箱の中の粒子

量子力学において、波動関数は粒子の振る舞いを最も基本的な形で記述するものであり、粒子の測定可能な性質（位置、運動量、エネルギーなど）はすべて波動関数から導き出すことができる。^{[ 3 ]} 波動関数${\displaystyle \psi (x,t)}$システムの シュレーディンガー方程式を解くことで求めることができる。$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),}$$ どこ${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数である。${\displaystyle m}$は粒子の質量であり、${\displaystyle i}$は仮想単位であり、${\displaystyle t}$時間です。

箱の中では粒子に力が作用しないため、箱の中の波動関数の部分は自由粒子と同じ形で空間と時間を振動する。^{[ 1 ] [ 4 ]}波動関数の一般解を求めるには、条件付きのシュレーディンガー方程式を検討する。${\displaystyle V(x)=0}$ボックスの中に入れ替えたもの：$${\displaystyle E\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)}$$これを古典力学における単振動子の方程式の形に並べ替えると、次の解が得られます。

どこ${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は任意の複素数である。空間と時間における振動の周波数は波数によって与えられる。${\displaystyle k}$角周波数${\displaystyle \omega }$それぞれ。これらはどちらも、次の式によって粒子の全エネルギーと関連付けられます。

$${\displaystyle E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},}$$ これは自由粒子の分散関係として知られています。 ^{[ 1 ]}しかし、粒子は完全に自由ではなくポテンシャルの影響下にあるため、粒子のエネルギーは $${\displaystyle E=T+V,}$$ ここで、 Tは運動エネルギー、Vは位置エネルギーです。したがって、上記の粒子のエネルギーは、${\displaystyle E=p^{2}/2m}$（つまり粒子の運動量は次のように与えられない）${\displaystyle p=\hbar k}$したがって、上記の波数kは実際には粒子のエネルギー状態を表しており、通常の「波数」のように運動量とは関係ありません。kを波数と呼ぶ根拠は、波動関数がボックス内に持つ山の数を列挙しているからであり、この意味で波数です。この不一致は、粒子のエネルギー スペクトルが離散的（エネルギーの離散値のみが許容される）であるのに対し、運動量スペクトルが連続的（運動量は連続的に変化する可能性がある）であることがわかると、より明確になります。${\displaystyle E\neq p^{2}/2m}$。

ある位置における波動関数の振幅は、その場所に粒子が存在する確率と次のように関係している。${\displaystyle P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$したがって、波動関数は箱の端の外側ではどこでもゼロにならなければならない。^{[ 1 ] [ 4 ]} また、波動関数の振幅は、ある点から次の点へ急激に「ジャンプ」してはならない。^{[ 1 ]} これらの 2 つの条件は、次の形式の波動関数によってのみ満たされる。^{[ 5 ]}$${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{その他}}\end{cases}},}$$ どこ $${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}},}$$ そして $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{n}={\frac {k_{n}^{2}\hbar ^{2}}{2m}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}},}$$正の整数 に対して${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$最もシンプルな解決策は、${\displaystyle k_{n}=0}$または${\displaystyle A=0}$どちらも自明な波動関数を与える${\displaystyle \psi (x)=0}$これは、システム内のどこにも存在しない粒子を記述するものです。^{[ 6 ]} ここで、粒子に対しては離散的なエネルギー値と波数kのみが許容されることがわかります。通常、量子力学では、波動関数自体に加えて、その導関数も連続であることが求められます。しかし、この要求は唯一の解が定数ゼロ関数になることを招き、これは望ましいものではないため、この要求を放棄します（無限ポテンシャルを持つこのシステムは非物理的な抽象的な極限ケースとみなせるため、そのように扱い、「ルールを曲げる」ことができます）。この要求を放棄するということは、波動関数がボックスの境界で微分可能な関数ではないことを意味し、したがって、波動関数は境界点でシュレーディンガー方程式を解かないと言えます。${\displaystyle x=0}$そして${\displaystyle x=L}$（ただし、他の場所ではすべて解決します。）

最後に、未知の定数${\displaystyle A}$波動関数を正規化することで見つけることができる。つまり、以下から導かれる。 $${\displaystyle \int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1,}$$ 任意の複素数${\displaystyle A}$その絶対値は $${\displaystyle \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}},}$$ 同じ正規化状態が得られる。

固有値、すなわちエネルギーは${\displaystyle E_{n}}$箱の寸法は空間内の位置に関係なく同じであるべきですが、${\displaystyle \psi _{n}(x,t)}$変更点に注目してください。${\displaystyle x_{c}-{\tfrac {L}{2}}}$これは波動関数の位相シフトを表します。この位相シフトはシュレーディンガー方程式を解く際には影響を与えないため、固有値にも影響を与えません。

座標原点を箱の中心に設定すると、波動関数の空間部分は次のように簡潔に書き直すことができます。 $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

運動量波動関数は位置波動関数のフーリエ変換に比例する。${\displaystyle k=p/\hbar }$（以下の運動量波動関数を記述するパラメータkは、エネルギー固有値に関連付けられた上記の特別なk _nと正確には一致しないことに注意してください）運動量波動関数は次のように与えられます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{n}(p,t)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx\\[1ex]&={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},\end{aligned}}}$$ ここで、sinc は基本正弦関数sinc( x ) = sin( x )/ xです。中心ボックス ( x _c = 0 ) の場合、右辺の位相因子が 1 に収束するため、解は実数で特に単純です。 (注意すれば、 pの偶関数として記述できます。)

この波束の運動量スペクトルは連続的であることがわかる。したがって、波数k _nで記述されるエネルギー状態の場合、運動量は測定時に、k n を超える他の値も取り得ると結論付けることができる。${\displaystyle p=\pm \hbar k_{n}}$。

したがって、エネルギーは${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$n番目の固有状態の場合、関係式${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$測定された運動量pに対しては厳密には成り立たない。エネルギー固有状態${\displaystyle \psi _{n}}$これは運動量固有状態ではなく、実際には、上記の式（1）から想像したくなるような2つの運動量固有状態の重ね合わせですらありません。奇妙なことに、測定前に明確な運動量を持っていません。

古典物理学では、粒子は箱の中のどこにいても等しい確率で検出される。しかし、量子力学では、特定の場所に粒子が見つかる確率密度は波動関数から次のように導出される。${\displaystyle P(x)=|\psi (x)|^{2}.}$ 箱の中の粒子の場合、特定の場所に粒子が存在する確率密度は、その状態に依存し、次のように表される。 $${\displaystyle P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

したがって、 nが1より大きい任意の値に対して、ボックス内には次のような領域が存在する。${\displaystyle P(x)=0}$これは、粒子が見つからない空間ノードが存在することを示している。しかし、相対論的波動方程式を考慮すると、確率密度はノードでゼロにはならない（自明な場合を除く）。${\displaystyle n=0}$[ ^{7 ]​}

量子力学では、粒子の位置の 平均値、または期待値は次のように表される。$${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.}$$

箱の中の定常状態の粒子の場合、平均位置は常に${\displaystyle \langle x\rangle =x_{c}}$粒子の状態に関係なく。状態の重ね合わせの場合、位置の期待値は交差項に基づいて変化し、それはに比例します。${\displaystyle \cos(\omega t)}$。

位置のばらつきは、粒子の位置の不確実性の尺度である。 $${\displaystyle \mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$

与えられた運動量を持つ粒子を見つける確率密度は、波動関数から次のように導出される。${\displaystyle P(x)=|\phi (x)|^{2}}$位置と同様に、特定の運動量で粒子を見つける確率密度は、その状態に依存し、次のように表される。 $${\displaystyle P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)}$$ そこでは、${\displaystyle k=p/\hbar }$運動量の期待値はゼロと計算され、運動量の分散は次のように計算されます。 $${\displaystyle \mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}$$

位置と運動量の不確実性（${\displaystyle \Delta x}$そして${\displaystyle \Delta p}$）は、それぞれの分散の平方根に等しいと定義されるため、次のようになります。 $${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$$

この積はnの増加とともに増加し、 n =1で最小値をとります。n = 1の場合のこの積の値は約0.568です。${\displaystyle \hbar }$これはハイゼンベルクの不確定性原理に従うものであり、積は以上になる、と述べている。${\displaystyle \hbar /2}$。

位置の不確実性のもう1つの尺度は、確率分布H _xの情報エントロピーです。^{[ 8 ]}$${\displaystyle H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)}$$ ここで、x₀_は任意の基準長さである。

運動量の不確実性のもう一つの尺度は、確率分布H _pの情報エントロピーである。 $${\displaystyle H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\right)}$$ ここでγはオイラー定数である。量子力学的なエントロピー不確定性原理によれば、${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$$${\displaystyle H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2.14473...}$$(ナッツ)

のために${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$位置エントロピーと運動量エントロピーの合計は次のようになる。 $${\displaystyle H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\right)\approx 3.06974...}$$ ここで単位はnatであり、量子エントロピー不確定性原理を満たす。

許容される各波数に対応するエネルギーは次のように表すことができます^{[ 9 ]}$${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ エネルギーレベルは上昇し、${\displaystyle n^{2}}$つまり、高エネルギー準位間の距離は低エネルギー準位間の距離よりも大きいということです。粒子の最低エネルギー（零点エネルギー）は状態 1 で見つかり、^{[ 10 ]で与えられます。}$${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ したがって、粒子は常に正のエネルギーを持つ。これは、粒子が静止しているときにエネルギーがゼロになることがある古典系とは対照的である。これは不確定性原理によって説明でき、粒子の位置と運動量の不確定性の積は、によって制限される 。$${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ 粒子の位置の不確定性は箱の幅に比例することが示される。^{[ 11 ]} したがって、運動量の不確定性は箱の幅にほぼ反比例する。^{[ 10 ]}粒子の 運動エネルギーは次式で与えられる。${\displaystyle E=p^{2}/(2m)}$したがって、箱の中の粒子の最小運動エネルギーは質量と井戸幅の二乗に反比例し、上記の計算と定性的に一致する。^{[ 10 ]}

粒子が二次元ボックスに閉じ込められている場合、それは自由に動き回ることができ、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$-方向、長さで隔てられた障壁間${\displaystyle L_{x}}$そして${\displaystyle L_{y}}$それぞれ。中心ボックスの場合、位置波動関数はボックスの長さを含めて次のように書くことができる。${\displaystyle \psi _{n}(x,t,L)}$1次元ボックスの場合と同様のアプローチを用いると、中心ボックスの波動関数とエネルギーはそれぞれ次のように与えられることが示される。 $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),}$$$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},}$$ ここで、2次元波数ベクトルは次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .}$$

3次元ボックスの場合、解は次のようになります。 $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),}$$$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},}$$ ここで、3次元波数ベクトルは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}&=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} \\[1ex]&={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .\end{aligned}}}$$

一般にn次元ボックスの場合、解は次のようになる。 $${\displaystyle \psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})}$$

n次元運動量波動関数も同様に次のように表すことができます。${\displaystyle \phi _{n}(x,t,L_{x})}$そして、 n次元中心ボックス の運動量波動関数は次のようになる。$${\displaystyle \phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})}$$

上記のソリューションの興味深い特徴は、2 つ以上の長さが同じ場合 (例:${\displaystyle L_{x}=L_{y}}$）同じ全エネルギーに対応する波動関数が複数存在する。例えば、波動関数は${\displaystyle n_{x}=2,n_{y}=1}$波動関数と同じエネルギーを持つ${\displaystyle n_{x}=1,n_{y}=2}$この状況は縮退と呼ばれ、ちょうど2つの縮退した波動関数が同じエネルギーを持つ場合、そのエネルギー準位は二重縮退していると言われます。縮退はシステムの対称性から生じます。上記の場合、2つの長さが等しいため、システムは90°回転に関して対称です。

壁の形状が任意である箱の中の量子力学的粒子の波動関数は、壁面で波動関数がゼロになるという境界条件の下でヘルムホルツ方程式によって与えられる。このような系は、対応する動的ビリヤード台が非積分可能な壁形状を持つ量子カオスの分野で研究されている。

共役ポリエン系は、粒子インボックスモデルを用いてモデル化できる。^{[ 12 ]}共役電子系は、ポリエンの一方の末端からもう一方の末端までの全結合距離に等しい長さを持つ一次元ボックスとしてモデル化できる。この場合、各π結合内の各電子対は、それぞれのエネルギー準位に対応する。2つのエネルギー準位n _fとn _iの間のエネルギー差は次のようになる。 $${\displaystyle \Delta E={\frac {\left(n_{\text{f}}^{2}-n_{\text{i}}^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}}$$

基底状態エネルギーnと第一励起状態n +1の差は、系を励起するために必要なエネルギーに相当します。このエネルギーには特定の波長、すなわち光の色があり、それは次の関係式で表されます。 $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}}$$

この現象の一般的な例はβ-カロテンです。β-カロテン (C ₄₀ H ₅₆ ) ^{[ 13 ]}はオレンジ色の共役ポリエンで、分子の長さは約 3.8 nm です (ただし、鎖の長さは約 2.4 nm です)。^{[ 14 ]} β-カロテンは共役度が高いため、電子は分子の長さ全体に分散しており、箱の中の一次元粒子としてモデル化できます。 β-カロテンは 11 個の炭素- 炭素二重結合を共役しています。 ^{[ 13 ]}これらの二重結合のそれぞれには 2 個の π 電子が含まれているため、β-カロテンは 22 個の π 電子を持っています。 エネルギー準位ごとに 2 個の電子があるため、β-カロテンはエネルギー準位n = 11の箱の中の粒子として扱うことができます。^{[ 14 ]}したがって、電子を次のエネルギー準位に励起するために必要な最小エネルギーは、 n = 12 の場合、次のように計算できます^{[ 14 ]} (電子の質量は 9.109 × 10 ⁻³¹ kg ^{[ 15 ]}であることを思い出してください)。   $${\displaystyle \Delta E={\frac {\left(n_{\text{f}}^{2}-n_{\text{i}}^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {\left(12^{2}-11^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}}$$

波長とエネルギーの関係式を用い、プランク定数hと光速cの両方を思い出すと、次のようになる。 $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}={0.000\,000\,84}{\text{ m}}=840{\text{ nm}}}$$

これは、β-カロテンが主に赤外線スペクトルの光を吸収するため、人間の目には白く見えることを示しています。しかし、観測された波長は450  nmであり、^{[ 16 ]}箱の中の粒子はこのシステムの完全なモデルではないことを示しています。

箱の中の粒子モデルは量子井戸レーザーに適用できます。量子井戸レーザーは、異なる材料の 2 つの半導体層の間に 1 つの半導体「井戸」材料が挟まれたレーザーダイオードです。このサンドイッチの層は非常に薄いため (中間層は通常約 100  Å の厚さ)、量子閉じ込め効果が観測されます。^{[ 17 ]}量子効果を利用してより優れたレーザーダイオードを作成できるという考えは 1970 年代に生まれました。量子井戸レーザーは 1976 年に R. Dingle と CH Henry によって特許が取得されました。^{[ 18 ]}

具体的には、量子井戸の挙動は有限井戸モデル内の粒子によって表すことができます。2つの境界条件を選択する必要があります。1つ目は、波動関数が連続であることです。多くの場合、2番目の境界条件は、波動関数の導関数が境界を越えて連続であるように選択されますが、量子井戸の場合、境界の両側で質量が異なります。代わりに、2番目の境界条件は、粒子束を保存するように選択されます。${\displaystyle (1/m)d\phi /dz}$これは実験結果と一致している。箱の中の有限井戸粒子の解は数値的に解く必要があり、その結果、量子井戸内では正弦関数、障壁内では指数関数的に減衰する波動関数が得られる。^{[ 19 ]}電子のエネルギー準位のこの量子化により、量子井戸レーザーは従来の半導体レーザーよりも効率的に光を放出することができる。

量子ドットはサイズが小さいため、特定の半導体のバルク特性を示すのではなく、量子化されたエネルギー状態を示します。^{[ 20 ]}この効果は量子閉じ込めとして知られており、量子井戸レーザーなど、量子ドットの多くの応用につながっています。^{[ 20 ]}

プリンストン大学の研究者たちは最近、米粒ほどの大きさしかない量子井戸レーザーを開発した。^{[ 21 ]}このレーザーは、2つの量子ドット（二重量子ドット）を通過する単一の電子によって駆動される。電子は、マイクロ波領域の光子を放出しながら、より高いエネルギー状態からより低いエネルギー状態へと移動する。これらの光子は鏡で反射され、光線、すなわちレーザー光を生成する。^{[ 21 ]}

量子井戸レーザーは、光と電子の相互作用に大きく依存している。この関係は、ド・ブロイ波長や箱の中の粒子などを含む量子力学理論の重要な要素である。二重量子ドットにより、科学者は電子の動きを完全に制御できるようになり、その結果、レーザービームが生成される。^{[ 21 ]}