コヒーレント状態

物理学、特に量子力学において、コヒーレント状態は量子調和振動子の特定の量子状態であり、古典的な調和振動子の振動挙動に最も近いダイナミクスを持つ状態として説明されることが多い。 1926年にエルヴィン・シュレーディンガーが対応原理を満たすシュレーディンガー方程式の解を探しているときに導き出したのが、量子ダイナミクスの最初の例であった。^[1]量子調和振動子（したがってコヒーレント状態）は、さまざまな物理システムの量子論で生じる。^[2]たとえば、コヒーレント状態は、2次ポテンシャル井戸に閉じ込められた粒子の振動運動を記述する（初期の参考文献については、例えばシフの教科書^[3]を参照）。コヒーレント状態は、基底状態の波束がシステムの原点からずれているシステムの状態を記述する。この状態は、変位に等しい振幅で振動する粒子によって古典的な解に関連付けることができる。

これらの状態は、低下演算子 の固有ベクトルとして表現され、過剰完備族を形成し、ジョン・R・クローダーの初期の論文で導入されました（例：^[4] 光の量子論（量子電磁力学）やその他のボゾン 量子場理論では、コヒーレント状態は1963年にロイ・J・グラウバーの研究によって導入され、グラウバー状態としても知られています。

コヒーレント状態の概念はかなり抽象化されており、数理物理学と応用数学の主要なトピックになっており、量子化から信号処理や画像処理まで幅広い応用がある （数理物理学におけるコヒーレント状態を参照）。このため、量子調和振動子に関連するコヒーレント状態は、標準コヒーレント状態（CCS）、標準コヒーレント状態、ガウス状態、または振動子状態 と呼ばれることもある。

量子光学においてコヒーレント状態とは、量子化された電磁場などの状態を指し、^{[2] [6] [7]}最大のコヒーレンスと古典的な動作を記述する。 エルヴィン・シュレーディンガーは、1926 年にシュレーディンガー方程式の対応原理を満たす解を求めて、これを「最小不確実性」のガウス波束として導出した。^[1] これは最小不確実性状態であり、位置と運動量の相対分散 (自然無次元単位での標準偏差) が等しくなり、高エネルギーではそれぞれが等しく小さくなるように、単一の自由パラメータが選択される。

さらに、システムのエネルギー固有状態とは対照的に、コヒーレント状態の時間発展は古典的な軌道に沿って集中しています。量子線形調和振動子、したがってコヒーレント状態は、さまざまな物理システムの量子論で発生します。これらは、光の量子論（量子電気力学）やその他のボゾン 量子場理論で発生します。

最小不確かさのガウス波束はよく知られていましたが、 1963 年にRoy J. Glauber が電磁場のコヒーレンスの完全な量子論的記述を提供するまで、十分な注目を集めませんでした。^{[8]この点では、} ECG Sudarshanの同時貢献を無視することはできません。^[9] (ただし、Glauber の論文には、「これらの状態を- 量子状態の生成関数として使用することは、J. Schwinger ^{[10]によって行われています」という注記があります)。Glauber がこれを行うきっかけとなったのは、} Hanbury-Brown & Twiss 実験の説明を提供することでした。この実験では、恒星の直径を決定するために使用できる非常に広いベースライン (数百または数千マイル) の干渉パターンが生成されました。これにより、コヒーレンスのより包括的な理解への扉が開かれました。(詳細については、量子力学的記述を参照してください。) ${\displaystyle n}$

古典光学では、光は光源から放射される電磁波であると考えられている。多くの場合、コヒーレントなレーザー光は、位相が同調している多数のそのような光源から放射される光であると考えられる。実際には、1 つの光子が他の光子と位相が同調しているという考え方は、量子論では有効ではない。レーザー放射は、共振空洞内で生成される。共振空洞の共振周波数は、場にエネルギー フローを提供する原子電子遷移に関連する周波数と同じである。共鳴モードのエネルギーが増大するにつれて、そのモードのみで誘導放出の確率が増加する。これは、共鳴モードの振幅が非線形効果によって制限されるまで指数関数的に増加する正のフィードバック ループである。反例として、電球は連続したモードに光を放射し、あるモードを他のモードよりも優先させるものは何もない。放出プロセスは、空間と時間において非常にランダムである (熱光を参照)。ただし、レーザーでは、光は共鳴モードで放射され、そのモードは非常にコヒーレントである。したがって、レーザー光はコヒーレント状態として理想化されます。（古典的には、このような状態は安定した波として振動する 電場によって説明されます。図 1 を参照）

コヒーレント状態は、レーザーを記述するだけでなく、ビームスプリッターの量子作用を記述する際にも便利な方法で動作します。2 つのコヒーレント状態の入力ビームは、出力で古典的な電磁波の式で与えられた新しい振幅を持つ 2 つのコヒーレント状態ビームに単純に変換されます。 ^[11]このような単純な動作は、数値状態を含む他の入力状態では発生しません。同様に、コヒーレント状態の光ビームが部分的に吸収された場合、残りは振幅が小さい純粋なコヒーレント状態になりますが、非コヒーレント状態の光が部分的に吸収されると、より複雑な統計的混合状態が生成されます。^{[11]熱光はコヒーレント状態の統計的混合として記述でき、}非古典的な光を定義する一般的な方法は、コヒーレント状態の単純な統計的混合として記述できないというものです。^[11]

線形調和振動子のエネルギー固有状態（例：バネ上の質量、固体の格子振動、分子内の原子核の振動運動、電磁場の振動）は、固定数の量子状態です。フォック状態（例：単一光子）は最も粒子に似た状態です。粒子の数は固定されており、位相は不確定です。コヒーレント状態では、量子力学的不確実性が標準共役座標、位置、運動量に均等に分配され、位相（経験的に定義される）と振幅の相対的不確実性はほぼ等しく、振幅が大きい場合は小さくなります。

数学的には、コヒーレント状態は、対応する固有値αを持つ消滅演算子âの（唯一の）固有状態として定義されます。正式には、これは次のように表されます。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ~.}$

â はエルミートではないので、α は一般に複素数です。| α | と 書き、 θ は状態の振幅と位相と呼ばれます。 ${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\theta },}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$

関連記事「数理物理学におけるコヒーレント状態」に示されているように、コヒーレント状態には他にも多くの種類があるため、この状態は文献では標準的なコヒーレント状態と呼ばれています。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

物理的には、この式は、コヒーレント状態が場励起または荷電粒子の消滅によって変化しないことを意味します。消滅演算子の固有状態は、以下に示すように、エネルギー固有状態の基底で表現されると、ポアソン数分布を持ちます。ポアソン分布は、すべての検出が統計的に独立していることの必要かつ十分な条件です。これを単一粒子状態 (フォック状態) と比較すると、1 つの粒子が検出されると、別の粒子が検出される確率はゼロになります。 ${\displaystyle |1\rangle }$

これを導出するには、量子光学では通常場求積法と呼ばれる、（非慣例的に正規化された）無次元演算子XおよびPを使用します。（無次元化を参照してください。）これらの演算子は、定数kのバネ上の質量mの位置演算子と運動量演算子に関連しています。

${\displaystyle {P}={\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}\ {\hat {p}}{\text{,}}\quad {X}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ {\hat {x}}{\text{,}}\quad \quad {\text{where }}\omega \equiv {\sqrt {k/m}}~.}$

光学フィールドの場合、

${\displaystyle ~E_{\rm {R}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\cos(\theta )X\qquad {\text{and}}\qquad ~E_{\rm {I}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\sin(\theta )X~}$

は体積の空洞内の電場のモードの実数成分と虚数成分である。^[12]${\displaystyle V}$

これらの（無次元）演算子を用いると、どちらのシステムのハミルトニアンは

${\displaystyle {H}=\hbar \omega \left({P}^{2}+{X}^{2}\right){\text{,}}\qquad {\text{with}}\qquad \left[{X},{P}\right]\equiv {XP}-{PX}={\frac {i}{2}}\,{I}.}$

エルヴィン・シュレーディンガーは、最小不確実性ガウス波束を初めて導入したとき、最も古典的な状態を探していました。不確実性がXとPの間で均等に分配された状態で不確実性関係を最小化する調和振動子の量子状態は、次の式を満たします 。

${\displaystyle \left({X}-\langle {X}\rangle \right)\,|\alpha \rangle =-i\left({P}-\langle {P}\rangle \right)\,|\alpha \rangle {\text{,}}}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle \left({X}+i{P}\right)\,\left|\alpha \right\rangle =\left\langle {X}+i{P}\right\rangle \,\left|\alpha \right\rangle ~,}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \langle \alpha \!\mid \left({X}-\langle X\rangle \right)^{2}+\left({P}-\langle P\rangle \right)^{2}\mid \!\alpha \rangle =1/2~.}$

したがって、(∆ X −∆ P ) ² ≥ 0が与えられた場合、シュレーディンガーは線形調和振動子の最小不確定性状態は ( X + iP ) の固有状態であること を発見しました。 â は ( X + iP )であるため、これは上記の定義の意味でコヒーレント状態として認識できます。

グラウバーは、多光子状態の表記法を使用して、電磁場のすべての順序に対する完全なコヒーレンス状態を消滅演算子の固有状態として特徴付けました。これは、数学的な意味では、シュレーディンガーが発見した状態と同じ状態です。コヒーレント状態という名前は、グラウバーの研究後に定着しました。

不確実性が最小限に抑えられているが、XとP の間で必ずしも均等にバランスが取れていない場合、その状態はスクイーズドコヒーレント状態と呼ばれます。

複素平面 (位相空間)におけるコヒーレント状態の位置は、固有値α (または電磁波の同じ複素電場値)によって与えられる位相θと振幅 | α | の古典振動子の位置と運動量を中心とします。図 5 に示すように、不確実性はすべての方向に均等に広がっており、直径1 ⁄ 2のディスクで表されます。位相が変化すると、コヒーレント状態は原点の周りを一周し、ディスクは歪むことも広がることもありません。これは、量子状態が位相空間内の単一点に最も類似している状態です。

振動の振幅が増大しても不確実性（したがって測定ノイズ）は 1 ⁄ 2で一定に保たれるため、図 1 に示すように、状態はますます正弦波のように動作します。さらに、真空状態はα =0のコヒーレント状態であるため、すべてのコヒーレント状態は真空と同じ不確実性を持ちます。したがって、コヒーレント状態の量子ノイズは真空の変動によるものと解釈できます。 ${\displaystyle |0\rangle }$

この表記は フォック状態を指すものではありません。たとえば、α = 1の場合、単一光子フォック状態と間違えないようにしてください。単一光子フォック状態も独自の表記で表されます。α = 1の式は、平均光子数が 1 である 状態数のポアソン分布を表します。${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |n\rangle }$

固有値方程式の正式な解は、位相空間内の位置αに変位した真空状態である。すなわち、ユニタリ変位演算子 D ( α )を真空に作用させる ことによって得られる。

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$、

ここでâ = X + iP かつâ ^† = X - iPです。

これは、フォック状態の基底におけるコヒーレント状態の表現を使用して、コヒーレント状態を含むほぼすべての結果と同様に簡単に確認できます。

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}{\hat {a}}}}|0\rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle ~,}$

ハミルトニアンのエネルギー（数）固有ベクトルは どこにあるか${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle H=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)~,}$

そして最終的な等式はベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式から導かれる。対応するポアソン分布では、 n個の光子を 検出する確率は

${\displaystyle P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}=e^{-\langle n\rangle }{\frac {\langle n\rangle ^{n}}{n!}}~.}$

同様に、コヒーレント状態における平均光子数は

${\displaystyle ~\langle n\rangle =\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle =|\alpha |^{2}~}$

そしてその分散は

${\displaystyle ~(\Delta n)^{2}={\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)=|\alpha |^{2}~}$。

つまり、検出された数の標準偏差は、検出された数の平方根に似ています。したがって、αが大きい限界では、これらの検出統計は古典的な安定波のものと同等です。

これらの結果は、単一の検出器での検出結果に適用され、したがって 1 次コヒーレンスに関連します (コヒーレンスの度合いを参照)。ただし、複数の検出器での検出を相関させる測定の場合、より高次のコヒーレンスが関係します (例: 強度相関、2 個の検出器での 2 次コヒーレンス)。グラウバーの量子コヒーレンスの定義には、すべてのnに対して n 次相関関数 (n 次コヒーレンス) が含まれます。完全なコヒーレント状態では、すべての n 次相関が 1 (コヒーレント) に等しくなります。これはすべての次数に対して完全にコヒーレントです。

二次相関係数は、研究対象のビーム内の光子統計の分散の観点から、光子状態のコヒーレンスの度合いを直接的に測定する。^[13]${\displaystyle g^{2}(0)}$

${\displaystyle ~g^{2}(0)=1+{\frac {{\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)-\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle }{(\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle )^{2}}}=1+{\frac {{\rm {Var}}(n)-{\bar {n}}}{{\bar {n}}^{2}}}}$

グラウバーの展開では、コヒーレント状態はポアソン分布に従って分布していることがわかります。ポアソン分布の場合、分散は平均に等しく、つまり

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=1}$。

2 次相関係数が 1 の場合、コヒーレント状態の光子は相関がないことを意味します。

ハンバリー・ブラウンとトウィスは、ボーズ・アインシュタイン統計によって記述される熱的非干渉性光源から放出される光子の相関挙動を研究した。ボーズ・アインシュタイン分布の分散は

${\displaystyle {\rm {Var(n)}}={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=2}$。

これは、ハンバリー・ブラウンとトウィスの相関測定に対応し、非コヒーレントなボーズ・アインシュタイン状態の光子が相関または束になっていることを示しています。

フェルミ・ディラック統計に従う量子は反相関している。この場合、分散は

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}-{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=0}$。

反相関は、2 次相関係数 =0 によって特徴付けられます。

ロイ・J・グラウバーの研究は、各検出器に狭帯域フィルター（部分的な一次コヒーレンス）を使用し、強度変動（二次コヒーレンスの欠如）を利用して長距離（数百または数千マイル）の一次干渉パターンを生成したハンバリー・ブラウンとトウィスの結果に触発された。（非常に短い期間では、狭帯域フィルターにより、2 つの検出器からのほぼ瞬間的な干渉パターンが、変化する相対位相差によりランダムに踊り回る様子が想像できる。同時計数計では、踊る干渉パターンは強度が増加する時間（両方のビームに共通）に強くなり、そのパターンは背景ノイズよりも強くなる。）光学のほぼすべては一次コヒーレンスに関係していた。ハンベリー＝ブラウンとトウィスの結果を受けて、グラウバーはより高次のコヒーレンスに注目するようになり、電磁場のすべての秩序に対するコヒーレンスの完全な量子論的記述（および信号プラスノイズの量子論的記述）を考案しました。彼はコヒーレント状態という用語を作り出し、古典的な電流が電磁場と相互作用するときにコヒーレント状態が生成されることを証明しました。

α ≫ 1では 、図 5 から、単純な幾何学によりΔθ | α | = 1/2 となる。このことから、数の不確定性と位相の不確定性の間にはトレードオフがあり、 Δθ Δn = 1/2 であるように見える。これは、数と位相の不確定性関係として解釈されることもあるが、これは形式的に厳密な不確定性関係ではない。量子力学では一意に定義された位相演算子は存在しない。^{[14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21]}

コヒーレント状態の波動関数、つまり最小不確実性シュレーディンガー波束を見つけるには、コヒーレント状態に対する量子調和振動子のハイゼンベルク描像から始めるのが最も簡単です。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle ~a(t)|\alpha \rangle =e^{-i\omega t}a(0)|\alpha \rangle }$

コヒーレント状態はハイゼンベルク描像における消滅演算子の固有状態である。

シュレーディンガー図では、同じ固有値 が

${\displaystyle ~\alpha (t)=e^{-i\omega t}\alpha (0)~}$

発生する、

${\displaystyle ~a|\alpha (t)\rangle =\alpha (t)|\alpha (t)\rangle }$。

を操作して得られる座標表現では、これは微分方程式に等しい。 ${\displaystyle \langle x|}$

${\displaystyle ~{\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi ^{\alpha }(x,t)=\alpha (t)\psi ^{\alpha }(x,t)~,}$

これは簡単に解くことができ、

${\displaystyle ~\psi ^{(\alpha )}(x,t)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\Bigg (}-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(x-{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]\right)^{2}+i{\sqrt {\frac {2m\omega }{\hbar }}}\Im [\alpha (t)]x+i\theta (t){\Bigg )}~,}$

ここでθ(t)は未決定の位相であり、波動関数がシュレーディンガー方程式を満たすことを要求することで決定されます。

すると、

${\displaystyle ~\theta (t)=-{\frac {\omega t}{2}}+{\frac {|\alpha (0)|^{2}\sin(2\omega t-2\sigma )}{2}}~,{\text{where}}\qquad \alpha (0)\equiv |\alpha (0)|\exp(i\sigma )~,}$

したがって、σ は固有値の初期位相となります。

この「最小シュレーディンガー波束」ψ ^(α)の平均位置と運動量は、古典的なシステムと同じように振動している。

確率密度は、この振動平均を中心としたガウス分布のままであり、

${\displaystyle |\psi ^{(\alpha )}(x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}\left(x-\langle {\hat {x}}(t)\rangle \right)^{2}}.}$

これまでに説明した標準的なコヒーレント状態は、それぞれが状態を完全に指定するため、 相互に同等な3つの特性を持っています。${\displaystyle |\alpha \rangle }$

1. これらは消滅演算子の固有ベクトルです。   ${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,}$
2. これらは、ユニタリ変位演算子を適用することによって真空から得られます。  ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle \,}$
3. これらは（バランスのとれた）最小の不確実性の状態です   。${\displaystyle \Delta X=\Delta P={\sqrt {\frac {\hbar }{2}}}\,}$

これらの特性はそれぞれ一般化につながる可能性があり、一般的には互いに異なります（これらのいくつかについては、「数理物理学におけるコヒーレント状態」の記事を参照してください）。コヒーレント状態はフォック状態とは非常に異なる数学的特徴を持つことを強調します。たとえば、2つの異なるコヒーレント状態は直交しません。

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta )}$

（これらは非自己随伴消滅演算子âの固有ベクトルであるという事実に関連しています）。

したがって、振動子が量子状態にある場合、他の量子状態にある確率もゼロではない （ただし、位相空間で状態が離れているほど、確率は低くなります）。ただし、それらは閉包関係に従うため、任意の状態をコヒーレント状態の集合に分解できます。したがって、それらは過剰完全基底を形成し、その中で任意の状態を対角分解できます。これが、Glauber–Sudarshan P 表現の前提です。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |\beta \rangle }$

この閉包関係は、量子状態のベクトル空間における 恒等演算子Iの分解によって表現できる。

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha =I\qquad d^{2}\alpha \equiv d\Re (\alpha )\,d\Im (\alpha )~.}$

この恒等式の解決は、シーガル・バーグマン変換と密接に関係しています。

もう一つの特徴は、 には固有ケットがない（一方、 âには固有角がない）ことである。次の等式は最も近い形式的な代用であり、技術的な計算に有用であることがわかった。^[22]${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle a^{\dagger }|\alpha \rangle \langle \alpha |=\left({\partial \over \partial \alpha }+\alpha ^{*}\right)|\alpha \rangle \langle \alpha |~.}$

この最後の状態は「アガルワル状態」または光子追加コヒーレント状態として知られ、次のように表される。${\displaystyle |\alpha ,1\rangle .}$

n次の正規化されたアガルワル状態は次のように表される ^[23]${\displaystyle |\alpha ,n\rangle =[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle /\|[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle \|~.}$

上記の恒等式の解決は、（簡単のため空間次元を1つに限定して）方程式の両辺の位置の固有状態間の行列要素を取ることによって導かれる。右辺では、これは直ちにδ(xy)を与える。左辺では、同じことが次の式を挿入することによって得られる。 ${\displaystyle \langle x|\cdots |y\rangle }$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x,t)=\langle x|\alpha (t)\rangle }$

前のセクションから（時間は任意）、 デルタ関数 のフーリエ表現を使用してを積分し、 上でガウス積分を実行します。 ${\displaystyle \Im (\alpha )}$${\displaystyle \Re (\alpha )}$

特に、ガウスシュレーディンガー波束状態は明示的な値から導かれる。

${\displaystyle \langle x|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi ^{1/4}}}{e^{-{\frac {1}{2}}{(x-{\sqrt {2}}\Re (\alpha ))^{2}}+ix{\sqrt {2}}\Im (\alpha )-i\Re (\alpha )\Im (\alpha )}}~.}$

恒等式の解決は、粒子の位置と運動量で表現することもできる。各座標次元（ に新しい意味を持たせた適応表記法を使用）について、 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle |\alpha \rangle \equiv |x,p\rangle \qquad \qquad x\equiv \langle {\hat {x}}\rangle \qquad \qquad p\equiv \langle {\hat {p}}\rangle }$

コヒーレント状態の閉包関係は次のように表される。

${\displaystyle I=\int |x,p\rangle \,\langle x,p|~{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}~.}$

これは任意の量子力学的期待値に挿入することができ、それを何らかの準古典的な位相空間積分と関連付け、特に、量子力学と一致して 古典的な分割関数の正規化係数の起源を説明します。${\displaystyle (2\pi \hbar )^{-1}}$

コヒーレント状態は消滅演算子の正確な固有状態であるだけでなく、粒子の位置と運動量の近似的な共通固有状態でもある。再び1次元に限定すると、

${\displaystyle {\hat {x}}|x,p\rangle \approx x|x,p\rangle \qquad \qquad {\hat {p}}|x,p\rangle \approx p|x,p\rangle }$

これらの近似値の誤差は位置と運動量の不確実性によって測定される 。

${\displaystyle \langle x,p|\left({\hat {x}}-x\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\qquad \qquad \langle x,p|\left({\hat {p}}-p\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}~.}$

単一モード熱コヒーレント状態^[24]は、コヒーレント状態を生成する観点から真空状態の変位と直接類似して、位相空間で熱混合状態を変位させることによって生成される。コヒーレント熱状態の密度行列は、演算子表現で次のように表される。

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}D(\alpha )e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}D^{\dagger }(\alpha ),}$

ここで、は変位演算子であり、複素振幅 のコヒーレント状態を生成します。分割関数は、 ${\displaystyle D(\alpha )}$${\displaystyle D(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta =1/(k_{B}T)}$

${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\displaystyle e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }={\frac {1}{1-e^{-\hbar \beta \omega }}}.}$

フォック状態における恒等演算子の展開を用いると、密度演算子の定義は次の形式で表すことができる。 ${\displaystyle I\equiv \sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|}$

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }D(\alpha )|n\rangle \langle n|D^{\dagger }(\alpha )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|,}$

ここで は変位フォック状態を表します。温度がゼロになると、 ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle }$

${\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }\rho (\alpha ,\beta )=\lim _{\beta \to \infty }\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }(1-e^{-\hbar \beta \omega })|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=\sum _{n=0}^{\infty }\delta _{n,0}|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=|\alpha ,0\rangle \langle \alpha ,0|,}$

これはコヒーレント状態の密度行列である。その状態における光子の平均数は以下のように計算できる。

${\displaystyle \langle n\rangle ={\text{Tr}}\{\rho a^{\dagger }a\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{D^{\dagger }(\alpha )a^{\dagger }D({\alpha })D^{\dagger }(\alpha )aD(\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{(a^{\dagger }+\alpha ^{*})(a+\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=}$

${\displaystyle =|\alpha |^{2}{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}+{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{a^{\dagger }ae^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=|\alpha |^{2}+{\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega },}$

最後の項については次のように書くことができる。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega }=-{\frac {\partial }{\partial (\beta \hbar \omega )}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }\right)={\frac {e^{-\beta \hbar \omega }}{(1-e^{-\beta \hbar \omega })^{2}}}.}$

その結果、

${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}+\langle n\rangle _{\text{th}},}$

ここで、熱状態に関して計算された 光子数の平均である。ここでは、表記を簡単にするために、次のように定義した。${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}}$

${\displaystyle \langle O\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{Z}}{\text{tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}O\},}$

そして私たちは明示的に書きます

${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{e^{\beta \hbar \omega }-1}}.}$

極限ではが得られ、これは零温度における密度行列演算子の式と一致する。同様に、光子数の分散は次のように評価できる。 ${\displaystyle \beta \to \infty }$${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\langle n^{2}\rangle -\langle n\rangle ^{2}=\sigma _{\text{th}}^{2}+|\alpha |^{2}\left(1+2\langle a^{\dagger }a\rangle _{\text{th}}\right),}$

とします。平均値（第 1 モーメント）とは異なり、第 2 モーメントは熱分布モーメントおよび量子分布モーメントから切り離すことができないことが推測されます。その意味では、変位した熱状態の光子統計は、ポアソン統計とボルツマン統計の合計では説明されません。位相空間における初期熱状態の分布は、コヒーレント変位の結果として広がります。 ${\displaystyle \sigma _{\text{th}}^{2}=\langle n^{2}\rangle _{\text{th}}-\langle n\rangle _{\text{th}}^{2}}$

• ボーズ・アインシュタイン凝縮（BEC）は、すべて同じ量子状態にあるボソン原子の集まりです。^[25]熱力学システムでは、臨界温度以下、つまり熱ド・ブロイ波長が原子間距離よりも長くなると、基底状態はマクロ的に占有されます。液体ヘリウム4の超流動は、理想気体のボーズ・アインシュタイン凝縮に関連していると考えられています。しかし、⁴ Heは強い相互作用を持ち、液体構造因子（2次統計）が重要な役割を果たします。4 Heの超流動成分を表すためにコヒーレント状態を使用することで、^超流動における凝縮体/非凝縮体の割合の良好な推定値が得られ、これは低速中性子散乱の結果と一致しています。^{[26] [27] [28]}超流動の特殊な性質のほとんどは、超流動成分を表すためにコヒーレント状態を使用することで直接得られます。コヒーレント状態は、体積全体にわたって明確に定義された振幅と位相を持つマクロ的に占有された単一体状態として機能します。（⁴ Heの超流動成分は、遷移温度でゼロから絶対零度で100％になります。しかし、凝縮率は絶対零度T = 0Kで約6％です^{[29] 。）}
• 超流動の研究の初期に、ペンローズとオンサガーは超流動の測定基準（「秩序パラメータ」）を提案した。^[30] これは、一次縮約密度行列のマクロ的因数分解成分（マクロ的固有値）で表された。後に、CNヤン^{[31]は、フェルミオン系とボソン系}を含む「非対角長距離秩序」（ODLRO）と呼ばれる、マクロ的量子コヒーレンスのより一般的な測定基準を提案した。ODLROは、任意の次数の縮約密度行列にマクロ的に大きな因数分解成分（固有値）がある場合に常に存在する。超流動は、一次縮約密度行列の大きな因数分解成分に対応する。（そして、すべての高次の縮約密度行列は同様に動作する。）超伝導は、2次（「クーパー電子対」）縮約密度行列の大きな因数分解成分を伴う。
• 超流体におけるマクロな量子コヒーレンスを記述するために使用される縮小密度行列は、放射線におけるコヒーレンスの順序を記述するために使用される相関関数と形式的に同じです。どちらもマクロな量子コヒーレンスの例です。グラウバーの信号プラスノイズの記述で与えられる、電磁場におけるマクロ的に大きなコヒーレント成分とノイズは、超流動の 2 流体モデルにおけるマクロ的に大きな超流体成分と通常の流体成分とを形式的に同じです。
• ラジオやテレビの電波などの日常的な電磁放射も、ほぼコヒーレントな状態 (マクロな量子コヒーレンス) の例です。これは、量子と古典の間の従来の境界線について「考え直す」必要があります。
• 超流動におけるコヒーレンスは、ヘリウム原子のサブセットに起因するものではなく、すべての原子が関与する一種の集団現象です (次のセクションで示すように、超伝導におけるクーパー対形成に似ています)。

• 電子はフェルミオンですが、クーパー対を形成するとボソンとして働き、低温で集団的にコヒーレント状態を形成できます。このペアリングは実際には電子同士ではなく、電子がそれらの状態を出入りする際に利用可能な状態です。^[32]クーパー対形成は超伝導の最初のモデルを指します。^[33]
• これらのコヒーレント状態は、低温超伝導半導体における量子ホール効果などの効果を説明する要素の一部です。

• これを独立に示したギルモアとペレロモフによれば、コヒーレント状態の構築は群論の問題として捉えることができ、したがってコヒーレント状態はハイゼンベルク群とは異なる群に関連付けられ、それが上で議論した標準的なコヒーレント状態につながる。^{[34] [35] [36] [37]さらに、これらのコヒーレント状態は}量子群に一般化される可能性がある。これらのトピックは、オリジナルの研究を参照しながら、数理物理学におけるコヒーレント状態で詳細に議論されている。

• 量子場理論と弦理論において、無限の自由度を使用して元の真空とは異なる真空期待値を持つ真空状態を定義する場合へのコヒーレント状態の一般化。
• フェルミオン自由度を持つ 1 次元多体系量子システムでは、低エネルギー励起状態は、粒子正孔励起を生成するボソン場演算子のコヒーレント状態として近似できます。このアプローチはボソン化と呼ばれます。
• 非相対論的量子力学のガウスコヒーレント状態は、クライン・ゴルドン粒子とディラック粒子の相対論的コヒーレント状態に一般化できる。^{[38] [39] [40]}
• コヒーレント状態はループ量子重力理論や（半）古典的正準量子一般相対論の構築に関する研究にも登場している。 ^{[41] [42]}

• 数理物理学におけるコヒーレント状態
• 量子場理論
• 量子光学
• 量子増幅器
• 電磁場
• 一貫性の度合い

• 光場の量子状態
• グラウバー状態: 量子調和振動子のコヒーレント状態
• 光子統計インタラクティブでコヒーレント状態を測定する