位置と運動量の空間

ラグランジュ力学では、多くの場合、ラグランジアンL ( q , d q / dt , t ) は構成空間にあり、ここでq = ( q ₁ , q ₂ ,..., q _n ) は一般化座標のn組です。オイラー・ラグランジュ運動方程式は次のとおりです 。$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$$

（ドット1つは時間微分1つを表します）。各一般化座標に対する正準運動量の定義を導入します。 $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$$ オイラー・ラグランジュ方程式は次の形式をとる。 $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.}$$

ラグランジアンは運動量空間でも表現でき、^{[ 4 ]} L ′( p , dp / dt , t ) 、ここでp = ( p1 , p2 _, ..., pn ₎は一般化運動量のn組です。一般化座標空間ラグランジアンの 全微分における変数を変換するためにルジャンドル変換_{が実行されます。}$${\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$$ ここで、一般化運動量の定義とオイラー・ラグランジュ方程式がLの偏微分に置き換えられています。微分に対する積の法則^{[ nb 1 ]}により、一般化座標と速度の微分を一般化運動量とその時間微分の微分と交換することができます。 $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}}$$$${\displaystyle p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}}$$ 代入後、簡略化して整理すると次のようになる。 $${\displaystyle d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$$

さて、運動量空間ラグランジアンL ′ の全微分は次のようになる。$${\displaystyle dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt}$$ したがって、ラグランジアン、運動量、およびそれらの時間微分の微分を比較することにより、運動量空間ラグランジアンL ′ およびL ′ から導出される一般化座標はそれぞれ次のようになる。$${\displaystyle L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.}$$

最後の2つの式を組み合わせると、運動量空間のオイラー・ラグランジュ方程式が得られる。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.}$$

ルジャンドル変換の利点は、変換過程で新しい関数と古い関数、およびそれらの変数間の関係が得られる点です。座標形式と運動量形式の方程式はどちらも等価であり、システムのダイナミクスに関する同じ情報を含んでいます。この形式は、運動量または角運動量がラグランジアンに含まれる場合に特に有用です。

ハミルトン力学では、座標または運動量のどちらか一方のみを用いるラグランジュ力学とは異なり、ハミルトン運動方程式では座標と運動量が同等に扱われます。ハミルトニアンH ( q , p , t ) を持つ系の場合、方程式は次のようになります 。$${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$$

位置空間における3次元波動関数ψ ( r )がある_と仮定すると、この関数は直交基底関数ψj ( r )の重み付き和として表すことができる。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}$$ または、連続の場合、積分として$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$ 関数のセットを指定すれば、${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$例えば、運動量演算子の固有関数の集合として、関数${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ψ ( r )を再構​​成するために必要なすべての情報を保持しており、したがって状態の代替記述である。${\displaystyle \psi }$。

座標表示では、運動量演算子は^{[ 7 ]}で与えられる。$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}$$ （分母表記については行列計算を参照）適切な定義域を持つ。固有関数は $${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ そして固有値ħk 。したがって $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$ そして、運動量表現はフーリエ変換によって位置表現と関連付けられることがわかります。^{[ 8 ]}

逆に、運動量空間における三次元波動関数${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$直交基底関数の重み付き和として表現できる ${\displaystyle \phi _{j}(\mathbf {k} )}$、 $${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} ),}$$ または積分として、 $${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

運動量表現では、位置演算子は^{[ 9 ]}で与えられる。$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}$$ 固有関数を用いて $${\displaystyle \phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\right)^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ および固有値r。したがって、同様の分解は${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$この演算子の固有関数を用いて表すことができ、これは逆フーリエ変換であることがわかる。^{[ 8 ]}$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

位置演算子と運動量演算子はユニタリ等価であり、ユニタリ演算子はフーリエ変換によって明示的に与えられ、すなわち振動子ハミルトニアンによって生成される位相空間における四分の一周期の回転である。したがって、それらは同じスペクトルを持つ。物理的な言葉で言えば、運動量空間の波動関数に作用するpは、位置空間の波動関数に作用するrと同じである（フーリエ変換の像の下で）。