波束

物理学では、波束（波列または波群とも呼ばれる）は、エンベロープで囲まれた単位として伝搬する局所的な波動の短いバーストです。波束は、位相と振幅が異なる異なる波数を持つ潜在的に無限の正弦波成分の集合に分析するか、または合成することができます。これらの成分は、空間の小さな領域でのみ建設的に干渉し、それ以外の場所では破壊的に干渉します。^{[ 1 ]}時間または空間で限られた幅の信号は、その幅に反比例する帯域幅内で中心周波数の周りに多くの周波数成分を必要とします。ガウス関数でさえ、そのフーリエ変換が中心周波数の周りに集中した周波数の波の「パケット」であるため、波束とみなされます。 ^{[ 2 ]}各成分波動関数、したがって波束は、波動方程式の解です。波動方程式によっては、波束のプロファイルは伝搬中に一定のまま（分散なし）になる場合もあれば、変化する（分散あり）場合もあります。

波束に関連する概念（変調、搬送波、位相速度、群速度）は1800年代半ばに遡ります。波の位相速度とは異なる群速度の概念は、 1839年にWRハミルトンによって初めて提唱され、最初の本格的な扱いは、 1877年にレイリーが著書「音の理論」の中で行いました。 ^{[ 3 ]}

エルヴィン・シュレーディンガーは、有名な波動方程式を発表した直後に波束の概念を導入した。^{[ 4 ]}彼は量子調和振動子に対する波動方程式を解き、重ね合わせの原理を導入し、それを用いてコンパクトな状態が持続できることを示した。この研究はコヒーレント状態という重要な概念を生み出したものの、波束の概念は定着しなかった。シュレーディンガーの論文の翌年、ヴェルナー・ハイゼンベルクは不確定性原理に関する論文を発表し、その過程で、シュレーディンガーの結果は量子調和振動子にのみ適用され、例えば原子に特徴的なクーロンポテンシャルには適用されないことを示した。^{[ 4 ]： 829}

翌年の1927年、チャールズ・ゴルトン・ダーウィンは、自由空間における束縛されていない電子に対するシュレーディンガー方程式を、初期ガウス波束を仮定して検討した。^{[ 5 ]}ダーウィンは、時刻において、${\displaystyle t}$その後、そのポジション${\displaystyle x}$速度で移動するパケット${\displaystyle v}$だろう

$${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}$$

どこ${\displaystyle \sigma }$これは初期位置の不確実性です。

その後1927年にポール・エーレンフェストは、時間、${\displaystyle T}$幅の物質波束${\displaystyle \Delta x}$そして大量${\displaystyle m}$2倍に広がることは${\textstyle T\approx m{\Delta x}^{2}/\hbar }$。 以来${\displaystyle \hbar }$非常に小さいため、マクロな物体のスケールでは、幅と質量が大きい波束は、宇宙の時間スケールでのみ2倍になる。^{[ 6 ]： 49}

量子力学は、シュレーディンガーの波動方程式を用いて原子および亜原子系の性質を記述する。量子力学の古典極限および量子散乱の多くの定式化では、この方程式の様々な解から形成される波束が用いられる。量子波束の形状は伝播中に変化し、分散を示す。物理学者たちは、「波束は亜原子粒子の表現としては不十分である」と結論づけている。^{[ 4 ]： 829}

上記の分散ガウス波束は、正規化されておらず、原点を中心としていますが、t = 0 では、標準単位で 3D で次のように記述できます。^{[ 14 ] [ 15 ]}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},}$$フーリエ変換は波数kベクトル に関してもガウス関数であり、 $${\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.}$$ aとその逆数は不確定性関係に従う$${\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,}$$ そのため $${\displaystyle a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2},}$$は波束の幅の二乗 とみなすことができ、その逆数は次のように表される。 $${\displaystyle 1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2}.}$$

個々の波は時間的に位相回転するだけであり、時間依存のフーリエ変換解は次のようになる。

逆フーリエ変換は依然としてガウス関数ですが、パラメータa が複素数になり、全体的な正規化係数が存在します。

Ψの全空間にわたる積分は不変です。なぜなら、それはΨとゼロエネルギーの状態との内積であり、ゼロエネルギーの状態は無限波長の波であり、空間の定数関数だからです。任意のエネルギー固有状態η ( x )に対して、内積は、 $${\displaystyle \langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}$$ηは時間とともに単純な方法で変化する。すなわち、 η のエネルギーによって決まる周波数で位相が回転する。ηのエネルギーがゼロの場合、例えば無限波長の波のように、ηは全く変化しない。

特定の${\displaystyle t}$波動関数の位相は位置によって変化する。${\displaystyle {\frac {\hbar t/m}{2(a^{2}+(\hbar t/m)^{2})}}\|\mathbf {r} \|^{2}}$位置に対して2乗に比例して変化するため、線形位相係数による乗算とは異なる。${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$波束に一定の運動量を与える場合と同様です。一般に、ガウス波束の位相には線形項と二次項の両方があります。二次項の係数は、から増加し始めます。${\displaystyle -\infty }$に向かって${\displaystyle 0}$ガウス波束が鋭くなるにつれて、最大鋭さの瞬間には、波動関数の位相は位置に対して線形に変化します。すると、二次項の係数は増加し、${\displaystyle 0}$に向かって${\displaystyle +\infty }$ガウス波束が再び広がるにつれて。

積分∫ |Ψ| ² d ³ rも不変であり、これは確率保存の法則を表している。^{[ 16 ]}具体的には、 $${\displaystyle P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},}$$ ここで、 rは原点からの距離、粒子の速度はゼロ、幅は次式で与えられる。 $${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}},}$$ これは、（任意に選択された）時刻t = 0では√ aであり、最終的にはħt /( m √ a )のように時間とともに線形に増加し、波束の広がりを示している。^{[ 17 ]}

例えば、電子波束が最初に原子サイズの領域（つまり10 ⁻¹⁰ m）に局在している場合、波束の幅は約10 ⁻¹⁶秒で 2 倍になります。明らかに、粒子波束は実際に非常に速く広がります (自由空間で): ^{[ 18 ]}例えば、1 ms 後には、幅は約 1 キロメートルにまで成長します。

この線形成長は、（時間不変の）運動量の不確定性を反映しています。波束は狭いΔ x = √ a /2に閉じ込められているため、運動量は（不確定性原理に従って）ħ / √ 2 aだけ不確定であり、速度のばらつきはħ/m √ 2 aであり、したがって将来の位置はħt /m √ 2 aだけ不確定です。不確定性関係は、飽和とは程遠い、厳密な不等式になります。初期の不確定性Δ x Δ p = ħ /2は、（ tが大きい場合） ħt/ma倍に増加しました。

2Dケース

ガウス型の2次元量子波動関数：

${\displaystyle \psi (x,y,t)=\psi (x,t)\psi (y,t)}$

${\displaystyle \psi (x,t)=\left({\frac {2a^{2}}{\pi }}\right)^{1/4}{\frac {e^{i\phi }}{\left(a^{4}+{\frac {4\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}}\right)^{1/4}}}e^{ik_{0}x}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t\right)^{2}}{a^{2}+{\frac {2i\hbar t}{m}}}}\right]}$

^[ 19 ^]​

${\displaystyle \phi =-\theta -{\frac {\hbar k_{0}^{2}}{2m}}t}$

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\hbar t}{ma^{2}}}}$

一定の群速度で移動し、常に分散する上記のガウス波束とは対照的に、エンベロープ分散なしに自由に伝播し、形状を維持し、自由空間で加速するエアリー関数に基づく波動関数が存在する。^{[ 20 ]}$${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} \left[{\frac {B}{\hbar ^{2/3}}}\left(x-{\frac {B^{3}t^{2}}{4m^{2}}}\right)\right]e^{(iB^{3}t/2m\hbar )[x-(B^{3}t^{2}/6m^{2})]},}$$ ここで、簡略化（および無次元化）のために、ħ = 1、m = 1/2、Bを任意の定数とすると、 $${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} [B(x-B^{3}t^{2})]\,e^{iB^{3}t(x-{\tfrac {2}{3}}B^{3}t^{2})}\,.}$$

この力のない状況では、エーレンフェストの定理との矛盾は生じない。なぜなら、この状態は正規化不可能であり、かつすべての時刻において⟨x⟩が定義されない（無限大となる）からである。（定義可能とすれば、波面の見かけ上の加速にもかかわらず、 ⟨p⟩はすべての時刻において0となる。）

エアリー波列は、1次元自由空間における唯一の無分散波である。^{[ 21 ]}高次元では、他の無分散波も可能である。^{[ 22 ]}

位相空間では、これはこの波列の純粋状態ウィグナー準確率分布に明らかであり、その形状はxとpに関して時間経過とともに不変であるが、特徴は右方向に加速し、加速放物線となる。ウィグナー関数は以下を満たす。$${\displaystyle {\begin{aligned}W(x,p;t)&=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)\\&={\frac {1}{2^{1/3}\pi B}}\,\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(B(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2})^{2}\right)\right)\\&=W(x-2pt,p;0).\end{aligned}}}$$これら3つの等式は、3つの事実を示している。

1. 時間発展は位相空間における並進に相当する。${\displaystyle (B^{3}t^{2},B^{3}t)}$。
2. ウィグナー関数の等高線は放物線の形をしている。${\textstyle B\left(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2}\right)^{2}=C}$。
3. 時間発展は位相空間に沿ったせん断に相当する。${\displaystyle x}$速度での方向${\displaystyle p/m=2p}$。

すべてのxについて積分して得られる運動量分布は一定であることに注意してください。これは運動量空間における確率密度であるため、波動関数自体は正規化できないことは明らかです。

議論されているガウス波束解の狭幅極限は、自由伝播カーネルKです。他の微分方程式では、これは通常グリーン関数と呼ばれますが、^{[ 23 ]}量子力学では、 Kの時間フーリエ変換にグリーン関数という名前を留保するのが慣例となっています。

簡略化のために一次元に戻り、mとħを1に設定し、aが微小量εである場合、ガウスの初期条件をその積分が1になるように再スケーリングすると、 $${\displaystyle \psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon }}\,}$$デルタ関数δ ( x ) となり、その時間発展は、 $${\displaystyle K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2(it+\varepsilon )}\,}$$ 伝播子を生成する。

非常に狭い初期波束が瞬時に無限に広くなることに注意してください。ただし、位相はxの値が大きいほど急速に振動します。これは奇妙に思えるかもしれません。解が一点に局在していた状態から、それ以降のすべての時間で「あらゆる場所」に現れるようになるからです。しかし、これは、上で説明したように、局在粒子の運動量の不確定性が極めて大きいことを反映したものです。

さらに、波動関数のノルムは無限大であることに注意すべきである。デルタ関数の二乗も同様に発散するため、これも正しい。

εを含む係数は、 Kに関する積分が適切に定義されるようにするための微小量です。ε → 0の極限では、Kは純粋に振動的になり、Kの積分は絶対収束しません。このセクションの残りの部分では、ε をゼロに設定しますが、中間状態に関するすべての積分が適切に定義されるようにするには、最終状態が計算された後にのみε → 0 の極限を取る必要があります。

プロパゲーターは、原点x = 0 から出発して時刻tに点xに到達する振幅です。並進不変性により、点yから出発して点xに到達する振幅は、同じ関数ですが、今回は並進されています。 $${\displaystyle K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.}$$

tが小さい極限では、プロパゲーターはデルタ関数になる。 $${\displaystyle \lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,}$$ただし、分布 の意味においてのみ：この量の積分に任意の微分可能なテスト関数を掛けたものは、テスト関数のゼロにおける値を与える。

これを確認するには、 Kの全空間における積分が常に 1 に等しいことに注目してください。 $${\displaystyle \int K_{t}(x)dx=1\,,}$$この積分はKと一様波動関数 の内積であるため、指数部の位相因子は原点以外では空間微分がゼロではないため、時間が小さいときは一点を除いて位相が急速に相殺されます。これは、最後に極限ε → 0 を取ると厳密に成り立ちます。

つまり、伝播カーネルはデルタ関数の（将来の）時間発展であり、ある意味で連続的です。つまり、小さな時間では初期デルタ関数に戻ります。初期波動関数が位置yで無限に狭いスパイクである場合、 $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,}$$ それは振動波となり、 $${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.}$$

さて、すべての関数はこのような狭いスパイクの重み付き和として記述できるので、 $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,}$$すべての関数ψ ₀ の時間発展は、この伝播カーネルKによって決定されます。

したがって、これは基本解または一般解を表現する形式的な方法です。この式の解釈は、時刻tで点xにある粒子の振幅は、粒子がyで開始したときの振幅と、 yからxまで移動したときの振幅の積であり、すべての可能な開始点について合計した値であるということです。言い換えれば、これはカーネルKと任意の初期条件ψ ₀の畳み込みです。 $${\displaystyle \psi _{t}=K*\psi _{0}\,.}$$

時間t + t ' 後にxからyへ移動する振幅は2 つのステップで考えることができるため、プロパゲーターは合成恒等式に従います。 $${\displaystyle \int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,}$$これは次のように解釈できます。時間t + t ' でxからzへ 移動する振幅は、時間tでxからyへ移動する振幅と、時間t ' でyからzへ移動する振幅を掛け合わせたものを、すべての可能な中間状態 yについて合計したものです。これは任意の量子システムの性質であり、時間を多くのセグメントに分割することで、時間発展を経路積分として表現することができます。^{[ 24 ]}

量子力学における波束の広がりは、拡散における確率密度の広がりと直接関係している。ランダムに歩く粒子の場合、確率密度関数は拡散方程式を満たす^{[ 25 ]。}$${\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ,}$$ ここで、時間または空間のスケーリングを変更することで除去できる係数2は、便宜上のみ用いられている。

この方程式の解は、時間変化するガウス関数である。$${\displaystyle \rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t},}$$これは熱核 の一種です_。ρtの積分は一定ですが、幅は小さな時間で狭くなるため、この関数はt = 0 でデルタ関数に近づきます。 $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)}$$ これも分布の意味でのみなので、 $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)}$$任意のテスト関数f に対して。

時間変動ガウス関数は拡散方程式の伝播カーネルであり、畳み込み恒等式を満たします。 $${\displaystyle K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,}$$ これにより、拡散を経路積分として表現することが可能になります。プロパゲーターは演算子Hの指数関数です。 $${\displaystyle K_{t}(x)=e^{-tH}\,,}$$ これは微小拡散演算子であり、 $${\displaystyle H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.}$$

行列には2つの添え字があり、連続空間ではxとx 'の関数となります。この場合、並進不変性により、行列要素Kは位置の差のみに依存し、演算子、行列要素、および差の関数を同じ名前で呼ぶことは、 表記上の都合の良い誤用と言えます。$${\displaystyle K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.}$$

並進不変性とは、連続行列乗算、 $${\displaystyle C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,}$$ 本質的には畳み込みであり、 $${\displaystyle C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.}$$

指数関数は、伝播カーネル上の積分が収束する限り、複素数値を含む tの範囲で定義できます。$${\displaystyle K_{z}(x)=e^{-zH}\,.}$$z の実部が正である限り、 xの値が大きい場合、Kは指数関数的に減少し、Kに関する積分は確かに絶対収束します。

zが純虚軸に近づくときの この式の極限は、上記のシュレーディンガー伝播関数である。$${\displaystyle K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon }=e^{-(it+\varepsilon )H}\,,}$$ これは、上記のガウス分布の時間的変化を示しています。

指数法則、または経路積分の基本的な恒等式から、 $${\displaystyle K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,}$$これは、積分が絶対収束し、演算子が適切に定義されるすべての複素数z値 に対して成り立つ。

したがって、複素拡散カーネルKであるガウス分布の量子進化は、 $${\displaystyle \psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,}$$ 時間とともに変化する状態に相当する。 $${\displaystyle \psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.}$$

これは、上記の複素ガウス解の拡散形式を示しています。 $${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.}$$

• コーエン・タンヌージ、クロード。ディウ、バーナード。フランク・ラロエ（2019）。量子力学、第 1 巻。ワインハイム、ドイツ：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 978-3-527-34553-3。
• ジャクソン、ジョン・デイビッド（1998）。古典電磁気学。ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 978-0-471-30932-1。
• コズドロン、マイケル J. (2008). 「ブラウン運動と熱方程式」(PDF) .レジャイナ大学. 2024年10月29日取得.

• ウィキバーシティにある波束運動に関する学習教材
• Wiktionaryにおける波束の辞書定義
• Googleマップの1次元波束プロット
• Googleマップ上の1次元波列と確率密度プロット
• Google の 2 次元波束プロット
• Googleマップの2D波列プロット
• Googleの2次元確率密度プロット
• 量子物理学オンライン ：自由波束のインタラクティブシミュレーション
• Web-Schrödinger：対話型2次元波束ダイナミクスシミュレーション
• 2次元における波束のシミュレーション（2次元フーリエ合成による）