丸

アッシリア人や古代エジプト人、中国のインダス川流域や黄河流域の文明、そして古典古代の古代ギリシャやローマといった西洋文明など、最も古い文明の時代から、円は視覚芸術において、芸術家のメッセージを伝え、特定の思想を表現するために、直接的または間接的に用いられてきました。しかし、世界観（信仰や文化）の違いは、芸術家の認識に大きな影響を与えました。円の外周を強調して民主主義の理念を表現した芸術家もいれば、中心に焦点を当てて宇宙の統一性を象徴した芸術家もいました。神秘主義の教義では、円は主に存在の無限性と循環性を象徴しますが、宗教的伝統においては、天体や神聖な霊を表します。

円は、統一、無限、全体性、宇宙、神性、バランス、安定性、完全性など、多くの神聖で精神的な概念を象徴しています。このような概念は、世界中の文化において、例えばコンパス、光輪、ヴェシカ・ピスキスとその派生形（魚、目、オーレオール、マンドルラなど）、ウロボロス、ダルマ・ホイール、虹、マンダラ、バラ窓などのシンボルを用いて伝えられてきました。 ^{[ 10 ]}魔法陣は、西洋秘教のいくつかの伝統の一部です。

円周と直径の比はπ（パイ）で、約3.141592654の無理数定数です。円周と半径の比は2πです。^{[ a ]}したがって、円周Cは半径rと直径dと次の関係にあります。 $${\displaystyle C=2\pi r=\pi d.}$$

アルキメデスが著書『円の測定』で証明したように、円で囲まれた面積は、底辺が円周の長さで高さが円の半径に等しい三角形の面積に等しく、その高さはπに半径の2乗を掛けた ものになります。 ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \mathrm {面積} =\pi r^{2}.}$$

同様に、直径をdで表すと、 $$面積 = πd²/4 ≈ 0.7854d²$$ つまり、外接する正方形（一辺の長さがdの正方形）の約 79% です。

円は、与えられた弧長に対して最大の面積を囲む平面曲線である。これは、円を変分法の問題、すなわち等周不等式と関連付ける。

半径rの円が角度の頂点を中心としており、その角度が円弧の長さ s の円弧を切り取る場合、角度の ラジアン値𝜃 は、円弧の長さと半径の比になります。$$\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}.}$$

円弧は、円の中心で中心角と呼ばれる角度をなすと言われています。1ラジアンは、長さが半径に等しい円弧がなす中心角の大きさです。完全な円が中心でなす角度は全角と呼ばれ、2πラジアン、360度、または1回転に相当します。

ラジアンを用いて、半径rで中心角θを持つ円弧の弧長sを求める式は次のようになる。 $${\displaystyle s=\theta r,}$$

半径r、中心角θの扇形の面積Aの公式は次のとおりである。 $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\theta r^{2}.}$$

特殊な場合𝜃 = 2 πでは、これらの式はそれぞれ完全な円の円周と完全な円盤の面積を与えます。

円上の点Pを通る接線は、点Pを通る直径に垂直です。点 P = ( x ₁ , y ₁ )で、円の中心が ( a , b )、半径がrの場合、接線は ( a , b ) から ( x ₁ , y _{1 ) への直線に垂直なので、} ( x ₁ − a ) x + ( y ₁ − b ) y = c の形になります。( x ₁ , y ₁ )で評価するとcの値が決まり、結果として接線の方程式は次のようになります。 $${\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}$$ または $${\displaystyle (x_{1}-a)(xa)+(y_{1}-b)(yb)=r^{2}.}$$

y ₁ ≠ bの場合、この直線の傾きは $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}$$

これは陰関数微分を用いて求めることもできます。

円の中心が原点にある場合、接線の方程式は次のようになります。 $${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}$$ そしてその傾斜は $$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}$$

• 弦が円の中心から等距離にあるのは、弦の長さが等しい場合に限る。
• 弦の垂直二等分線は円の中心を通る。垂直二等分線の一意性から導かれる同等の記述は以下のとおりである。
  • 円の中心から引いた垂線は弦を二等分する。
  • 弦の中心を通る線分が弦を二等分する場合、その線分は弦に垂直である。
• 円の中心角と円周角が同じ弦によって張られ、かつ同じ側にある場合、中心角は円周角の2倍である。
• 2つの角が同じ弦上にあり、かつ同じ側にある場合、それらの角は等しい。
• 2 つの角が同じ弦上にあり、かつ弦の反対側にある場合、それらは補角である。
  • 円に内接する四角形では、外角は内角と対角に等しくなります。
• 直径がなす内接角は直角である（タレスの定理を参照）。
• 直径は円の中で最も長い弦である。
  • 弦ABを共通に持つすべての円の中で、半径が最小の円は直径がABである円である。
• 任意の2つの弦の交点が一方の弦を長さaとbに分割し、もう一方の弦を長さcとdに分割する場合、ab = cd が成り立つ。
• 2 つの垂直な弦の交点が、一方の弦を長さaとbに分割し、もう一方の弦を長さcとdに分割する場合、a ² + b ² + c ² + d ²は直径の 2 乗に等しくなります。^{[ 13 ]}
• ある一点で直角に交わる任意の２つの弦の長さの二乗の合計は、同じ点で交わる他の任意の２つの垂直な弦の長さの二乗の合計と同じであり、8 r ² − 4 p ²で与えられる。ここで、rは円の半径、pは中心点から交点までの距離である。^{[ 14 ]}
• 円上の点から特定の弦までの距離に円の直径を掛けたものは、その点から弦の両端までの距離の積に等しい。^{[ 15 ]： p.71}

• 円周上にある半径の終点を通り、半径に垂直に引いた線は、円の接線である。
• 円との接点を通る接線に垂直に引いた線は、円の中心を通る。
• 円の外側の任意の点から円に接する線は常に2本引くことができ、これらの接線の長さは等しい。
• 点Aにおける接線と点Bにおける接線が外部の点Pで交わる場合、中心をOとすると、角度 ∠ BOAと ∠ BPAは補角になります。
• ADが円の点Aに接し、AQが円の弦である場合、∠DAQ = 1/2 arc ( AQ )となります。

• 弦定理は、2つの弦CDとEBが点Aで交わる場合、AC × AD = AB × AEとなることを述べている。
• 2つの割線AEとADがそれぞれ点Bと点Cで円と交わる場合、AC × AD = AB × AEとなる（弦定理の系）。
• 接線は、両端が一致する割線の極限と考えることができます。外部の点Aから引いた接線が円と点Fで交わり、外部の点Aから引いた割線が円とそれぞれ点CとDで交わる場合、AF ² = AC × ADが成り立ちます（接線・割線定理）。
• 弦と、その弦の一方の端点における接線との間の角度は、弦の反対側の円の中心で形成される角度（接弦角）の半分に等しい。
• 弦が中心でなす角度が 90 °の場合、ℓ = r √2となります。ここで、ℓは弦の長さ、rは円の半径です。
• 右図のように円に 2 つの割線が内接している場合、角Aの測定値は、囲まれた弧の測定値の差の 1/2 に等しくなります (${\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}}$そして${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$つまり、${\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}$ここで、Oは円の中心である（割線-割線定理）。

円周角（図中の青と緑の角が例）は、対応する中心角（赤）のちょうど半分です。したがって、同じ弧（ピンク）を囲むすべての円周角は等しくなります。弧（茶色）に内接する角は補角の関係にあります。特に、直径を囲むすべての円周角は直角です（中心角は180°なので）。

サジッタ（またはヴェルシネ）とは、弦の中点と円弧の間に、弦に垂直に引かれた線分のことである。

弦の長さyと矢の長さxが与えられた場合、ピタゴラスの定理を用いて、この2つの線を囲む唯一の円の半径を計算することができる。 $${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$$

この結果の別の証明は、上記の 2 つの弦の性質のみに基づいており、次のとおりです。長さyの弦と長さxの矢が与えられた場合、矢が弦の中点と交差するため、それが円の直径の一部であることがわかります。直径は半径の 2 倍なので、直径の「欠けている」部分は ( 2 r − x ) の長さになります。1 つの弦の一方の部分ともう一方の部分の積が、最初の弦と交差する弦に沿って取った同じ積に等しいという事実を使用すると、( 2 r − x ) x = ( y / 2) ^{2 で}あることがわかります。rについて解くと、必要な結果が得られます。

• 直径の中点Mを作図する。
• 直径の一方の端点を通る中心Mを持つ円を作図します（円はもう一方の端点も通ります）。

• 点P、Q、Rの名前を挙げてください。
• 線分PQの垂直二等分線を作図する。
• 線分PRの垂直二等分線を作図します。
• これら2つの垂直二等分線の交点をMとします。（2つの点は同一直線上にはないため、交わります。）
• 中心がMで、点P、Q、Rのいずれか1つを通る円を作図します（この円は他の2つの点も通ります）。

円の密接に関連する性質として、複素平面上の点の交差比の幾何学が挙げられます。A、B、Cが上記のとおりである場合、これら3点に対するアポロニウスの円は、交差比の絶対値が1に等しい 点Pの集合です。$${\displaystyle {\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.}$$

言い換えれば、Pがアポロニウスの円上の点であるのは、交差比[ A , B ; C , P ]が複素平面上の単位円上にある場合のみである。

Cが線分ABの中点である場合、アポロニウス条件を満たす 点Pの集合は$${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$ それは円ではなく、線である。

したがって、平面上の異なる点A、B、Cが与えられた場合、上記の式を満たす点Pの軌跡は「一般化円」と呼ばれます。これは真の円である場合もあれば、直線である場合もあります。この意味では、直線は半径が無限大の一般化円と言えます。

円をある点から一定の距離にある点の集合と定義すると、距離の定義が異なると、さまざまな形状が円とみなされることがあります。pノルムでは、距離は次のように決定されます 。$${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$ ユークリッド幾何学では、p = 2 となり、おなじみの $${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{2}}}.}$$

タクシーの幾何学では、p = 1 です。タクシーの円は、座標軸に対して 45° の角度で辺が配置された正方形です。各辺の長さは${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$ユークリッド距離を用いると、rは円の半径であり、タクシー幾何学におけるその長さは 2r です。したがって、円の円周は 8r です。したがって、幾何学的類似の値は${\displaystyle \pi }$この幾何学では 4 です。タクシー幾何学における単位円の公式は${\displaystyle |x|+|y|=1}$デカルト座標系において、 $${\displaystyle r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}}$$ 極座標で表す。

半径1の円（この距離を用いると）は、その中心のフォン・ノイマン近傍である。

平面上のチェビシェフ距離（L∞メトリック）における半径rの円は_、座標軸に平行な辺の長さが2rの正方形でもあるため、平面チェビシェフ距離は、回転と拡大縮小によって平面タクシー距離と等価であると考えることができる。しかし、L1メトリックとL∞メトリックのこの等価性は、より高_次元には_一般化されない。

円は一次元超球面（1次元球面）である。

位相幾何学において、円は幾何学的概念だけでなく、その同相写像すべてを含む。2つの位相円は、 R ³をそれ自身に変形することによって他方に変換できる場合（アンビエントアイソトピーと呼ばれる）に等価である。^{[ 24 ]}

方向付き円とは、バイナリ値によって表される方向を持つ通常の円であり、その値は次のいずれかです。${\displaystyle 1}$または${\displaystyle -1}$唯一の例外は半径ゼロの円で、その向きは${\displaystyle 0}$点は半径ゼロの向き付けられた円に相当します。向き付けられた円の向きが${\displaystyle 1}$の場合、円は「反時計回り」に方向付けられていると言われます。方向が等しい場合、${\displaystyle -1}$すると「時計回り」になります。向き付けられた円の（符号付き）半径は、半径として定義されます。${\displaystyle r}$基となる向きのない円の向きに、向きを掛けたもの。符号付き角度の測定では、円の向きが仮定されます。