対応原理

ボーアの対応原理の萌芽は二つの源泉から現れた。第一に、ゾンマーフェルトとマックス・ボルンは、古典ハミルトン力学の作用角変数に基づく「量子化手順」を開発した。これにより、ボーア＝ゾンマーフェルト原子模型の定常状態の数学的基礎が与えられた。第二の萌芽は、 1916年のアルベルト・アインシュタインによるプランクの法則の量子論的導出である。アインシュタインは、電磁放射と相互作用するボーア模型原子の統計力学を発展させ、吸収と、自発放出と誘導放出という二種類の放出を導出した。しかし、ボーアにとって重要な成果は、古典的な類推とボーア原子模型を用いて、プランクによる黒体放射公式の導出における矛盾を解消したことであった。^{[ 9 ]： 118}

ボーアは、それを対応原理と呼ぶ以前に、講義や著作の中で「対応」という言葉をイタリック体で用いていた。彼はこれを古典理論と量子理論の間の対応ではなく、量子運動と放射の間の対応と捉えていた。彼は1920年に、「一方では定常状態間の様々な種類の遷移と、他方では運動の様々な調和成分の間には、広範囲にわたる対応が存在する」と記している。^{[ 9 ]： 138}

ボーアが対応原理の定義を初めて発表した論文^{[ 10 ] : 29は}、1923年に発表された「原子構造への量子論の応用について」というタイトルの要約論文（英語訳）である。第II章「放射過程」で、彼は対応原理を、電子モーメントの調和成分と放射遷移の可能性を結びつける条件として定義している^{[ 11 ] : 22。}現代の用語で言えば、この条件は選択規則であり、特定の種類の運動が対応する古典モデルに存在する場合に限り、特定の量子ジャンプが可能になるというものである^{[ 2 ] 。}

ボーアは対応原理の定義に続いて、2つの応用について述べている。まず、放出される放射の周波数は積分と関連しており、積分内の量子数がそれらの差に比べて大きい場合、和でよく近似できることを示している。^{[ 11 ] : 23}同様に、スペクトル線の強度、ひいては量子ジャンプが発生する速度についても関係を示している。これらの漸近的な関係は、ボーアによって彼の一般的な対応原理の結果として表現されている。しかし、歴史的には、これらの応用はそれぞれ「対応原理」と呼ばれてきた。^{[ 2 ]}

コペンハーゲンのボーア研究室に所属していたハンス・クレイマースの博士論文は、ボーアの対応原理を応用して、分光学的シュタルク効果の既知の事実すべて（クレイマースの研究当時は知られていなかったスペクトル成分も含む）を説明した。^{[ 12 ]： 189} ゾンマーフェルトは、対応原理が基礎理論の帰結ではないように思われたため、当初は懐疑的であったが、クレイマースの研究によって、この原理には発見的有用性があることを確信した。ジョン・ヴァン・ヴレックやクレイマースとハイゼンベルクによる分散理論の研究など、他の物理学者もこの概念を取り入れた。^{[ 13 ]} この原理は、半古典的なボーア＝ゾンマーフェルト原子論の礎石となり、ボーアの1922年のノーベル賞は、対応原理に関する研究に対しても授与された。^{[ 12 ]： 5.4}

成功にもかかわらず、この原理に基づく物理理論は1920年代初頭にますます多くの課題に直面した。ヴァン・ヴレックとクレイマースによるヘリウムのイオン化ポテンシャルの理論計算は、実験値と大きく食い違った。^{[ 9 ] : 175}ボーア、クレイマース、ジョン・C・スレーターは、対応原理に基づきながらもエネルギー保存則を否定する、現在BKS理論と呼ばれる新しい理論的アプローチでこれに対応した。アインシュタインとヴォルフガング・パウリはこの新しいアプローチを批判し、ボーテ＝ガイガー同時実験は量子衝突においてエネルギーが保存されることを示した。^{[ 9 ] : 252}

既存の理論が観測結果と矛盾する中で、2つの新しい量子力学の概念が生まれた。まず、ハイゼンベルクが1925年に発表した行列力学に関する 論文「Umdeutung 」は、対応原理に触発されたものであったが、ボーアを引用してはいない。^{[ 2 ]}パスカル・ジョルダンとマックス・ボルンとの共同研究によるさらなる発展は、この原理とは無関係な数学モデルを生み出した。次に、翌年のシュレーディンガーの波動力学も同様にこの原理を用いていない。これらの2つのモデルは後に、古い量子理論に取って代わるのに十分な等価性と精度を持つことが示された。これらのアプローチには原子軌道は存在しない。対応原理は原理というよりは類推に近い。^{[ 9 ]： 284}

ポール・ディラックは1920年代後半に新しい量子論の重要な部分を開発した。彼はボーアの対応原理を適用しなかったが、^{[ 9 ] : 308}より形式的な古典力学と量子力学の対応関係を開発した。^{[ 9 ] : 317}ディラックは、ポアソン括弧として知られる古典力学の構造を、交換子として知られる量子力学の類似の構造に結びつけた。 $${\displaystyle \{A,B\}\longmapsto {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}].}$$ ディラックは、現在「正準量子化」と呼ばれるこの対応関係によって、古典力学の数学的形式を量子力学という新しい数学の基礎としてどのように再構築できるかを示した。

ディラックは、ボーアの対応原理に直接基づいたハイゼンベルクとクレイマースの分散に関する研究を研究することで、これらの関連性を発展させた。ディラックのアプローチは、古典力学と量子力学の関連性というボーアの目標への数学的に健全な道筋を提供する。^{[ 9 ]： 348}ディラックはこの対応を「原理」とは呼ばなかったが、物理学の教科書では彼の関連性を「対応原理」と呼んでいる。^{[ 10 ]}

20世紀まで古典力学が自然現象の記述において目覚ましい成功を収めてきたということは、量子力学も同様の状況下では同様に成功するはずだということを意味する。

経験による検証から判断すると、古典物理学の法則はあらゆる運動過程において見事にその正しさを証明してきた。したがって、新しい力学はこれらの問題すべてにおいて古典力学と同じ結果を達成しなければならない、ということが無条件に必然的な前提として定められなければならない。

この概念を定量的に定義する一つの方法は、作用の量子がゼロに近づくにつれて、量子力学理論が古典力学の結果を生み出すことを要求することである。${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$この移行は2つの異なる方法で実現できる。^{[ 10 ]： 214}

まず、粒子は波束で近似でき、波束の時間的な無限の広がりは無視できる。1927年、ポール・エーレンフェストは、ニュートンの運動法則が量子力学において平均的に成り立つことを示す、彼の名にちなんだ定理を証明した。位置と運動量の量子統計的期待値はニュートンの法則に従う。^{[ 4 ]}

第二に、個々の粒子の見方は、量子確率密度に一致する密度を持つ古典粒子の統計的混合に置き換えることができる。このアプローチは、例えば量子トンネル効果の記述に用いられるWKB近似の開発を皮切りに、半古典物理学の概念につながった。 ^{[ 10 ]： 231}

「一般化対応原理」という用語は、科学史の研究において、適切な状況下で新しい科学理論を以前の科学理論に還元することを意味するために用いられてきた。 ^{[ 2 ]}これは、新しい理論が、先行する理論が有効であることが知られていた状況下で、すべての現象を説明する必要があることを意味し、また、新しい理論が古い理論の大部分を保持することも意味する。一般化原理は、古典的な極限対応のように単一の公式だけでなく、完全な理論の様々な側面にわたって対応関係を適用する。^{[ 16 ] : 17}例えば、アルバート・アインシュタインは1905年の相対性理論に関する研究で、古典力学はガリレオ相対性理論に依存しているが、電磁気学はそうではないにもかかわらず、両方ともうまく機能していることを指摘した。彼は、近似的にこれらの別々の理論に還元されるような方法で両者を組み合わせた新しい理論を生み出した。皮肉なことに、この「一般化対応原理」という科学理論の概念の唯一の失敗は、古典力学が量子力学に置き換えられたことである。^{[ 16 ] : 21}