ローレンツスカラー

特殊相対性理論では、 4次元時空における粒子の位置は次のように表される。 $${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t}$は、基準イベントに対する粒子の3次元空間における位置です。${\displaystyle \mathbf {v} }$は3次元空間における速度であり、${\displaystyle c}$は光の速度です。

ベクトルの「長さ」はローレンツスカラーであり、次のように表される。 $${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2},}$$ どこ$\displaystyle \tau }$は粒子の静止系における時計で測定された固有時間であり、ミンコフスキー計量は次のように与えられる。 $${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}。$$ これは時間的な指標です。

ミンコフスキー計量は、全体の符号が反転した形で示されること が多い。$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}。$$ これは空間的な尺度である。

ミンコフスキー計量では、空間のような間隔${\displaystyle s}$は次のように定義される。 $${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.}$$

本稿の残りの部分では、空間的なミンコフスキー計量を用いる。

時空における速度は次のように定義される。 $${\displaystyle v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right),}$$ どこ $${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.}$$

4元速度の大きさはローレンツスカラーであり、 $${\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.}$$

したがって、${\displaystyle c}$はローレンツスカラーです。

4次加速度は次のように与えられる。 $${\displaystyle a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.}$$

4次元加速度は常に4次元速度に垂直である $${\displaystyle 0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.}$$

したがって、時空における加速度は、4元速度の回転とみなすことができる。加速度と速度の内積はローレンツスカラーであり、ゼロとなる。この回転は、エネルギー保存則の表現に他ならない。 $${\displaystyle {dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$$ どこ${\displaystyle E}$は粒子のエネルギーであり、${\displaystyle \mathbf {F} }$これは粒子に作用する3次元力です。

4次元速度を持つ2番目の粒子を考える${\displaystyle u}$そして3つの速度$\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$2番目の粒子の静止系では、内積は${\displaystyle u}$と${\displaystyle p}$最初の粒子のエネルギーに比例する $${\displaystyle p_{\mu }u^{\mu }=-E_{1}}$$ ここで、添え字1は最初の粒子を示す。

この関係は第二粒子の静止系において成り立つため、どの参照系においても成り立つ。${\displaystyle E_{1}}$、第２粒子の座標系における第１粒子のエネルギーは、ローレンツスカラーである。したがって、 $${\displaystyle E_{1}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}}$$ 任意の慣性参照系において、${\displaystyle E_{1}}$これは依然として、2番目の粒子の座標系における最初の粒子のエネルギーである。

粒子の静止系では、運動量の内積は $${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,.}$$

したがって、静止質量 ( m ) はローレンツスカラーです。この関係は、内積を計算するフレームに関係なく成り立ちます。多くの場合、静止質量は次のように表されます。${\displaystyle m_{0}}$相対論的質量との混同を避けるため、$\displaystyle \gamma m_{0}}$。

ご了承ください $${\displaystyle \left({\frac {p_{\mu }u^{\mu }}{c}}\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}.}$$

第二の粒子の座標系で測定された粒子の3元運動量の大きさの二乗は、ローレンツスカラーである。

第二粒子の座標系における3速度は、2つのローレンツスカラーから構成することができる。 $${\displaystyle v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={\frac {\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}{E_{1}^{2}}}c^{4}.}$$