区別できない粒子

以下は、量子力学の数学的定式化に関する記事で展開された形式論を用いて、上記の議論を具体的に示す例である。

n を、単一粒子の状態を指定するための（離散的な）量子数の完全な集合とします（例えば、箱の中の粒子問題では、nを波動関数の量子化された波数ベクトルとします）。簡単のため、互いに相互作用しない 2 つの粒子からなる系を考えます。一方の粒子が状態n ₁にあり、もう一方の粒子が状態n ₂にあるとします。系の量子状態は次の式で表されます。

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$

テンソル積の順序が重要な場合（${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$すると、粒子1は状態n2を占有し、粒子2は状態n1を占有する。これは_、テンソル積空間の基底を構築する標準的な方法である_。${\displaystyle H\otimes H}$個々の空間からの結合システムの。この表現は識別可能な粒子には有効ですが、識別不可能な粒子には適していません。${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$そして${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$交換の結果、粒子は一般的に異なる状態になる。

• 「粒子1はn1_の状態を占め、粒子2はn2_の状態を占める」≠「粒子1はn2_の状態を占め、粒子2はn1_の状態を占める」。

2 つの状態は、最大で複素位相因子だけ異なる場合にのみ物理的に等価である。区別できない 2 つの粒子の場合、粒子交換前の状態は交換後の状態と物理的に等価でなければならないので、これら 2 つの状態は最大で複素位相因子だけ異なる。この事実から、区別できない (かつ相互作用しない) 2 つの粒子の状態は、次の 2 つの可能性によって与えられることが示唆される。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

和となる状態は対称状態と呼ばれ、差となる状態は反対称状態と呼ばれる。より正確には、対称状態は次の形式をとる。

${\displaystyle |n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

反対称状態は、

${\displaystyle |n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

n ₁とn ₂が同じ場合、反対称式はゼロになり、正規化できないため状態ベクトルにはなり得ません。言い換えれば、複数の同一粒子が反対称状態を占めることはできません（1つの反対称状態は1つの粒子しか占めることができません）。これはパウリの排他原理として知られており、原子の化学的性質と物質の安定性の根本的な理由となっています。

対称状態と反対称状態の重要性は、究極的には経験的証拠に基づいています。同一の粒子が混合対称状態、例えば、

${\displaystyle |n_{1},n_{2};?\rangle ={\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +i|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

実際にはこの規則には例外があり、それについては後ほど説明します。一方、対称状態と反対称状態はある意味で特別であり、交換対称性として知られる多粒子状態の特定の対称性を調べることで示すことができます。

交換演算子と呼ばれる線形演算子Pを定義します。この演算子が 2 つの状態ベクトルのテンソル積に作用すると、状態ベクトルの値が交換されます。

${\displaystyle P{\bigg (}|\psi \rangle |\phi \rangle {\bigg )}\equiv |\phi \rangle |\psi \rangle }$

Pはエルミート行列かつユニタリー行列である。ユニタリー行列であるため、対称性演算子とみなすことができる。この対称性は、粒子（すなわち、単粒子ヒルベルト空間）に付加されたラベルの交換に関する対称性として記述できる。

明らかに、${\displaystyle P^{2}=1}$（恒等演算子）なので、Pの固有値は+1と-1です。対応する固有ベクトルは、対称状態と反対称状態です。

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};S\rangle =+|n_{1},n_{2};S\rangle }$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle }$

言い換えれば、対称状態と反対称状態は、粒子ラベルの交換によって本質的に変化しない。ヒルベルト空間内の別の場所に「回転」するのではなく、単に+1または-1の係数が乗算されるだけである。これは、粒子ラベルには物理的な意味がないことを示しており、先に述べた不可弁別性に関する議論と一致する。

Pはエルミート行列であるため、システムの観測量とみなすことができ、測定を行うことで状態が対称か反対称かを調べることができます。さらに、粒子の等価性から、ハミルトニアンは次のような対称形式で記述できます。

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_{2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})}$

このようなハミルトニアンが交換関係を満たすことを示すことができる。

${\displaystyle \left[P,H\right]=0}$

ハイゼンベルク方程式によれば、これはPの値が運動の保存量であることを意味します。量子状態が初期に対称（反対称）であれば、システムが進化しても対称（反対称）のままです。数学的には、これは状態ベクトルがPの2つの固有空間のうちの1つに限定され、ヒルベルト空間全体を移動できないことを意味します。したがって、その固有空間はシステムの実際のヒルベルト空間として扱うことができます。これがフォック空間の定義の背後にある考え方です。

対称性または反対称性の選択は、粒子の種類によって決まります。例えば、光子やヘリウム4原子を記述する際には常に対称状態を使用し、電子や陽子を記述する際には反対称状態を使用する必要があります。

対称状態を示す粒子はボソンと呼ばれる。対称状態の性質は、多数の同一のボソンから構成される系の統計的性質に重要な影響を与える。これらの統計的性質は、ボーズ＝アインシュタイン統計として記述される。

反対称状態を示す粒子はフェルミオンと呼ばれる。反対称性はパウリの排他原理を生み出し、同一のフェルミオンが同じ量子状態を共有することを禁じる。多数の同一フェルミオンからなる系は、フェルミ・ディラック統計によって記述される。

パラ統計学は数学的には可能であるが、自然界には例が存在しない。^{[ 6 ]}

特定の二次元系では、混合対称性が生じることがあります。これらの特異な粒子はエニオンと呼ばれ、分数統計に従います。エニオンの存在を示す実験的証拠は、 MOSFETの反転層を形成する二次元電子ガスで観測される現象である分数量子ホール効果に見られます。また、プレクトンと呼ばれる粒子に関連付けられた、ブレイド統計と呼ばれる別のタイプの統計もあります。

スピン統計定理は、同一粒子の交換対称性とスピンの関係を示す定理である。この定理によれば、ボソンは整数スピンを持ち、フェルミオンは半整数スピンを持つ。アニオンは分数スピンを持つ。

上記の議論は、 N個の粒子の場合にも容易に一般化できる。量子数n ₁、n ₂、...、n _Nを持つN個の粒子があると仮定する。粒子がボソンである場合、それらは完全に対称な状態を占め、任意の2つの粒子ラベルの交換に対して対称である。

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle ={\sqrt {\frac {1}{N!\prod _{n}m_{n}!}}}\sum _{p}\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle }$

ここで、和はN個の要素に作用する置換pの下でのすべての異なる状態について取られます。和の左にある平方根は正規化定数です。量m _nは、 N個の粒子の状態に各単粒子状態nが現れる回数を表します。Σ n m n = Nであることに_注意してください。

同様に、フェルミオンは完全に反対称な状態を占める。

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatorname {sgn} (p)\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle \ }$

ここで、sgn( p )は各順列の符号です（つまり${\displaystyle +1}$もし${\displaystyle p}$偶数個の転置から構成され、${\displaystyle -1}$奇数の場合）。${\displaystyle \Pi _{n}m_{n}}$なぜなら、各単粒子状態はフェルミオン状態において一度しか出現できないからである。そうでなければ、反対称性により和は再びゼロとなり、物理的にあり得ない状態を表すことになる。これが多粒子におけるパウリの排他原理である。

これらの状態は、

${\displaystyle \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.}$

対称状態（反対称状態）にあるN個のボソン（フェルミオン）の系があると仮定します。

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle }$

そして、別の離散観測量の集合mに対して測定が行われます。一般に、これにより、ある粒子に対してm _{1という結果、別の粒子に対して}m ₂という結果などが得られます。粒子がボソン（フェルミオン）である場合、測定後の状態は対称（反対称）のままでなければなりません。つまり、

${\displaystyle |m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangle }$

m回目の測定で特定の結果が得られる確率は

${\displaystyle P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big |}\left\langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}}$

次のように証明できる。

${\displaystyle \sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N})=1}$

これは、合計確率が 1 であることを検証します。各多粒子状態が複数回カウントされないように、合計はm ₁、 ...、m _Nの順序付けられた値に制限する必要があります。

これまでの議論では、離散的な観測量のみを取り上げてきました。これを、位置xのような連続的な観測量に拡張することができます。 

連続観測量の固有状態は、離散観測量のように単一の値ではなく、観測量の値の微小範囲を表すことを思い出してください。たとえば、粒子が状態 | ψ ⟩ にある場合、ある位置xを囲む体積d ³ xの領域で粒子を見つける確率は次のようになります。

${\displaystyle |\langle x|\psi \rangle |^{2}\;d^{3}x}$

その結果、連続固有状態| x⟩は、1ではなくデルタ関数で正規化される。

${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta ^{3}(x-x')}$

対称および反対称多粒子状態は、以前と同様の方法で連続固有状態から構築できます。ただし、異なる正規化定数を使用するのが一般的です^{[ 7 ]}。

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle &={\sqrt {\frac {1}{N!\prod _{j}n_{j}!}}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \end{aligned}}}$

多体波動関数は次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&={\sqrt {\frac {1}{N!\prod _{j}n_{j}!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\end{aligned}}}$

ここで、単粒子波動関数は通常通り次のように定義される。

${\displaystyle \psi _{n}(x)\equiv \langle x|n\rangle }$

これらの波動関数の最も重要な性質は、座標変数の任意の2つを入れ替えても、波動関数はプラスまたはマイナスの符号のみを変えるという点である。これは、波動関数表現における対称性と反対称性の現れである。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{aligned}}}$

多体波動関数は次のような意味を持ちます。システムが初期状態で量子数n ₁ , ..., n _{Nの状態にあり、位置測定が行われる場合、} x ₁ , x ₂ , ..., x _Nの近傍の微小体積で粒子が見つかる確率は次のようになります。

${\displaystyle N!\;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}\;d^{3N}\!x}$

N !の係数は、単一粒子波動関数との類推により、次のようになるように選択された正規化定数から来ています。

${\displaystyle \int \!\int \!\cdots \!\int \;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d^{3}\!x_{N}=1}$

各積分はxのすべての可能な値にわたって実行されるため、各多粒子状態は積分中にN ! 回出現します。言い換えれば、各事象に関連付けられた確率は、積分空間内のN ! 個の等価な点に均等に分布します。通常、制限付き積分よりも制限なし積分の方が扱いやすいため、正規化定数はこれを反映するように選択されています。

最後に、反対称波動関数は、スレーター行列式として知られる行列の行列式として表すことができる。

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|}$

ヒルベルト空間${\displaystyle n}$粒子はテンソル積によって与えられる${\textstyle \bigotimes _{n}H}$置換群${\displaystyle S_{n}}$エントリを置換することによってこの空間に作用します。定義により、観測可能な値の期待値は${\displaystyle a}$の${\displaystyle n}$区別できない粒子は、これらの置換の下で不変であるべきである。これは、すべての粒子について、${\displaystyle \psi \in H}$そして${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle (\sigma \Psi )^{t}a(\sigma \Psi )=\Psi ^{t}a\Psi ,}$

または同等に各${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle \sigma ^{t}a\sigma =a}$。

2 つの状態は、すべての観測量について期待値が一致する場合に等価である。${\displaystyle n}$同一の粒子、したがって上記の式を満たす観測量の場合、以下の状態（正規化後）は等価であることがわかります。

${\displaystyle \Psi \sim \sum _{\sigma \in S_{n}}\lambda _{\sigma }\sigma \Psi }$。

同値類は、既約部分空間と全単射の関係にある。${\textstyle \bigotimes _{n}H}$下${\displaystyle S_{n}}$。

明らかな既約部分空間は、1 次元の対称/ボソン部分空間と反対称/フェルミオン部分空間の 2 つです。しかし、既約部分空間にはさらに多くの種類があります。これらの他の既約部分空間に関連付けられた状態は、パラ統計的状態と呼ばれます。^{[ 8 ]}ヤングタブローは、これらすべての既約部分空間を分類する方法を提供します。

粒子の不可分性は、その統計的性質に大きな影響を与える。これを説明するために、N 個の識別可能で相互作用しない粒子の系を考えてみよう。ここでも、n _{j を}粒子jの状態（すなわち量子数）としよう。粒子が同じ物理的性質を持つ場合、n _jは同じ値の範囲をとる。ε ( n ) を状態 n にある粒子のエネルギーとしよう。粒子は相互作用しないので、系の全エネルギーは単一粒子のエネルギーの合計となる。系の分配関数は次のようになる。

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}\exp \left\{-{\frac {1}{kT}}\left[\varepsilon (n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\right]\right\}}$

ここで、kはボルツマン定数、Tは温度である。この式を因数分解すると、次の式が得られる。

${\displaystyle Z=\xi ^{N}}$

どこ

${\displaystyle \xi =\sum _{n}\exp \left[-{\frac {\varepsilon (n)}{kT}}\right].}$

粒子が同一である場合、この式は誤りです。単一粒子状態 [ n ₁ , ..., n _N ] で記述されるシステムの状態を考えてみましょう。Zの式では、 nのあらゆる順列が和の中に一度ずつ現れますが、これらの順列はそれぞれ同じ多粒子状態を記述しています。したがって、状態の数が過剰にカウントされています。

温度が高い場合に有効な、状態の重複の可能性を無視すると、各状態がカウントされる回数は約N !になります。正しい分割関数は

${\displaystyle Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.}$

なお、この「高温」近似では、フェルミオンとボソンを区別しないことに注意してください。

区別可能な粒子と区別不可能な粒子の分配関数の不一致は、量子力学の出現以前の19世紀にはすでに知られていました。これはギブスのパラドックスとして知られる困難につながります。ギブスは、方程式Z = ξ ^Nにおいて、古典的な理想気体のエントロピーが

${\displaystyle S=Nk\ln \left(V\right)+Nf(T)}$

ここで、Vは気体の体積であり、 fはTのみの関数である。この結果の問題点は、Sが示量性を持たないことである。N と V が 2 倍になっても、Sはそれに応じて 2 倍にならない。このようなシステムは熱力学の公準に従わない。

ギブスはまた、Z = ξ ^N / N ! を使用すると結果が変わることも示した。

${\displaystyle S=Nk\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nf(T)}$

これは非常に広範囲にわたるものです。

ボソンとフェルミオンの統計的挙動には重要な違いがあり、それぞれボーズ・アインシュタイン統計とフェルミ・ディラック統計によって記述されます。大まかに言うと、ボソンは同じ量子状態に集まる傾向があり、これがレーザー、ボーズ・アインシュタイン凝縮、超流動などの現象の根底にあります。一方、フェルミオンは量子状態を共有することが禁じられており、フェルミガスなどの系を生み出します。これはパウリの排他原理として知られており、原子（フェルミオン）内の電子がすべて同じ最低エネルギー状態にあるのではなく、殻内の多くの状態を順次満たしていくため、化学の多くの現象の原因となっています。

フェルミオン、ボソン、および識別可能な粒子の統計的挙動の違いは、2 つの粒子のシステムを使用して説明できます。粒子は A と B で表されます。各粒子は、2 つの可能な状態をとることができます。${\displaystyle |0\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$これらは同じエネルギーを持っています。

複合システムは、ノイズの多い環境と相互作用しながら時間とともに進化する可能性がある。${\displaystyle |0\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$状態はエネルギー的に等価であり、どちらの状態も優先されないため、このプロセスは状態をランダム化する効果を持つ。（これについては量子もつれに関する記事で説明されている。）しばらくすると、複合系は利用可能な各状態を等しい確率で占有するようになる。その後、粒子の状態が測定される。

AとBが区別可能な粒子である場合、複合系には4つの異なる状態が存在する。${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$、${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$、${\displaystyle |0\rangle |1\rangle }$、 そして${\displaystyle |1\rangle |0\rangle }$2 つの粒子を得る確率は${\displaystyle |0\rangle }$状態は 0.25 です。${\displaystyle |1\rangle }$状態は 0.25 であり、1 つの粒子を取得する確率は${\displaystyle |0\rangle }$州と他の州では${\displaystyle |1\rangle }$状態は0.5です。

AとBが同一のボソンである場合、複合系には3つの異なる状態しか存在しない。${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$、${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$、 そして${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle +|1\rangle |0\rangle )}$実験を行うと、2 つの粒子が得られる確率は${\displaystyle |0\rangle }$状態は現在 0.33 です。${\displaystyle |1\rangle }$状態は 0.33 であり、1 つの粒子を取得する確率は${\displaystyle |0\rangle }$州と他の州では${\displaystyle |1\rangle }$状態の確率は0.33です。同じ状態の粒子が見つかる確率は、区別可能な場合よりも相対的に大きいことに注意してください。これは、ボソンが「凝集」する傾向があることを示しています。

AとBが同一のフェルミオンである場合、複合系には完全反対称状態という1つの状態しか存在しない。${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle -|1\rangle |0\rangle )}$実験を行うと、1 つの粒子は常に${\displaystyle |0\rangle }$州と、もう1つは${\displaystyle |1\rangle }$州。

結果を表1にまとめる。

ご覧のとおり、2粒子系であっても、ボソンとフェルミオンといった区別可能な粒子間では、統計的な振る舞いが異なります。フェルミ・ディラック統計とボーズ・アインシュタイン統計に関する論文では、これらの原理が多数の粒子に拡張され、質的に類似した結果が得られています。