主量子数

量子力学において、主量子数（記号n ）は、電子の状態を表すために原子内の各電子に割り当てられる 4 つの量子数のうちの 1 つです。その値は自然数（1 から始まる）であり、離散変数となります。

主量子数の他に、束縛電子の量子数には、方位量子数 ℓ、磁気量子数 m _l、およびスピン量子数 sがあります。

nが増加すると、電子のエネルギーも高くなり、したがって、原子核への結合が弱くなります。n が高くなると、平均して電子は原子核から遠ざかります。nの各値に対して、0 からn − 1 までの範囲のn 個のℓ (方位角) 値が許可されるため 、nが高いほど電子状態の数が多くなります。2 つのスピン状態を考慮すると、各n殻には最大 2 n ^{2 個の}電子を収容できます。

以下に説明する単純化された一電子モデルでは、電子の全エネルギーは主量子数nの負の逆二乗関数であり、n  > 1ごとにエネルギー準位が縮退する。 ^{[1]より複雑なシステム（原子核と電子の間の}クーロン力 以外の力を持つシステム）では、これらの準位は分裂する。多電子原子の場合、この分裂によりℓでパラメータ化された「サブシェル」が生じる。nのみに基づくエネルギー準位の記述は、原子番号5（ホウ素）から徐々に不十分になり、カリウム（Z  = 19）以降では完全に不十分となる。

主量子数は、異なるエネルギーレベルを区別する半古典的な原子のボーアモデルで使用するために最初に作成されました。現代の量子力学の発達により、単純なボーアモデルはより複雑な原子軌道理論に置き換えられました。しかし、現代の理論では依然として主量子数が必要です。

原子のエネルギー状態に関連付けられた一連の量子数があります。4 つの量子数n、ℓ、m、s は、原子内の単一電子の完全で一意の量子状態を指定し、その電子の波動関数または軌道と呼ばれます。パウリの排他原理により、同じ原子に属する 2 つの電子は、4 つの量子数すべてに対して同じ値を持つことはできません。シュレーディンガーの波動方程式は、解くと最初の 3 つの量子数を導く 3 つの方程式に簡約されます。したがって、最初の 3 つの量子数の方程式はすべて相互に関連しています。主量子数は、以下に示すように、波動方程式の放射状の部分の解で生じました。

シュレーディンガーの波動方程式は、対応する実数E _nと、特定の全エネルギーであるE _nの値を持つエネルギー固有状態を記述します。水素原子の電子の束縛状態エネルギーは次のように表されます。 $${\displaystyle E_{n}={\frac {E_{1}}{n^{2}}}={\frac {-13.6{\text{ eV}}}{n^{2}}},\quad n=1,2,3,\ldots }$$

パラメータn は正の整数値のみを取ることができます。エネルギー レベルの概念と表記は、以前のボーア原子モデルから採用されました。シュレーディンガー方程式は、平坦な 2 次元ボーア原子から 3 次元波動関数モデルへのアイデアを発展させました。

ボーア模型では、許容される軌道は、軌道角運動量Lの量子化された（離散的な）値から、次式に従って 導出されます。 ここで、n = 1, 2, 3, ... であり、は主量子数と呼ばれ、h はプランク定数です。角運動量の大きさは方位量子数で記述されるため、この式は量子力学では正しくありませんが、エネルギー レベルは正確であり、古典的には電子の 位置エネルギーと運動エネルギーの合計に対応します。$${\displaystyle L=n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }}$$

主量子数n は各軌道の相対的な全体エネルギーを表します。各軌道のエネルギーレベルは、原子核からの距離が増加するにつれて増加します。同じn値を持つ軌道の集合は、しばしば電子殻と呼ばれます。

波と物質の相互作用中に交換される最小エネルギーは、波の周波数とプランク定数の積です。これにより、波は量子と呼ばれる粒子のようなエネルギーの塊になります。異なるnを持つエネルギー レベル間の差によって、元素の 発光スペクトルが決まります。

周期表の表記では、電子の主な殻は次のようにラベル付けされています。

主量子数に基づく。

主量子数は、動径量子数n _rと次のように関係します。 ここで、ℓは方位量子数、n _{r は}動径波動関数の ノード数に等しくなります。$${\displaystyle n=n_{r}+\ell +1}$$

共通クーロン場内で離散スペクトルを持つ粒子の運動に対する明確な全エネルギーは、次のように与えられます。 ここで、はボーア半径です。 $${\displaystyle E_{n}=-{\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}a_{0}^{2}n^{2}}}=-{\frac {Z^{2}e^{4}m_{0}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},}$$${\displaystyle a_{0}}$

この離散エネルギースペクトルは、クーロン場における電子の運動に関する量子力学的問題の解決から生じたものであり、ボーア・ゾンマーフェルトの量子化規則を古典方程式に適用して得られたスペクトルと一致する。ラジアル量子数はラジアル波動関数R ( r ) のノードの数を決定する。^[2]

化学では、電子殻理論に関連してn  = 1、2、3、4、5、6、7の値が使用され、 まだ発見されていない第8周期元素ではn = 8（場合によっては9）が含まれると予想されています。原子物理学では、励起状態の説明にさらに大きなnが使用されることがあります。星間物質の観測により、数百のオーダーのnを含む水素原子のスペクトル線が明らかになり、最大766 ^{[3] の}値が検出されました。

• 量子力学入門

• 周期表アプレット: 各元素の主量子数と方位量子数を表示