L − 1/9 ( z 4 ) の複素カラープロット(− 2 − 2 i から2+2 i まで ) 数学 において、エドモン・ラゲール （1834年～1886年）にちなんで名付けられたラゲール多項式は、 ラゲール微分方程式の非自明な解である。 x y 」 + （ 1 − x ） y ′ + n y = 0 、 y = L （ x ） {\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\ y=L(x)} 線形微分方程式 です。この方程式は、n が非負整数の場合にのみ非特異解を持ちます。
ラゲール多項式という 名称は、 x y 」 + （ α + 1 − x ） y ′ + n y = 0 。 {\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0~.} n は依然として非負の整数です。その場合、それらは一般化ラゲール多項式 とも呼ばれ、ここでもそう呼ばれます (あるいは関連ラゲール多項式 、またはまれに、発明者[ 1 ] ニコライ・ヤコブレヴィチ・ソニンにちなんで ソニン多項式 とも呼ばれます)。
より一般的に言えば、n が必ずしも非負の整数でない場合、ラゲール関数は 解となる。
ラゲール多項式は、ガウス・ラゲール求積法 にも使用され、次の形式の積分を数値的に計算します。 ∫ 0 ∞ f （ x ） e − x d x 。 \displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}
これらの多項式は通常L 0 L 1 ロドリゲスの公式 によって定義される多項式列 である。
L n （ x ） = e x n ! d n d x n （ e − x x n ） = 1 n ! （ d d x − 1 ） n x n 、 {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}
これらは内積 に関して直交する多項式である。 ⟨ f 、 g ⟩ = ∫ 0 ∞ f （ x ） g （ x ） e − x d x 。 {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}
組み合わせ論におけるルーク多項式は 、基本的な変数変換を除けば、ラゲール多項式とほぼ同じである。詳しくは、トリコミ・カルリッツ多項式を 参照のこと。
ラゲール多項式は量子力学において、1電子原子のシュレーディンガー方程式の解の動径部分に現れる。また、 位相空間における量子力学の振動子系の静的ウィグナー関数も記述する。さらに、 モースポテンシャル や3次元等方性調和振動子の量子力学にも登場する。
物理学者によっては、ここで用いた定義よりもn ! 倍大きいラゲール多項式の定義を用いる場合がある。（同様に、一部の物理学者は、いわゆる関連ラゲール多項式についても、やや異なる定義を用いる場合がある。）
一般化ラゲール多項式 任意の実数 α に対して、微分方程式[ 2 ] x y 」 + （ α + 1 − x ） y ′ + n y = 0 {\displaystyle x\,y''+\left(\alpha +1-x\right)y'+n\,y=0} これらは一般化ラゲール多項式 、または関連ラゲール多項式 と呼ばれます。
また、一般化ラゲール多項式を再帰的に定義することもでき、最初の 2 つの多項式を次のように定義します。 L 0 （ α ） （ x ） = 1 {\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1} L 1 （ α ） （ x ） = 1 + α − x {\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=1+\alpha -x}
そして、任意のk ≥ 1 に対して次の漸化式 を使用する。 L k + 1 （ α ） （ x ） = （ 2 k + 1 + α − x ） L k （ α ） （ x ） − （ k + α ） L k − 1 （ α ） （ x ） k + 1 。 {\displaystyle L_{k+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2k+1+\alpha -x)L_{k}^{(\alpha )}(x)-(k+\alpha )L_{k-1}^{(\alpha )}(x)}{k+1}}.}
単純ラゲール多項式は、一般化ラゲール多項式の α = 0の場合の特殊なケースである。L n （ 0 ） （ x ） = L n （ x ） 。 {\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}
ロドリゲスの公式 は、 L n （ α ） （ x ） = x − α e x n ! d n d x n （ e − x x n + α ） = x − α n ! （ d d x − 1 ） n x n + α 。 {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)={\frac {x^{-\alpha }}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n+\alpha }.}
それらの 生成関数は ∑ n = 0 ∞ t n L n （ α ） （ x ） = 1 （ 1 − t ） α + 1 e − t x / （ 1 − t ） 。 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-tx/(1-t)}.}
最初のいくつかの一般化ラゲール多項式、L n ( k ) ( x )
経路積分として 上記の生成関数が与えられた場合、多項式は経路積分を用いて表現することができる。 L n （ α ） （ x ） = 1 2 π 私 ∮ C e − x t / （ 1 − t ） （ 1 − t ） α + 1 t n + 1 d t 、 {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{\alpha +1}\,t^{n+1}}}\;dt,} 本質的な特異点を囲んではいない。
デリバティブ 一般化ラゲール多項式のべき級数表現を k 回 微分すると、d k d x k L n （ α ） （ x ） = { （ − 1 ） k L n − k （ α + k ） （ x ） もし k ≤ n 、 0 さもないと。 {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\begin{cases}(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)&{\text{if }}k\leq n,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
これは上記の式の特殊な場合（α = 0 ）を示しています。整数α = k L n （ k ） （ x ） = （ − 1 ） k d k L n + k （ x ） d x k 、 {\displaystyle L_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}{\frac {d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}}},} k だけシフトすると、導関数の通常の括弧表記と混同されることがある。
さらに、以下の等式が成り立つ。 1 k ! d k d x k x α L n （ α ） （ x ） = （ n + α k ） x α − k L n （ α − k ） （ x ） 、 {\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x),} これはコーシーの公式 で一般化され、 L n （ α ′ ） （ x ） = （ α ′ − α ） （ α ′ + n α ′ − α ） ∫ 0 x t α （ x − t ） α ′ − α − 1 x α ′ L n （ α ） （ t ） d t 。 {\displaystyle L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.}
第２変数α に関する導関数は次の形式をとる。[ 8 ] d d α L n （ α ） （ x ） = ∑ 私 = 0 n − 1 L 私 （ α ） （ x ） n − 私 。 {\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.} x L n （ α ） ′ ′ （ x ） + （ α + 1 − x ） L n （ α ） ′ （ x ） + n L n （ α ） （ x ） = 0 、 {\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0,} k 階導関数 が従う方程式と比較することができる。
x L n [ k ] ′ ′ （ x ） + （ k + 1 − x ） L n [ k ] ′ （ x ） + （ n − k ） L n [ k ] （ x ） = 0 、 {\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{[k]}(x)=0,} L n [ k ] （ x ） ≡ d k L n （ x ） d x k {\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}}
シュトゥルム・リウヴィル形式 では、微分方程式は次のようになる。
− （ x α + 1 e − x ⋅ L n （ α ） （ x ） ′ ） ′ = n ⋅ x α e − x ⋅ L n （ α ） （ x ） 、 {\displaystyle -\left(x^{\alpha +1}e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x)^{\prime }\right)'=n\cdot x^{\alpha }e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x),}
これは、L (α) n n の固有ベクトルであることを示している。
直交性 一般化されたラゲール多項式は、重み関数 x α e − x [ 0, ∞) 上で直交します : [ 9 ]
∫ 0 ∞ x α e − x L n （ α ） （ x ） L m （ α ） （ x ） d x = Γ （ n + α + 1 ） n ! δ n 、 m 、 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},}
これは以下から導かれる
∫ 0 ∞ x α ′ − 1 e − x L n （ α ） （ x ） d x = （ α − α ′ + n n ） Γ （ α ′ ） 。 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').}
もしΓ （ x 、 α + 1 、 1 ） {\displaystyle \Gamma (x,\alpha +1,1)} がガンマ分布 を表す場合、直交関係は次のように書ける。
∫ 0 ∞ L n （ α ） （ x ） L m （ α ） （ x ） Γ （ x 、 α + 1 、 1 ） d x = （ n + α n ） δ n 、 m 。 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\Gamma (x,\alpha +1,1)dx={n+\alpha \choose n}\delta _{n,m}.}
関連する対称カーネル多項式は、次の表現を持ちます（クリストッフェル・ダルブーの公式 ）。
K n （ α ） （ x 、 y ） := 1 Γ （ α + 1 ） ∑ 私 = 0 n L 私 （ α ） （ x ） L 私 （ α ） （ y ） （ α + 私 私 ） = 1 Γ （ α + 1 ） L n （ α ） （ x ） L n + 1 （ α ） （ y ） − L n + 1 （ α ） （ x ） L n （ α ） （ y ） x − y n + 1 （ n + α n ） = 1 Γ （ α + 1 ） ∑ 私 = 0 n x 私 私 ! L n − 私 （ α + 私 ） （ x ） L n − 私 （ α + 私 + 1 ） （ y ） （ α + n n ） （ n 私 ） ; {\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}
再帰的に
K n （ α ） （ x 、 y ） = y α + 1 K n − 1 （ α + 1 ） （ x 、 y ） + 1 Γ （ α + 1 ） L n （ α + 1 ） （ x ） L n （ α ） （ y ） （ α + n n ） 。 {\displaystyle K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}.}
さらに、
y α e − y K n （ α ） （ ⋅ 、 y ） → δ （ y − ⋅ ） 。 {\displaystyle y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\to \delta (y-\cdot ).}
トゥランの不等式は ここで導出できる。 L n （ α ） （ x ） 2 − L n − 1 （ α ） （ x ） L n + 1 （ α ） （ x ） = ∑ k = 0 n − 1 （ α + n − 1 n − k ） n （ n k ） L k （ α − 1 ） （ x ） 2 > 0. {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.}
水素原子 の量子力学的 取り扱いには、次の積分 が必要となる。
∫ 0 ∞ x α + 1 e − x [ L n （ α ） （ x ） ] 2 d x = （ n + α ） ! n ! （ 2 n + α + 1 ） 。 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}
シリーズ拡張 関数が（形式的な）級数展開を持つとする f （ x ） = ∑ 私 = 0 ∞ f 私 （ α ） L 私 （ α ） （ x ） 。 {\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).}
それから f 私 （ α ） = ∫ 0 ∞ L 私 （ α ） （ x ） （ 私 + α 私 ） ⋅ x α e − x Γ （ α + 1 ） ⋅ f （ x ） d x 。 {\displaystyle f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.}
級数が関連するヒルベルト空間 L 2 [0, ∞)で収束するのは、次の場合に限る。
‖ f ‖ L 2 2 := ∫ 0 ∞ x α e − x Γ （ α + 1 ） | f （ x ） | 2 d x = ∑ 私 = 0 ∞ （ 私 + α 私 ） | f 私 （ α ） | 2 < ∞ 。 {\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}:=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{i+\alpha \choose i}|f_{i}^{(\alpha )}|^{2}<\infty .}
拡張のその他の例 単項式 は次のように表されます x n n ! = ∑ 私 = 0 n （ − 1 ） 私 （ n + α n − 私 ） L 私 （ α ） （ x ） 、 {\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x),} 二項式は パラメーター化されている が（ n + x n ） = ∑ 私 = 0 n α 私 私 ! L n − 私 （ x + 私 ） （ α ） 。 {\displaystyle {n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).}
これは直接的に e − γ x = ∑ 私 = 0 ∞ γ 私 （ 1 + γ ） 私 + α + 1 L 私 （ α ） （ x ） 収束する ℜ （ γ ） > − 1 2 {\displaystyle e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad {\text{convergent iff }}\Re (\gamma )>-{\tfrac {1}{2}}} 不完全ガンマ関数 は次のように表現されます。 Γ （ α 、 x ） = x α e − x ∑ 私 = 0 ∞ L 私 （ α ） （ x ） 1 + 私 （ ℜ （ α ） > − 1 、 x > 0 ） 。 {\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).}
漸近解析
ベッセル関数の観点から メーラー・ハイネの公式は 次のように表される。
リム n → ∞ n − α L n （ α ） （ z 2 4 n ） = （ z 2 ） − α J α （ z ） 、 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {z^{2}}{4n}}\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z),} どこJ α {\displaystyle J_{\alpha }}
参照：[ 10 ]
乗法定理 エルデリーは 次の2つの乗法定理を示している [ 26 ]
t n + 1 + α e （ 1 − t ） z L n （ α ） （ z t ） = ∑ k = n ∞ （ k n ） （ 1 − 1 t ） k − n L k （ α ） （ z ） 、 e （ 1 − t ） z L n （ α ） （ z t ） = ∑ k = 0 ∞ （ 1 − t ） k z k k ! L n （ α + k ） （ z ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}
エルミート多項式との関係 一般化ラゲール多項式はエルミート多項式 と関連している。 H 2 n （ x ） = （ − 1 ） n 2 2 n n ! L n （ − 1 / 2 ） （ x 2 ） H 2 n + 1 （ x ） = （ − 1 ） n 2 2 n + 1 n ! x L n （ 1 / 2 ） （ x 2 ） {\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}} H n x )exp(− x 2 )に基づく エルミート多項式 であり、いわゆる「物理学者版」です。
このため、量子調和振動子 を扱う際には、一般化されたラゲール多項式が現れる。
加算の公式を適用すると、（ − 1 ） n 2 2 n n ! L n （ r 2 − 1 ） （ z 1 2 + ⋯ + z r 2 ） = ∑ m 1 + ⋯ + m r = n ∏ 私 = 1 r H 2 m 私 （ z 私 ） 。 {\displaystyle (-1)^{n}2^{2n}n!\,L_{n}^{\left({\frac {r}{2}}-1\right)}{\Bigl (}z_{1}^{2}+\cdots +z_{r}^{2}{\Bigr )}=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{r}=n}\prod _{i=1}^{r}H_{2m_{i}}(z_{i}).}
超幾何関数との関係 ラゲール多項式は、超幾何関数 、特に合流超幾何関数 を用いて次のよう に定義できる。L n （ α ） （ x ） = （ n + α n ） M （ − n 、 α + 1 、 x ） = （ α + 1 ） n n ! 1 F 1 （ − n 、 α + 1 、 x ） {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)} （ 1 ） n {\displaystyle (a)_{n}} これはポッホハンマー記号 （この場合は上昇階乗を表す）です。
物理学大会 一般化ラゲール多項式は、水素原子 軌道の量子波動関数を記述するために使用されます。[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]。
L n （ α ） （ x ） = Γ （ α + n + 1 ） Γ （ α + 1 ） n ! 1 F 1 （ − n ; α + 1 ; x ） 、 {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x),}
どこ1 F 1 （ 1 ; b ; x ） {\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b;x)} は合流型超幾何関数 である。物理学文献[ 34 ]
L ¯ n （ α ） （ x ） = [ Γ （ α + n + 1 ） ] 2 Γ （ α + 1 ） n ! 1 F 1 （ − n ; α + 1 ; x ） 。 {\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x).}
物理バージョンは標準バージョンと関連付けられています
L ¯ n （ α ） （ x ） = （ n + α ） ! L n （ α ） （ x ） 。 {\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(n+\alpha )!L_{n}^{(\alpha )}(x).}
物理学の文献には、あまり頻繁には使われていないものの、別の慣習も存在する[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]。
L ～ n （ α ） （ x ） = （ − 1 ） α L ¯ n − α （ α ） 。 {\displaystyle {\tilde {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{\alpha }{\bar {L}}_{n-\alpha }^{(\alpha )}.}
注記 ↑ N. ソニン (1880)。「円筒形の関数の研究と関数の開発はシリーズとして継続されます。 」数学。アン。 16 (1): 1–80 .土井 : 10.1007/BF01459227。S2CID 121602983。 ↑ A&S 781ページ ↑ A&S 509ページ ↑ A&S 510ページ ↑ A&S 775ページ 1 2 3 "DLMF: §18.16 零点 ‣ 古典的直交多項式 ‣ 第 18 章 直交多項式" . dlmf.nist.gov . ↑ "DLMF: §18.18 和 ‣ 古典的直交多項式 ‣ 第 18 章 直交多項式" . dlmf.nist.gov . 2025-03-18 に取得 . ↑ Koepf, Wolfram (1997). "直交多項式族と特殊関数の恒等式". Integral Transforms and Special Functions . 5 ( 1–2 ): 69–102 . CiteSeerX 10.1.1.298.7657 . doi : 10.1080/10652469708819127 . ↑ 「関連ラゲール多項式」 . 1 2 3 4 "DLMF: §18.15 漸近近似 ‣ 古典的直交多項式 ‣ 第 18 章 直交多項式" . dlmf.nist.gov . 2025-07-07 取得 . ↑ ペロン、オスカー (1921-01-01)。 「Über das Verhalten einer ausgearteten hypergeometrischen Reihe bei unbegrenztem Wachstum eines パラメータ」 (ドイツ語)。 1921 (151): 63–78 . doi : 10.1515/crll.1921.151.63 。 ISSN 1435-5345 。 1 2 セゲー、198頁。 ↑ Turán, Pál (1970)、 「Asymptotikus Értékek Meghatározásáról」 、 Leopold Fejér Gesammelte Arbeiten I (ドイツ語)、バーゼル: Birkhäuser Basel、pp. 445–503 、 doi : 10.1007/978-3-0348-5902-8_31 、 ISBN 978-3-0348-5903-5 2025年7月7日 取得↑ D. Borwein、JM Borwein、RE Crandall、「有効ラゲール漸近解析」、 SIAM J. Numer. Anal. 、第46巻（2008年）、第6号、3285～3312ページ、 doi : 10.1137/07068031X ↑ セゲー、200～201頁 1 2 Driver, K.; Jordaan, K. (2013 年 1 月). "いくつかの古典的な直交多項式および q 直交多項式の極値零点に関する不等式" . Mathematical Modelling of Natural Phenomena . 8 (1): 48– 59. doi : 10.1051/mmnp/20138103 . ISSN 0973-5348 . 1 2 3 Gatteschi, Luigi (2002-07-01). "ラゲール多項式の零点の漸近挙動と境界: 概説" . Journal of Computational and Applied Mathematics . Selected papers of the Int. Symp. on Applied Mathematics, August 2000, Dalian, China. 144 (1): 7– 27. doi : 10.1016/S0377-0427(01)00549-0 . ISSN 0377-0427 . ↑ Dimitrov, Dimitar K.; Rafaeli, Fernando R. (2009-12-01). "ラゲール多項式の零点の単調性" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 9th OPSFA Conference. 233 (3): 699– 702. doi : 10.1016/j.cam.2009.02.038 . ISSN 0377-0427 . ↑ （ セゲー 1975 、第6.21節 古典的多項式の零点に関する不等式） ↑ Marcellán, F.; Martínez-Finkelshtein, A.; Martínez-González, P. (2007-10-15). "多項式の零点の静電モデル：古い問題、新しい問題、およびいくつかの未解決問題" . Journal of Computational and Applied Mathematics . Proceedings of The Conference in Honour of Dr. Nico Temme on the Occasion of his 65th birthday. 207 (2): 258– 272. arXiv : math/0512293 . doi : 10.1016/j.cam.2006.10.020 . ISSN 0377-0427 . ↑ （ Szegő 1975 、第6.7節「古典的多項式の零点の静電的解釈」） 1 2 Gupta, Dharma P.; Muldoon, Martin E. (2007). "ラゲール多項式とその類似の最小零点に関する不等式" . JIPAM. Journal of Inequalities in Pure & Applied Mathematics [電子版のみ] . 8 (1): Paper No. 24, 7 p., electronic only–Paper No. 24, 7 p., electronic only. ISSN 1443-5756 . ↑ Gawronski, Wolfgang (1987-07-01). "エルミート、ラゲール、ジョンキエール多項式の零点の漸近分布について" . Journal of Approximation Theory . 50 (3): 214– 231. doi : 10.1016/0021-9045(87)90020-7 . ISSN 0021-9045 . ↑ Ratner、Schatz、Mark A.、George C. (2001). Quantum Mechanics in Chemistry . 0-13-895491-7: Prentice Hall. pp. 90–91 . {{cite book}}: CS1 maint: location (リンク) CS1 maint: multiple names: authors list (リンク)↑ Jong, Mathijs de; Seijo, Luis; Meijerink, Andries; Rabouw, Freddy T. (2015-06-24). "ストークスシフトとHuang–Rhysパラメータの関係における曖昧さの解消" . Physical Chemistry Chemical Physics . 17 (26): 16959– 16969. Bibcode : 2015PCCP...1716959D . doi : 10.1039/C5CP02093J . hdl : 1874/321453 . ISSN 1463-9084 . PMID 26062123 . S2CID 34490576 . ↑ C. Truesdell、「特殊関数の加法定理と乗法定理について」、米国科学アカデミー紀要、数学 、（1950）pp. 752–757。 ↑ セゲー、102ページ。 ↑ Al-Salam, WA (1964-03-01). "ラゲール多項式およびその他の多項式の演算表現" . Duke Mathematical Journal . 31 (1). doi : 10.1215/S0012-7094-64-03113-8 . ISSN 0012-7094 . ↑ Szegő、102 ページ、式 (5.1.16) ↑ GH Hardy、「ラゲール多項式の級数の総和」、J. London Math. Soc.、v. 7、1932、pp. 138–139、補遺、192。 ↑ E. Hille、「ラゲールの級数について。I、II、III」、米国科学アカデミー紀要、第12巻、1926年、261～269頁、348～352頁。 ↑ グリフィス、デイビッド・J. (2005). 量子力学入門 （第2 版）. アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：ピアソン・プレンティス・ホール. ISBN 0131118927 。↑ 櫻井、JJ (2011). 現代量子力学 （第2 版）. ボストン：アディソン・ウェスリー. ISBN 978-0805382914 。1 2 メルツバッハー、オイゲン（1998）。 量子力学 （第3 版）。ニューヨーク：ワイリー 。ISBN 0471887021 。↑ アブラモウィッツ、ミルトン（1965）。 数学関数ハンドブック、公式、グラフ、および数表付き 。ニューヨーク：ドーバー出版 。ISBN 978-0-486-61272-0 。↑ シフ、レナード・I. (1968). 量子力学 （第3 版）. ニューヨーク：マグロウヒル. ISBN 0070856435 。↑ メサイア、アルバート (2014). 量子力学 . ドーバー出版. ISBN 9780486784557 。↑ ボアス、メアリー L. (2006). 物理科学における数学的方法 （第3 版）. ホーボーケン、ニュージャージー州：ワイリー. ISBN 9780471198260 。↑ Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D; Odlyzko, A (1973-06-01). "組合せ論の基礎について。VIII. 有限作用素計算" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 684– 760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . ISSN 0022-247X .
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![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose nj}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(ni){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(ni){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e449381aff6f2b593def172ab03c17cb1bb57dfb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}(-1)^{j}L_{nj}^{(\alpha +k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}\\{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose ki}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(nx)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(nx)L_{n}^{(\alpha )}(x);\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff755ad59b503998c9e8898cb25b5ff1545520d7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc32e1d35979f9126c29a1b4fe1d3ae723d4641d)
![{\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(nk)L_{n}^{[k]}(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d6805dbdf16f74423e00fc23ca5ea675eabd49)
![{\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94adaf2e2b6fca61a722420bcb1a66576e10593a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {xy}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{ni}^{(\alpha +i)}(x)L_{ni}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbc06de0ef9a87d70e951a09cacec0b7da13396)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb8646b87b220d879aec2c64ff9e7e15228b32a)
![{\displaystyle [c,d]\subset (0,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2eb822f2680f5956a7471a6da7ab5d972fc2a4)
![{\displaystyle x\in [c,d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef10ac7d23aac26f4cb71a2ad9745f574ca5af1)
![{\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{n}(\pi \sin \varphi )^{-1/2}x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}{\big \{}\sin \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(\sin 2\varphi -2\varphi )+3\pi /4\right]+(nx)^{-1/2}{\mathcal {O}}(1){\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6119fe41d5a8158dcb3367e17825744761b19b35)
![{\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n}(\pi \sinh \varphi )^{-1/2}x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}\exp \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(2\varphi -\sinh 2\varphi )\right]\{1+{\mathcal {O}}\left(n^{-1}\right)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b07b923bd08a7f942ce6fec0e9faf5456ab485)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nu x_{k}&>j_{\alpha ,k}^{2}\\x_{k}&<{\frac {j_{\alpha ,k}^{2}}{\nu /2+{\sqrt {(\nu /2)^{2}-j_{\alpha ,k}^{2}}}}\quad {\text{ if }}\nu /2>j_{\alpha ,k}\\x_{k}&<\left[\nu ^{1/2}+2^{-1/3}\nu ^{-1/6}a_{n-k+1}\right]^{2}\quad {\text{ if }}|\alpha |\geqslant 1/4\\x_{k}&<\nu +2^{\frac {2}{3}}a_{k}\nu ^{\frac {1}{3}}+2^{-{\frac {2}{3}}}a_{k}^{2}\nu ^{-{\frac {1}{3}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df05e92ba86c7f3bcaf2af44d0eb81245065116d)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(4nt)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{t}{\sqrt {\frac {1-s}{s}}}ds\quad \forall t\in (0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc96768dcdede1c3671f6c52df5b2029ba7407b4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{kn}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419e3fd18bf2b0ef484d747b9670be1f38888684)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015273f34e288fc1847a90dd793e433e9dbb23d0)
![{\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x)。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bfdcde9315fd8f61b7556fb8b93652a9ba59f2)
