スカラー場理論

理論物理学において、スカラー場理論は、相対論的に不変なスカラー場の古典理論または量子理論を指す。スカラー場は、いかなるローレンツ変換に対しても不変である。^[1]

自然界で観測されている唯一の基本的なスカラー量子場はヒッグス場である。しかし、スカラー量子場は多くの物理現象の有効場理論の記述において特徴づけられる。一例としてはパイオンがあり、これは実際には擬スカラーである。^[2]

スカラー場は分極の複雑さを伴わないため、第二量子化を理解するのに最も簡単な理論であることが多い。このため、スカラー場理論は新しい概念や技術の導入によく使われる。^[3]

以下で使用するメトリックのシグネチャは( + − − −)です。

このセクションの一般的な参考文献は、Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. ISBN  0-201-30450-3、Ch 1 です。

最も基本的なスカラー場理論は線形理論である。場のフーリエ分解により、無限個の結合振動子の通常モードが表現される。ここで振動子指数iの連続極限はxで示される。自由相対論的スカラー場理論 の作用は、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\&=\ int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\[6pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\デルタ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned }}}$

ここで、はラグランジアン密度として知られ、3つの空間座標に対してd ⁴⁻¹ x ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx ¹ ⋅ dx ² ⋅ dx ^{3です。δ ij は}クロネッカーのデルタ関数です。ρ番目の座標x ^ρ に対して∂ _ρ = ∂ / ∂x ^ρです。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

これは二次作用の例です。なぜなら、各項は場φにおいて二次であるためです^{。m 2}に比例する項は、この理論の量子化バージョンでは粒子の質量として解釈されるため、質量項と呼ばれることもあります。

この理論の運動方程式は、上記の作用を 極限化することによって得られる。それは、 φに関して線形な次の形をとる。

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi - \nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0~,}$

ここで、∇ ^2はラプラス演算子です。これは、量子力学的な波動方程式ではなく、古典的な場の方程式として解釈される クライン・ゴルドン方程式です。

上記の線形理論の最も一般的な一般化は、ラグランジアンにスカラーポテンシャル を 追加することです。ここで、通常、ポテンシャル は質量項 に加えて、に高次の多項式項を持ちます。このような理論は相互作用していると言われることがあります。これは、オイラー・ラグランジュ方程式が非線形になり、自己相互作用を意味するためです。最も一般的なこのような理論の作用は、 ${\displaystyle V(\phi )}$${\displaystyle m^{2}\phi ^{2}/2}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\[ 3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -V(\phi )\right]\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\ ,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\部分的_{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty } {\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}\right]\end{aligned}}}$

展開における因子は、以下で説明するように、量子論の ファインマン図展開に役立つため導入されます。${\displaystyle n!}$

対応するオイラー・ラグランジュの運動方程式は

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +V'(\phi )=\partial _{t}^{2}\phi -\ナブラ ^{2}\phi +V'(\phi )=0.}$

これらのスカラー場理論における物理量は、長さ、時間、質量、またはこれら 3 つの組み合わせの次元を持つ場合があります。

しかし、相対論的理論では、 時間の次元を持つ任意の量tは、光速度c を使用することで、長さl = ctに簡単に変換できます。同様に、長さ l はプランク定数ħを使用すると、逆質量ħ = lmcに相当します。自然単位では、時間を長さと考えるか、時間または長さのいずれかを逆質量と考えます。

つまり、あらゆる物理量の次元は、3 つの次元すべてではなく、1 つの独立した次元のみで定義されると考えることができます。これは、量の質量次元と呼ばれることがよくあります。各量の次元がわかれば、次元の一貫性に必要な ħとcの累乗を単純に再挿入するだけで、この質量次元に関する自然単位式から従来の次元を 一意に復元できます。

考えられる反論の 1 つは、この理論は古典的なものであり、したがってプランク定数が理論の一部となるべき理由がまったく明らかではないというものです。必要なら、質量次元をまったく持たない理論を作り直すこともできます。ただし、そうすると量子スカラー場とのつながりが若干わかりにくくなります。質量の次元があることを考えると、プランク定数はここでは本質的に任意の固定された作用基準量(必ずしも量子化に関連しているわけではありません)と考えられており、したがって質量と逆長さを変換するのに適した次元を持っています。

φの 古典的なスケーリング次元、または質量次元 Δは、座標の再スケーリングによる場の変換を記述します。

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x}$

${\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.}$

作用の単位はħの単位と同じであり、したがって作用自体の質量次元はゼロである。これにより、場φのスケーリング次元は次のように 固定される。

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}}.}$

いくつかのスカラー場理論はスケール不変であるという特別な意味がある。上記の作用はすべて質量次元がゼロになるように構成されているが、すべての作用がスケーリング変換に対して不変というわけではない。

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x}$

${\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.}$

すべてのアクションが不変ではない理由は、通常、パラメータmとg _n は固定量と考えられ、上記の変換では再スケールされないためです。スカラー場理論がスケール不変であるための条件は非常に明白です。アクションに現れるすべてのパラメータは、無次元量である必要があります。言い換えると、スケール不変理論とは、理論内に固定された長さスケール (または同等の質量スケール) がない理論です。

D時空次元を持つスカラー場理論では、唯一の無次元パラメータg _{n は}n = 2 D ⁄ ( D − 2) を満たします 。たとえば、D = 4 では、g ₄のみが古典的に無次元であるため、D = 4 で古典的にスケール不変な唯一のスカラー場理論は質量のないφ ⁴理論です。

ただし、古典的なスケール不変性は、関係する再正規化群のため、通常は量子スケール不変性を意味しません。以下のベータ関数の説明を参照してください。

変革

${\displaystyle x\rightarrow {\tilde {x}}(x)}$

変換が次式を満たすとき、それ は共形的であると言われる。

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {x^{\mu }}}}{\partial x^{\rho }}}{\frac {\partial {\tilde {x^{\nu }}}}{\partial x^{\sigma }}}\eta _{\mu \nu }=\lambda ^{2}(x)\eta _{\rho \sigma }}$

ある関数λ ( x )に対して。

共形群には、計量の等長変換（ポアンカレ群）と、上で考察したスケーリング変換（または拡大変換）が部分群として含まれています。実際、前のセクションのスケール不変理論は共形不変でもあります。 ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

質量のあるφ ⁴理論は、スカラー場理論における多くの興味深い現象を説明します。

ラグランジアン密度は

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}.}$

このラグランジアンには、φ → − φ変換の下で対称性 があります。これは、時空対称性とは対照的な内部対称性の例です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

m ²が正の場合、電位

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}}$

原点に単一の最小値を持ちます。解φ =0 は対称性の下で明らかに不変です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

逆に、m ²が負の場合、潜在的な

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}}$

には 2 つの極小値があります。これは二重井戸ポテンシャルとして知られており、このような理論における最低エネルギー状態 (量子場理論の用語では真空と呼ばれる) は作用の対称性の下で不変ではありません(実際には、2 つの真空のそれぞれが他の真空にマッピングされます)。この場合、対称性は自発的に破れると言われています。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

負のm ²を持つφ 4 理論にも^{キンク解があり、これは}ソリトンの標準的な例である。このような解は次の形式である 。

${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)=\pm {\frac {m}{2{\sqrt {\frac {g}{4!}}}}}\tanh \left[{\frac {m(x-x_{0})}{\sqrt {2}}}\right]}$

ここで、 x は空間変数の 1 つです ( φ はtおよび残りの空間変数とは独立していると見なされます )。この解は、二重井戸型ポテンシャルの 2 つの異なる真空の間を補間します。無限エネルギーの解を通過せずにキンクを定数解に変形することは不可能であり、このためキンクは安定していると言われています。D >2 (つまり、複数の空間次元を持つ理論) の場合、この解はドメイン ウォールと呼ばれます。

キンク解を持つスカラー場理論のもう一つのよく知られた例は、サイン・ゴードン理論です。

複素スカラー場理論では、スカラー場は実数ではなく複素数の値を取る。複素スカラー場は、電荷を持つスピン0の粒子と反粒子を表す。考慮される作用は通常、次の形式を取る。

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial _{\nu }\phi -V(|\phi |^{2})\right]}$

これはU(1)対称性、つまりO(2)対称性を持ち、その場の空間への作用は、ある実位相角 αに対して回転します。 ${\displaystyle \phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi }$

実スカラー場に関しては、 m ²が負の場合、自発的な対称性の破れが見られます。これにより、実スカラー場の二重井戸型ポテンシャルをV軸を中心に 2π ラジアン回転させるゴールドストーンのメキシカンハットポテンシャルが生じます。対称性の破れは 1 つ高い次元で発生します。つまり、真空を選択すると、離散的な対称性ではなく連続的なU (1) 対称性が破れます。スカラー場の 2 つの成分は、質量のあるモードと質量のないゴールドストーンボソンとして再構成されます。 ${\displaystyle (\phi )}$

複素スカラー場理論は、U(1) = O(2)内部対称性のベクトル表現で変換される2つの実数場φ ¹ = Re φとφ ² = Im φで表現できます。このような場は内部対称性の下でベクトルとして変換されますが、それでもローレンツスカラーです。

これは、 O ( N )対称性のベクトル表現で変換されるNスカラー場の理論に一般化できる。O ( N )不変スカラー場理論のラグランジアンは、典型的には次のような形になる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \cdot \partial _{\nu }\phi -V(\phi \cdot \phi )}$

適切なO ( N ) 不変内積を用いて表されます。この理論は複素ベクトル場、つまり に対しても表すことができます。この場合、対称群はリー群SU(N)です。 ${\displaystyle \phi \in \mathbb {C} ^{n}}$

スカラー場理論をゲージ不変な方法でヤン・ミルズ作用と結合すると、超伝導体のギンツブルグ・ランダウ理論が得られます。この理論の位相ソリトンは超伝導体の渦に対応し、メキシカンハットポテンシャルの最小値は超伝導体の秩序パラメータに対応します。

このセクションの一般的な参考文献は、Ramond, Pierre (2001-12-21) 「 Field Theory: A Modern Primer (Second Edition)」です。米国: Westview Press。ISBN 0-201-30450-3、第 4 章 。 

量子場の理論では、場と、そこから構成されるすべての観測量は、ヒルベルト空間上の量子演算子によって置き換えられます。このヒルベルト空間は真空状態上に構築され、そのダイナミクスは 真空を消滅させる正定値演算子である量子ハミルトニアンによって支配されます。量子スカラー場の理論の構築は、場間の正準交換関係に依存する正準量子化の記事で詳しく説明されています。本質的には、上記の (分離された) 通常モードとしてスカラー場に再パッケージ化された無限の古典振動子が標準的な方法で量子化されるため、それぞれの量子演算子場は、それぞれのフォック空間で作用する無限の量子調和振動子を記述します。

簡単に言えば、基本変数は量子場φとその正準運動量πである。これらの演算子値場は両方ともエルミートである。空間点x →、y → 、および等時刻において、それらの正準交換関係は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\phi \left({\vec {y}}\right)\right]=\left[\pi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=0,\\\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=i\delta \left({\vec {x}}-{\vec {y}}\right),\end{aligned}}}$

一方、自由ハミルトニアンは、上記と同様に、

${\displaystyle H=\int d^{3}x\left[{1 \over 2}\pi ^{2}+{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}\right].}$

空間フーリエ変換は運動量空間場 を導く

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\phi ({\vec {x}}),\\{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\pi ({\vec {x}})\end{aligned}}}$

消滅演算子と創造演算子に解決される

${\displaystyle {\begin{aligned}a({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})+i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\\a^{\dagger }({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})-i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\end{aligned}}}$

どこ。 ${\displaystyle E={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}}$

これらの演算子は交換関係を満たす

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a({\vec {k}}_{1}),a({\vec {k}}_{2})\right]=\left[a^{\dagger }({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=0,\\\left[a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=(2\pi )^{3}2E\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2}).\end{aligned}}}$

全ての演算子aによって消滅した状態は裸の真空として識別され、 真空に 適用することで運動量k →を持つ粒子 が生成されます。${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle a^{\dagger }({\vec {k}})}$

生成演算子のあらゆる可能な組み合わせを真空に適用すると、関連するヒルベルト空間が構築されます。この構築はフォック空間と呼ばれます。真空はハミルトニアンによって消滅します。

${\displaystyle H=\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{\frac {1}{2}}a^{\dagger }({\vec {k}})a({\vec {k}}),}$

ここで、ゼロ点エネルギーはウィック順序付けによって除去されています。（正準量子化を参照してください。）

相互作用は、相互作用ハミルトニアンを追加することによって含めることができます。φ ⁴理論の場合、これは、ハミルトニアンにウィック順序項g : φ ^{4 :/4! を追加し、} xにわたって積分することに対応します。 散乱振幅は、相互作用図のこのハミルトニアンから計算できます。 これらは、摂動論でダイソン級数によって構築され、時間順序付けされた積、またはダイソン級数の記事で説明されているn粒子グリーン関数を与えます。 グリーン関数は、シュウィンガー–ダイソン方程式の解として構築される生成関数から取得することもできます。 ${\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle }$

ファインマン図の展開は、ファインマン経路積分定式化からも得られる。^[4] φの多項式の時間順序付き 真空期待値はn粒子グリーン関数として知られ、外部場のない真空期待値で正規化されたすべての可能な場にわたって積分することによって構成される。

${\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

これらのグリーン関数はすべて、生成関数の J ( x )φ( x )の指数関数を展開することで得られる。

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle .}$

ウィック回転を適用して時間を虚数にすることができる。符号を（++++）に変更すると、ファインマン積分はユークリッド空間における統計力学の分割関数に変換される。

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.}$

通常、これは固定運動量を持つ粒子の散乱に適用され、その場合にはフーリエ変換が役立ち、代わりに

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int {d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{g \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

ここで、 はディラックのデルタ関数です。 ${\displaystyle \delta (x)}$

この関数積分を評価する標準的な方法は、図式的に指数因子の積として表すことである。

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-g/4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

2 番目の 2 つの指数因子は、べき級数として展開することができ、この展開の組み合わせは、4 次相互作用のファインマン ダイアグラムを通じてグラフィカルに表現できます。

g = 0 の積分は、無限に多い基本ガウス積分の積として扱うことができます。結果は、次のファインマン規則を使用して計算された ファインマン図の合計として表すことができます。

• 各フィールド 〜φn点ユークリッドグリーン関数の( p )はグラフ内の外線(半辺)で表され、運動量pに関連付けられます。
• 各頂点は係数 − gによって表されます。
• 与えられた次数g ^kでは、 n 本の外部線とk 個の頂点を持つすべての図は、各頂点に流入する運動量がゼロになるように構築されます。各内部線は、プロパゲーター 1/( q ² + m ² )によって表されます。ここで、 qはその線を流れる運動量です。
• 制約のない運動量は、すべての値にわたって積分されます。
• 結果は対称係数で割ります。対称係数とは、接続性を変更せずにグラフの線と頂点を再配置できる方法の数です。
• 「真空バブル」、つまり外部線のない接続されたサブグラフを含むグラフを含めないでください。

最後のルールは、 〜ず[0] ミンコフスキー空間のファインマン則も同様であるが、各頂点は−igで表され、各内部線は伝播関数i /( q ² − m ² + iε ) で表される点が異なる。ここで、ε項はミンコフスキー空間のガウス積分を収束させるために必要な小さなウィック回転を表す。

ファインマングラフにおける「ループ積分」と呼ばれる、制約のない運動量に対する積分は、通常、発散します。これは通常、ラグランジアンに発散する反対項を追加して、元のラグランジアンと反対項から構築された図が有限になるようにする手順である、再正規化によって処理されます。 ^[5]このプロセスでは、再正規化スケールを導入する必要があり、結合定数と質量はそれに依存するようになります。

結合定数gのスケールλへの依存性は、次のように定義される ベータ関数β ( g )によって符号化される。

${\displaystyle \beta (g)=\lambda \,{\frac {\partial g}{\partial \lambda }}~.}$

このエネルギースケールへの依存性は「結合パラメータのランニング」として知られており、量子場の理論におけるこの体系的なスケール依存性の理論は、くりこみ群によって記述されます。

ベータ関数は通常、近似スキーム、最も一般的な摂動論で計算され、結合定数が小さいと仮定します。次に、結合パラメータのべき乗展開を行い、高次の項（対応するファインマングラフのループ数のため、高次ループ寄与とも呼ばれます）を切り捨てます。

φ ^4理論における β関数 の 1 つのループ (最初の摂動寄与)は

${\displaystyle \beta (g)={\frac {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~.}$

最低次の項の前の符号が正であるという事実は、結合定数がエネルギーとともに増加することを示唆している。この動作が大きな結合でも持続する場合、これは量子自明性から生じる有限エネルギーでのランダウ極の存在を示していることになる。しかし、この質問は強い結合を伴うため、非摂動的にしか答えることができない。

量子場理論は、ベータ関数を通じて計算される再正規化結合が紫外線カットオフを除去したときにゼロになるとき、自明であると言われます。その結果、伝播関数は自由粒子の伝播関数になり、場はもはや相互作用しません。

φ4相互作用については、マイケル・アイゼンマンは時空次元D≥5に対して理論が確かに自明であることを証明した。[ ^{6 ]}

D = 4の場合、その自明性は厳密に証明されていないが、格子計算はこれに強い証拠を与えている。この事実は、量子自明性を利用してヒッグス粒子の質量などのパラメータを制限したり予測したりすることができるため重要である。これはまた、漸近的安全シナリオにおいて予測可能なヒッグス質量につながる可能性がある。^[7]

• 繰り込み
• 量子の些細さ
• ランダウ極
• スケール不変性（CFT 記述）
• スカラー電気力学

• Peskin, M. ; Schroeder, D. (1995). 量子場理論入門. Westview Press. ISBN 978-0201503975。
• ワインバーグ、S. (1995)。場の量子理論。第1巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-55001-7。
• ワインバーグ、S. (1998)。場の量子理論。第2巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-55002-5。
• Srednicki, M. (2007).量子場理論. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521864497。
• ジン・ジャスティン、J (2002)。量子場理論と臨界現象。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0198509233。

• 量子場理論の概念的基礎 第 3 章へのリンクをクリックすると、相対論的量子力学と量子場理論におけるスカラーの広範かつ簡略化された入門書が見つかります。