ラゲール多項式

数学において、ラゲール多項式は、エドモン・ラゲール(1834–1886) にちなんで名付けられ、 2 階線形微分方程式であるラゲールの 微分方程式の非自明な解です。この方程式は、n が非負の整数である 場合にのみ、非特異解を持ちます。$${\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\ y=y(x)}$$

ラゲール多項式という名前は、nが非負の整数である の解に対して使用されることがあります 。その場合、ここで行うように、一般化ラゲール多項式とも呼ばれます（または、関連するラゲール多項式、またはまれに、発明者^[1]ニコライ・ヤコブレヴィチ・ソニンにちなんでソニン多項式と呼ばれることもあります）。 $${\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0~.}$$

より一般的には、ラゲール関数は、n が必ずしも非負の整数ではない 場合の解です。

ラゲール多項式は、ガウス・ラゲール積分法で次の形式の積分を数値的に計算するのに も用いられる。$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}$$

これらの多項式は、通常L ₀、  L ₁、…と表記され、ロドリゲスの公式によって定義される多項式列である。

$${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}$$ 次のセクションの閉じた形式に縮小します。

これらは内積に関して直交多項式である $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}$$

組合せ論におけるルーク多項式は、変数の基本的な変更を除けば、ラゲール多項式とほぼ同じです。さらにトリコミ・カルリッツ多項式を参照してください。

ラゲール多項式は、量子力学において、 1電子原子のシュレーディンガー方程式の解の放射状部分で出現します。また、位相空間における量子力学の振動子システムの静的ウィグナー関数を記述します。さらに、モースポテンシャルと3D等方性調和振動子の量子力学にも登場します。

物理学者は、ここで使用されている定義よりもn倍大きいラゲール多項式の定義を使用する場合があります。(同様に、一部の物理学者は、いわゆる関連ラゲール多項式の定義が多少異なる場合があります。)

これらは最初のいくつかのラゲール多項式です。

ラゲール多項式を再帰的に定義することもできる。最初の2つの多項式を次のように定義し 、任意のk ≥ 1に対して 次の再帰関係を使用する。 さらに、 $${\displaystyle L_{0}(x)=1}$$ $${\displaystyle L_{1}(x)=1-x}$$$${\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)}{k+1}}.}$$$${\displaystyle xL'_{n}(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x).}$$

いくつかの境界値問題を解く場合、特性値は役に立つことがあります。 $${\displaystyle L_{k}(0)=1,L_{k}'(0)=-k.}$$

閉じた形式は $${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.}$$

それらの 生成関数も同様に次のようになる。演算子形式は $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}e^{-tx/(1-t)}.}$$$${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})}$$

負の指数を持つ多項式は、正の指数を持つ多項式を使用して表現できます。 $${\displaystyle L_{-n}(x)=e^{x}L_{n-1}(-x).}$$

^{任意の実数αに対して、微分方程式[2]} の多項式解は一般化ラゲール多項式、または関連ラゲール多項式 と呼ばれる。 $${\displaystyle x\,y''+\left(\alpha +1-x\right)y'+n\,y=0}$$

一般化ラゲール多項式を再帰的に定義することもできる。最初の2つの多項式を次のように定義する。 $${\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}$$ $${\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=1+\alpha -x}$$

そして、任意のk ≥ 1に対して次の再帰関係を使用します。 $${\displaystyle L_{k+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2k+1+\alpha -x)L_{k}^{(\alpha )}(x)-(k+\alpha )L_{k-1}^{(\alpha )}(x)}{k+1}}.}$$

単純ラゲール多項式は、一般化ラゲール多項式の α = 0の特殊なケースです。$${\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}$$

ロドリゲスの公式は $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)={\frac {x^{-\alpha }}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n+\alpha }.}$$

それらの 生成関数は$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-tx/(1-t)}.}$$

• ラゲール関数は合流型超幾何関数とクンマー変換によって次のように定義されます^[3] 。ここで、は一般化二項係数です。 nが整数のとき、関数はn次多項式に簡約されます。これは、第二種クンマー関数によって次のように表されます^[4]。$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x).}$$${\textstyle {n+\alpha \choose n}}$ $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)}$$
• これらの一般化されたn次のラゲール多項式の閉じた形は、ライプニッツの積の微分定理をロドリゲスの公式に適用することによって導かれます[ ^{5] 。} $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}}$$
• ラゲール多項式は、密接に関連するエルミート多項式と同様に、微分演算子表現を持ちます。つまり、 とし 、微分演算子 を考えます。すると となります。^[要出典]${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle M=xD^{2}+(\alpha +1)D}$${\displaystyle \exp(-tM)x^{n}=(-1)^{n}t^{n}n!L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{t}}\right)}$
• 最初のいくつかの一般化されたラゲール多項式は次のとおりです。

• 先頭項の係数は(−1) ⁿ / n !である。
• 定数項は0における値であり、$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!\,\Gamma (\alpha +1)}};}$$
• αが非負の場合、 L _n ^{( α )には}n 個 の実数かつ正の根（ はシュトゥルム連鎖であることに注意）があり、それらはすべて区間^{[引用が必要]内にあります。}${\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}}$ ${\displaystyle \left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\,\right].}$
• nが大きく、 αとx > 0 を固定した場合の多項式の漸近挙動は^{[6] [7]} で与えられ、次のようにまとめられます。ここで はベッセル関数です。$${\displaystyle {\begin{aligned}&L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\sin \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right),\\[6pt]&L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x/2}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{n}}\right)}{n^{\alpha }}}\approx e^{x/2n}\cdot {\frac {J_{\alpha }\left(2{\sqrt {x}}\right)}{{\sqrt {x}}^{\alpha }}},}$$${\displaystyle J_{\alpha }}$

上で指定した生成関数を前提として、多項式は、 1の本質的な特異点を囲むことなく、反時計回り方向に原点を一周する 輪郭積分 で表現することができる。$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{\alpha +1}\,t^{n+1}}}\;dt,}$$

ラゲール多項式の加法公式: ^[8] $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y).}$$

ラゲールの多項式は特に 再帰関係を 満たし 、 さらに $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}},}$$$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)}$$$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),}$$$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}}$$

これらを使って4つの3点ルールを導き出すことができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}(-1)^{j}L_{n-j}^{(\alpha +k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}\\{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x);\end{aligned}}}$$

これらを組み合わせると、さらに有用な再帰関係が得られる。$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}}$$

は次数の単項多項式なので、部分分数分解が成り立ちます。2番目の等式は、整数iとnに対して有効で、シャルリエ多項式による の表現から直ちに導かれる 次の恒等式に従います。3 番目の 等式には、このセクションの 4 番目と 5 番目の恒等式を適用します。 ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n!\,L_{n}^{(\alpha )}(x)}{(\alpha +1)_{n}}}&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}\,\,{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}\\&=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$$${\displaystyle {\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x).}$$

一般化ラゲール多項式のべき級数表現をk回 微分すると、$${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\begin{cases}(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)&{\text{if }}k\leq n,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

これは、上記の式の特殊なケース ( α = 0 ) を示しています。整数α = kの場合、一般化多項式は k によるシフトと表記されますが、導関数の通常の括弧表記と混同されることがあります。 $${\displaystyle L_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}{\frac {d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}}},}$$

さらに、次の式が成り立ちます。 これはコーシーの公式を一般化して次のように 表されます。$${\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x),}$$$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.}$$

2番目の変数αに関する導関数は、次の形をとる。^[9] 一般化ラゲール多項式は、通常のラゲール多項式の k次導関数 に従う方程式と比較できる 微分方程式に従う 。$${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.}$$$${\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0,}$$

$${\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{[k]}(x)=0,}$$ ここで、この方程式のみに適用されます。 ${\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}}$

シュトゥルム・リウヴィル形式では、微分方程式は

$${\displaystyle -\left(x^{\alpha +1}e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x)^{\prime }\right)'=n\cdot x^{\alpha }e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x),}$$

これはL^(α)
_n固有値nの固有ベクトルです。

一般化ラゲール多項式は、^重み関数xαe − ^xを持つ測度に関して[0,∞)上で直交する：^[10]

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},}$$

これは

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').}$$

がガンマ分布を表す 場合、直交関係は次のように表される。${\displaystyle \Gamma (x,\alpha +1,1)}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\Gamma (x,\alpha +1,1)dx={n+\alpha \choose n}\delta _{n,m},}$$

関連する対称核多項式は次のように表現される（クリストッフェル・ダルブー公式）^[要出典]

$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}$$

再帰的に

$${\displaystyle K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}.}$$

さらに、^{[説明が必要n が無限大に近づくにつれて限界はどうなるか? ]}

$${\displaystyle y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\to \delta (y-\cdot ).}$$

ここでトゥランの不等式を導くことができる。 $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.}$$

水素原子の量子力学的取り扱いには次の積分が必要である。

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}$$

関数が（形式的な）級数展開を持つとする $${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).}$$

それから $${\displaystyle f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.}$$

この級数が関連するヒルベルト空間 L ² [0, ∞) に収束するのは、

$${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}:=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{i+\alpha \choose i}|f_{i}^{(\alpha )}|^{2}<\infty .}$$

単項式は次のように表され 、二項式は 次のようにパラメータ化される。 $${\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x),}$$$${\displaystyle {n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).}$$

これは指数関数に対して直接的に導く 。不完全ガンマ関数は次のように表現される。 $${\displaystyle e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad {\text{convergent iff }}\Re (\gamma )>-{\tfrac {1}{2}}}$$$${\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).}$$

量子力学では、水素のような原子に対するシュレーディンガー方程式は球座標における変数分離によって正確に解くことができる。波動関数の半径部分は（一般化された）ラゲール多項式である。^[11]

フランク・コンドン近似における振動遷移はラゲール多項式を用いて記述することもできる。 ^[12]

エルデーリは次の2つの乗法定理を与えている ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}$$

一般化ラゲール多項式はエルミート多項式と関連しています。 ここで、H _n ( x )は重み関数exp(− x ² )に基づくエルミート多項式であり、いわゆる「物理学者バージョン」です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}}$$

このため、量子調和振動子の扱いにおいては一般化ラゲール多項式が生まれます。

ラゲール多項式は、超幾何関数、特に合流型超幾何関数によって次のように定義できます。 ここで、はポッホハマー記号です(この場合は上昇階乗を表します)。 $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}$$${\displaystyle (a)_{n}}$

一般化されたラゲール多項式はハーディ・ヒルの公式^{[14] [15]} を満たし 、左側の級数はおよびに対して収束します。恒等式 （一般化された超幾何関数を参照）を使用すると、これは次のように書くこともできます。 この公式は、メラー核をエルミート多項式に対して 一般化したものであって、上記で示したラゲール多項式とエルミート多項式の関係を使用することで、この公式から復元することができます。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!\,\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-(x+y)t/(1-t)}\,_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\frac {xyt}{(1-t)^{2}}}\right),}$$${\displaystyle \alpha >-1}$${\displaystyle |t|<1}$$${\displaystyle \,_{0}F_{1}(;\alpha +1;z)=\,\Gamma (\alpha +1)z^{-\alpha /2}I_{\alpha }\left(2{\sqrt {z}}\right),}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{\Gamma (1+\alpha +n)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(xyt)^{\alpha /2}(1-t)}}e^{-(x+y)t/(1-t)}I_{\alpha }\left({\frac {2{\sqrt {xyt}}}{1-t}}\right).}$$

一般化ラゲール多項式は、水素原子軌道の量子波動関数を記述するために使用される。^{[16] [17] [18]}この論文全体で使用される慣例では、一般化ラゲール多項式は次のように表現される^[19]

$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x),}$$

ここで は合流型超幾何関数である。物理学文献^[18]では、一般化ラゲール多項式は次のように定義される。 ${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b;x)}$

$${\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x).}$$

物理バージョンは標準バージョンと関連しており、

$${\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(n+\alpha )!L_{n}^{(\alpha )}(x).}$$

物理学の文献には、あまり頻繁には使われていないが、もう一つの慣習がある^{[20] [21] [22]}

$${\displaystyle {\tilde {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{\alpha }{\bar {L}}_{n-\alpha }^{(\alpha )}.}$$

一般化ラゲール多項式は、を で乗じたときの のシェファー列であることにより、アンブラル計算と結び付けられる。アンブラル計算の慣例^[23]では、デフォルトのラゲール多項式は と定義され、ここで は符号なしラハ数である。は二項式型の多項式の列であり、すなわち、${\displaystyle D/(D-I)}$${\displaystyle n!}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(x)=n!L_{n}^{(-1)}(x)=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-x)^{k}}$$${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$${\textstyle ({\mathcal {L}}_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathcal {L}}_{k}(x){\mathcal {L}}_{n-k}(y)}$$

• 直交多項式
• ロドリゲスの公式
• アンヘレス多項式
• ベッセル多項式
• デニシューク多項式
• 横モードは、導波管またはレーザー ビーム プロファイル内の電界強度を記述するためのラゲール多項式の重要な応用です。