パス順序付け

理論物理学では、パス順序付けは手順（またはメタ演算子）である。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$) 選択されたパラメータの値に従って演算子の積を順序付ける:

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).}$

ここでpは、パラメータを値順に並べる順列である。

${\displaystyle p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}}$

$\displaystyle \sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.}$

例えば：

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4)。}$

物理学の多くの分野において、最も一般的な経路順序付けは時間順序付けであり、これについては以下で詳しく説明する。

演算子が単純に積として表現されず、別の演算子の関数として表現される場合、まずこの関数のテイラー展開を行う必要があります。これはウィルソンループの場合に当てはまります。ウィルソンループは、ゲージ接続のホロノミーを符号化することを保証するために、パス順序付き指数関数として定義されます。順序を決定するパラメータσは、輪郭を記述するパラメータであり、輪郭は閉じているため、ウィルソンループはゲージ不変となるためにトレースとして定義されなければなりません。

量子場理論では、演算子の時間順序積を取ることが有用である。この演算は次のように表される。$\displaystyle {\mathcal {T}}}$。 （それでも$\displaystyle {\mathcal {T}}}$（これはしばしば「時間順序付け演算子」と呼ばれるが、厳密に言えば、状態に対する演算子でも、演算子に対するスーパー演算子でもない。）

時空位置 x と y に依存する2 つの演算子A ( x ) とB ( y ) に対して、以下のように定義します。

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}}$

ここ$\displaystyle \tau _{x}}$そして$\displaystyle \tau _{y}}$点 x と y の不変スカラー時間座標を表す。 ^{[ 1 ]}

具体的には、

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),}$

どこ${\displaystyle \theta }$はヘヴィサイド階段関数を表し、${\displaystyle \pm }$演算子がボソン的かフェルミオン的かによって異なります。ボソン的であれば常に+符号が選択され、フェルミオン的であれば適切な時間順序を実現するために必要な演算子交換の回数によって符号が決まります。なお、統計的要因はここでは考慮されません。

演算子は時空内の位置に依存するため（つまり、時間だけでなく）、この時間順序付け操作は、空間的に離れた点にある演算子が可換である場合にのみ座標に依存しない。これが、を使用する必要がある理由である。$\displaystyle \tau }$それよりも$t0$、 以来$t0$通常、これは時空点の座標に依存する時間的インデックスを示します。なお、時間順序は通常、時間引数が右から左に増加するように記述されます。

一般に、 n個の場演算子A ₁ ( t ₁ ), …, A _n ( t _n )の積について、演算子の時間順序積は次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}&=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\\&=\sum _{p}\left(\prod _{j=1}^{n-1}\theta (t_{p_{j}}-t_{p_{j+1}})\right)\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aligned}}}$

ここで、和はp全体とn次置換の対称群全体にわたって実行され、

${\displaystyle \varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{ボソン演算子の場合、}}\\{\text{置換の符号}}&{\text{フェルミオン演算子の場合。}}\end{cases}}}$

量子場理論におけるS行列は、時間順序付き積の一例である。t = −∞の状態をt = +∞の状態に変換するS行列は、ウィルソンループに類似した一種の「ホロノミー」と考えることもできる。時間順序付き表現が得られる理由は以下のとおりである。

指数関数のこの単純な公式から始めます

${\displaystyle \exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.}$

次に、離散化された発展演算子を考えます。

${\displaystyle S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots }$

どこ$1+h_j$は微小時間間隔における発展演算子である。${\displaystyle [j\バレプシロン ,(j+1)\バレプシロン ]}$極限では高次の項は無視できる。${\displaystyle \varepsilon \to 0}$オペレーター${\displaystyle h_{j}}$定義される

${\displaystyle h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).}$

積の右側には「過去」の時間間隔にわたる発展演算子が現れていることに注意してください。この式は指数関数が満たす上記の恒等式に類似していることがわかります。

$${\displaystyle S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).}$$

唯一、時間順序付け演算子を含める必要があった微妙な点は、$\displaystyle {\mathcal {T}}}$なぜなら、上記のSを定義する積の因子も時間順に並んでおり（そして演算子は一般に可換ではない）、演算子$\displaystyle {\mathcal {T}}}$これにより、この順序が維持されることが保証されます。

• 順序付き指数関数（基本的には同じ概念）
• ダイソンシリーズ
• ゲージ理論
• S行列