿った導関数で、点pで導出された導関数です。接線ベクトルvは、関数に適用できる 演算子(方向導関数)として見ることができることに注意してください。${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle i=0,1,\dots }$${\displaystyle f\;\left(x^{0},x^{1},\dots \right)}$${\displaystyle dc/d\lambda }$

${\displaystyle \mathbf {v} [f]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {d\;\;}{d\lambda }}f(c(\lambda ))}$

接線ベクトルと演算子の平行性は座標でも計算できる。

${\displaystyle \mathbf {v} [f]={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

あるいは演算子の観点から${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{i}}}={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}\mathbf {e} _{i}}$

ここで、 は曲線の接線ベクトルであり、単純に座標グリッドそのものです。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial /\partial x^{i}}$

新しい座標系を採用すると、各iに対して、古い座標は新しい座標系の関数として表すことができます。したがって、をこの新しい座標系の基底、接線ベクトルと します。 を新しいシステムでxに連鎖律を適用して表すことができます。 座標の関数として、次の変換が見つかります。 ${\displaystyle {x'}^{i},\;i=0,1,\dots }$${\displaystyle {x^{i}}}$${\displaystyle x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=0,1,\dots }$${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}={\partial }/{\partial {x'}^{i}}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}={\frac {\partial }{\partial {x'}^{i}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}\mathbf {e} _{j}}$

これは実際には関数の微分に対する共変変換と同じです。

（接）ベクトルの成分は、反変変換と呼ばれる別の方法で変換されます。接ベクトルvを考え、その成分を基底 と呼びます。別の基底では、 成分を と呼びます。${\displaystyle v^{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}}$${\displaystyle {v'}^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}={v'}^{i}\mathbf {e} '_{i}}$

その中で

${\displaystyle v^{i}={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}\;{\mbox{ and }}\;{v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda }}}$

新しい要素を古い要素で表現すると、

${\displaystyle {v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda \;\;}}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{v}^{j}}$

これは反変変換と呼ばれる変換の明示的な形式であり、共変規則とは異なり、単に逆であることに注意してください。共変 (接線) ベクトルと区別するために、インデックスが上部に配置されます。

反変変換の例は、微分形式 dfで与えられる。座標の関数としてのfに対して、dfは基底で表すことができる。微分dxは 反変規則に従って変換される。 ${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle dx^{i}}$

${\displaystyle d{x'}^{i}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial {x}^{j}}}{dx}^{j}}$

共変的に変換する実体 (基底ベクトルなど) と反変的に変換する実体 (ベクトルの成分や微分形式など) は「ほぼ同じ」ですが、異なります。これらは「二重」な特性を持っています。この背後にあるのは、与えられた線形ベクトル空間と常に一緒になる、数学的には二重空間として知られています。

任意のベクトル空間 T を取ります。T 上の関数f は、任意のベクトルv、w、スカラー α に対して次の条件が満たされるとき、線型と呼ばれます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )\\f(\alpha \mathbf {v} )&=\alpha f(\mathbf {v} )\end{aligned}}}$

簡単な例としては、ベクトルにその成分の 1 つの値を割り当てる関数 (射影関数と呼ばれる) があります。この関数はベクトルを引数として持ち、成分の値である実数を割り当てます。

このようなスカラー値線形関数はすべて、 T の双対空間と呼ばれるベクトル空間を形成します。和f+g は、線形f とgに対して再び線形関数となり、スカラー乗算 α fについても同じことが当てはまります。

T の基底が与えられれば、上で述べた線形関数の集合である射影関数を取ることで、双対空間の双対基底と呼ばれる基底を自然に定義できます。各射影関数 (インデックスは ω ) は、基底ベクトルの 1 つに適用されると数値 1 を生成します。たとえば、は では 1 を、それ以外の場所では 0 を生成します。この線形関数をベクトルに適用すると、次のようになります (線形性を使用)。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \omega ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$${\displaystyle {\omega }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \omega ^{0}(\mathbf {v} )=\omega ^{0}(v^{i}\mathbf {e} _{i})=v^{i}\omega ^{0}(\mathbf {e} _{i})=v^{0}}$

つまり、最初の座標の値だけです。このため、これは投影関数と呼ばれます。

双対基底ベクトルの数は基底ベクトルの数と同じなので、双対空間は線形空間自体と同じ次元を持ちます。双対空間の要素（双対ベクトルと呼ばれる）が共変変換され、接線ベクトル空間の要素が反変変換される ことを除けば、これは「ほぼ同じ空間」です。${\displaystyle \omega ^{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

接線ベクトルu上の線形関数σの実数値が次のように表される 追加の表記法が導入されることがある。

${\displaystyle \sigma [\mathbf {u} ]:=\langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle }$

ここで、は実数です。この表記は、形式の双線型性を強調しています。σ は線型関数なので σ に関して線型であり、 uはベクトル空間の要素なので uに関して線型です。${\displaystyle \langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle }$

( r , s )型のテンソルは、 r 個の双対ベクトルとs 個のベクトルの実数値多重線形関数として定義できます。ベクトルと双対ベクトルは座標系に依存せずに定義できるため、このように定義されたテンソルは座標系の選択に依存しません。

テンソルの表記法は

${\displaystyle {\begin{aligned}&T\left(\sigma ,\ldots ,\rho ,\mathbf {u} ,\ldots ,\mathbf {v} \right)\\\equiv {}&{T^{\sigma \ldots \rho }}_{\mathbf {u} \ldots \mathbf {v} }\end{aligned}}}$

双対ベクトル（微分形式）ρ、σ、および接線ベクトルの場合。2番目の表記では、ベクトルと微分形式の区別がより明確になります。 ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$

テンソルは引数に線形に依存するため、基底上の値がわかっていれば完全に決定され、${\displaystyle \omega ^{i}\ldots \omega ^{j}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\ldots \mathbf {e} _{l}}$

${\displaystyle T(\omega ^{i},\ldots ,\omega ^{j},\mathbf {e} _{k}\ldots \mathbf {e} _{l})={T^{i\ldots j}}_{k\ldots l}}$

これらの数は、選択された基底におけるテンソルの成分と呼ばれます。 ${\displaystyle {T^{i\ldots j}}_{k\ldots l}}$

別の基底（元の基底の線形結合）を選択した場合、テンソルの線形特性を使用でき、上位のインデックスのテンソル成分は双対ベクトル（つまり反変）として変換されますが、下位のインデックスは接線ベクトルの基底として変換されるため共変です。階数2のテンソルの場合、次のことが確認できます。

${\displaystyle {A'}_{ij}={\frac {\partial x^{l}}{\partial {x'}^{i}}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial {x'}^{j}}}A_{lm}}$ 共変テンソル

${\displaystyle {A'\,}^{ij}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{l}}}{\frac {\partial {x'}^{j}}{\partial x^{m}}}A^{lm}}$ 反変テンソル

階数2の共変および反変混合テンソルの場合

${\displaystyle {A'\,}^{i}{}_{j}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{l}}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial {x'}^{j}}}A^{l}{}_{m}}$ 混合共変テンソルと反変テンソル

• ベクトルの共変性と反変性
• 一般共分散
• ローレンツ共変性