定義 Vを 体 F 上の位相ベクトル空間 とする。シャウダー基底 とは、V の要素の列 { b n v ∈ V に対して、 F のスカラーの列 {α n v = ∑ n = 0 ∞ α n b n 。 {\displaystyle v=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha _{n}b_{n}}{\text{.}}} すなわち 、リム n → ∞ ∑ k = 0 n α k b k = v 、 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}=v{\text{,}}} しかし、ノルムベクトル空間（ バナッハ空間 など）では弱い収束 にしかならない。[ 4 ] ハメル基底 とは異なり、級数は無条件に 収束しない可能性があるため、基底の要素は順序付けされていなければならない。
シャウダー基底を可算基底と定義する著者もいれば（上記のように）、非可算基底も含むものとして定義する著者もいることに注意してください。いずれの場合も、和自体は常に可算です。非可算シャウダー基底は数列ではなく線形順序集合 であり、各和はこの線形順序から項の順序を継承します。非可算シャウダー基底は実際に発生する可能性があります。例えば、可分 ヒルベルト空間は 可算シャウダー基底しか持ちませんが、非可分ヒルベルト空間は非可算シャウダー基底を持つ可能性があります。
上記の定義は厳密にはノルム空間を必要としませんが、シャウダー基底について有用なことを述べるにはノルムが不可欠です。以下の結果はノルムの存在を前提としています。
シャウダー基底{ b n n ≥ 0 は、すべての基底ベクトルがバナッハ空間Vにおいてノルム 1 を持つときに 正規化され ていると言われます。
V 内の数列{ x n n ≥ 0 は、その閉じた線形スパン のシャウダー基底である場合、基本数列 である。
V のシャウダー基底 { b n W のシャウダー基底{ c n 自然数 N ≥ 0 とすべてのスカラー数列 {α n c > 0 とC が 存在し、
c ‖ ∑ k = 0 N α k b k ‖ V ≤ ‖ ∑ k = 0 N α k c k ‖ W ≤ C ‖ ∑ k = 0 N α k b k ‖ V 。 {\displaystyle c\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}\leq \left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}c_{k}\right\|_{W}\leq C\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}.} V 内のベクトル族は、その線形スパン （有限線形結合の集合）が V 内で稠密である場合に 全基底 と呼ばれる。Vが ヒルベルト空間 である場合、直交基底 とは、 B の要素が非ゼロで互いに直交するV の全 部分集合 B のことである。さらに、 B の各要素のノルムが1 である場合、Bは V の正規直交基底
不動産 { b n } をF = R またはC 上のバナッハ空間Vのシャウダー基底とする。 開写像定理 の微妙な帰結として、次のように定義される線形写像 { P n
v = ∑ k = 0 ∞ α k b k ⟶ P n P n （ v ） = ∑ k = 0 n α k b k {\displaystyle v=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}b_{k}\ \ {\overset {\textstyle P_{n}}{\longrightarrow }}\ \ P_{n}(v)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}} は定数C によって一様に制限される。[ 5 ] C = 1単調 基底と呼ばれる。写像 { P n } は基底射影
{ b* n } を座標汎関数 とします。ここで、b* n は V のすべてのベクトルv に対して、上記の展開におけるv の座標 α n を割り当てます。各b* n はV 上の有界線形汎関数です。実際、V のすべてのベクトルv に対して、
| b n * （ v ） | ‖ b n ‖ V = | α n | ‖ b n ‖ V = ‖ α n b n ‖ V = ‖ P n （ v ） − P n − 1 （ v ） ‖ V ≤ 2 C ‖ v ‖ V 。 {\displaystyle |b_{n}^{*}(v)|\;\|b_{n}\|_{V}=|\alpha _{n}|\;\|b_{n}\|_{V}=\|\alpha _{n}b_{n}\|_{V}=\|P_{n}(v)-P_{n-1}(v)\|_{V}\leq 2C\|v\|_{V}.} これらの汎関数 { b* n } は、基底 { b n } に関連付けられた双直交汎関数 と呼ばれます。基底 { b n b* n } は、 V の連続双対 V ′ においてノルム ≤ 2 C を持ちます。
シャウダー基底を持つバナッハ空間V のすべてのベクトルvは、有限 ランク で一様に有界なP n v )の極限であるため、このような空間V は 有界 近似特性 を満たします。
シャウダー基底を持つバナッハ空間は必ず可分で あるが、その逆は成り立たない。基底問題 とは、可分なバナッハ空間はすべてシャウダー基底を持つのかという、バナッハが提起した問題である。これに対し、ペル・エンフロは近似性質を満たさない 反射的 かつ可分なバナッハ空間、すなわちシャウダー基底を持たない空間を構成し、否定的な回答を示した。 [ 6 ] 、Fabian et al. (2011 、第16.5節) を参照のこと。
マズール [ 7 ] V には基本列が含まれる、つまり 、シャウダー基底を持つV の無限次元部分空間が存在すると主張している。
例 c 0 ℓ p p < ∞) の標準単位ベクトル 基底は、単調なシャウダー基底です。この単位ベクトル基底 { b n } において、 V = c 0 V = ℓ p b n [ b n , j ] j であり、 n 番目の座標を除くすべての座標b n, j
b n = { b n 、 j } j = 0 ∞ ∈ V 、 b n 、 j = δ n 、 j 、 {\displaystyle b_{n}=\{b_{n,j}\}_{j=0}^{\infty }\in V,\ \ b_{n,j}=\delta _{n,j},} ここで、δ n, j はクロネッカーのデルタ である。空間 ℓ ∞ は分離可能ではないため、シャウダー基底を持たない。
可分ヒルベルト空間 におけるすべての正規直交基底はシャウダー基底である。すべての可算正規直交基底は、ℓ 2 における標準単位ベクトル基底と等価である。
分離可能なバナハ空間内のすべてのアウエルバッハ基底 はシャウダー基底です。
1 ≤ p < ∞ の場合、ハール系は L p ([0, 1]) の基底の一例です。[ 2 ] 1 p∞ の 場合 、 別 の 例 として 、以下で定義される三角関数系があります。区間 [0, 1] 上の連続関数のバナッハ空間C ([0, 1]) は、上限ノルム を持ち、シャウダー基底を持ちます。ファーバー ・ シャウダー系は、 C ([0, 1])の最も一般的に使用される単調シャウダー基底です。 [ 3 ] [ 8 ]
古典空間のいくつかの基底はバナッハの本が出版される前に発見されていましたが ( Banach (1932) )、他のいくつかのケースは長い間未解決のままでした。たとえば、円盤代数 A ( D ) がシャウダー基底を持つかどうかという問題は、1974 年にボチカレフが フランクリン系から構成された基底が A ( D )に存在することを示すまで 40 年以上未解決のままでした。 [ 9 ]また、周期的なフランクリン系 [ 10 ] がA ( D )と同型なバナッハ空間A r [ 11 ]
この空間A r は T 上のすべての複素連続関数で、その共役関数 も連続であるものから構成されます。フランクリン系はC ([0, 1]) の別のシャウダー基底であり、[ 12 ] 1 ≤ p < ∞の場合、 L p 1])のシャウダー基底となります。[ 13 ] フランクリン系から派生したシステムは、単位正方形上の 微分可能な 関数の空間C 1 ([0, 1] 2 )の基底を与えます。[ 14 ] C 1 ([0, 1] 2 )にシャウダー基底が存在するかどうかは、バナッハの著書からの質問でした。[ 15 ]
フーリエ級数との関係 実数の場合、{ x n } を関数の列とする。
{ 1 、 コス （ x ） 、 罪 （ x ） 、 コス （ 2 x ） 、 罪 （ 2 x ） 、 コス （ 3 x ） 、 罪 （ 3 x ） 、 … } {\displaystyle \{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\cos(3x),\sin(3x),\ldots \}} または、複雑なケースでは、
{ 1 、 e 私 x 、 e − 私 x 、 e 2 私 x 、 e − 2 私 x 、 e 3 私 x 、 e − 3 私 x 、 … } 。 {\displaystyle \left\{1,e^{ix},e^{-ix},e^{2ix},e^{-2ix},e^{3ix},e^{-3ix},\ldots \right\}.} 数列 { x n } は三角関数系 と呼ばれます。これは、 1 < p < ∞ を満たす任意のp に対して、空間L p 2 π ])リース・フィッシャーの定理 の内容であり、p ≠ 2 の場合、これは円上のヒルベルト変換の空間 L p π ])における有界性の結果です。この有界性から、次のように定義される射影P N が成り立ちます。
{ f : x → ∑ k = − ∞ + ∞ c k e 私 k x } ⟶ P N { P N f : x → ∑ k = − N N c k e 私 k x } {\displaystyle \left\{f:x\to \sum _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}e^{ikx}\right\}\ {\overset {P_{N}}{\longrightarrow }}\ \left\{P_{N}f:x\to \sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{ikx}\right\}} 1 < p < ∞の場合、 L p 2 π ])上で一様に有界である。この写像族 { P N 同程度連続であり、 三角多項式 からなる稠密部分集合上で恒等写像に収束する。したがって、すべてのf ∈ L p ([0, 2 π ])に対して、 P N f は L p f に収束する。言い換えれば、{ x n } はL p π ])のシャウダー基底である。[ 16 ]
しかし、集合 { x n } はL 1 ([0, 2 π ])のシャウダー基底ではありません。これは、 L 1にはフーリエ級数が L 1 ノルムで収束しない関数が存在すること、あるいは同等に、射影P N が L 1 ノルムで一様に有界ではないことを意味します。また、集合 { x n } はC ([0, 2 π ])のシャウダー基底でもありません。
演算子空間の基底 ヒルベルト空間 ℓ 2上の コンパクト作用素 の空間K (ℓ 2 ) はシャウダー基底を持つ。ℓ 2のすべての x 、y に対して、x ⊗ y をランク 1 の 作用素v ∈ ℓ 2 → < v 、 x > y { e n } n ≥ 1 が ℓ 2 の標準正規直交基底である場合、 K (ℓ 2 )の基底は数列[ 17 ]で与えられる。
e 1 ⊗ e 1 、 e 1 ⊗ e 2 、 e 2 ⊗ e 2 、 e 2 ⊗ e 1 、 … 、 e 1 ⊗ e n 、 e 2 ⊗ e n 、 … 、 e n ⊗ e n 、 e n ⊗ e n − 1 、 … 、 e n ⊗ e 1 、 … {\displaystyle {\begin{aligned}&e_{1}\otimes e_{1},\ \ e_{1}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{1},\ldots ,\\&e_{1}\otimes e_{n},e_{2}\otimes e_{n},\ldots ,e_{n}\otimes e_{n},e_{n}\otimes e_{n-1},\ldots ,e_{n}\otimes e_{1},\ldots \end{aligned}}} すべてのn に対して、この基底の最初のn 2 ベクトルからなるシーケンスは、 1 ≤ j 、 k ≤ n e j e k
前述の結果は一般化できる。基底を持つバナッハ空間X は 近似特性を持つので、 X 上のコンパクト作用素の空間K ( X ) は、単射テンソル 積と等長的に同型である[ 18 ]。
X ′ ⊗ ^ ε X ≃ K （ X ） 。 {\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\simeq {\mathcal {K}}(X).} X が 、双直交汎関数が双対の基底となるようなシャウダー基底{ e n n ≥ 1 を持つバナッハ空間、すなわち縮小基底 を持つバナッハ空間である場合、空間K ( X ) は、以前と同じ順序でランク 1 の演算子e * j e k : v → e * j v ) e kによって形成される基底を許容する。 [ 17 ] 反射的 バナッハ空間X に適用される。
一方、空間B (ℓ 2 ) は非分離であるため、基底を持ちません。さらに、 B (ℓ 2 ) は近似特性を持ちません。[ 19 ]
無条件性 シャウダー基底 { b n 無条件である。 ∑ α n b n {\displaystyle \sum \alpha _{n}b_{n}} 収束する、無条件に 収束する 。シャウダー基底 { b n C が存在して、
‖ ∑ k = 0 n ε k α k b k ‖ V ≤ C ‖ ∑ k = 0 n α k b k ‖ V {\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}} すべての自然数n 、すべてのスカラー係数 {α k ε k に対して、無条件性は重要な性質です。無条件性は、総和の順序を気にしなくて済むため重要です。シャウダー基底は、無条件で、すべての置換と一様に等価である場合に 対称 です。つまり、すべての自然数n 、集合{0, 1, ..., n k k C が存在し、
‖ ∑ k = 0 n ε k α k b π （ k ） ‖ V ≤ C ‖ ∑ k = 0 n α k b k ‖ V 。 {\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{\pi (k)}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}.} 1 ≤ p < ∞ の場合の 数列空間 c 0 および ℓ p
三角関数系は、 p = 2の場合を除いて、L p の無条件基底ではありません。
ハールシステムは、任意の 1 < p < ∞ に対して L p の無条件基底である。空間L 1 ([0, 1]) には無条件基底は存在しない。[ 20 ]
当然の疑問として、すべての無限次元バナッハ空間には無条件基底を持つ無限次元部分空間が存在するかどうかという点がある。これは1992年にティモシー・ガワーズ とバーナード・モーリーによって否定的に解決された。 [ 21 ]
シャウダー基底と双対性 バナッハ空間X の基底 { e n } n ≥0 はa n n ≥0 に対して、有界完備 であるという。
V n = ∑ k = 0 n 1 k e k {\displaystyle V_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}e_{k}} X において有界である場合、数列 { V n } はXにおいて収束する。 ℓ p 1 ≤ p < ∞ の単位ベクトル基底は有界完備である。しかし、単位ベクトル基底はc 0 において有界完備ではない。実際、すべてのnに対して a n = 1であれば、
‖ V n ‖ c 0 = 最大 0 ≤ k ≤ n | 1 k | = 1 {\displaystyle \|V_{n}\|_{c_{0}}=\max _{0\leq k\leq n}|a_{k}|=1} すべてのn に対してですが、数列 { V n } はc 0 で収束しません。なぜなら、すべてのn に対して|| V n +1V n
有界完備基底 { e n n ≥0 を持つ空間X は双対空間と 同型 であり、すなわち、空間X は基底 { e n X ′ における閉じた線形スパンの双対と同型である。[ 22 ]
X の基底 { e n } n ≥0X 上の任意の有界線形関数 f に対して、非負の数の列が
φ n = すする { | f （ x ） | : x ∈ F n 、 ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle \varphi _{n}=\sup\{|f(x)|:x\in F_{n},\;\|x\|\leq 1\}} n → ∞F n は m ≥ n の基底ベクトルe mの線形スパンである。 ℓ p p < ∞、またはc 0 の単位ベクトル基底は縮小している。 ℓ 1 では縮小していない。 f がℓ 1 上の有界線形汎関数である場合、
f : x = { x n } ∈ ℓ 1 → ∑ n = 0 ∞ x n 、 {\displaystyle f:x=\{x_{n}\}\in \ell ^{1}\ \rightarrow \ \sum _{n=0}^{\infty }x_{n},} すると、すべてのn に対してφ n f ( e n 。
X の基底[ e n n ≥ 0 が縮小するのは、双直交汎関数[ e * n ] n ≥ 0が双対 X ′ の基底を形成する場合に限る。[ 23 ]
ロバート・C・ジェームズは 、基底を持つバナッハ空間の反射性を特徴づけた。シャウダー基底を持つ空間X は、基底が縮小かつ有界完備である場合に限り反射的である。 [ 24 ] ジェームズはまた、無条件基底を持つ空間は、 c 0 または ℓ 1 と同型な部分空間を含む場合に限り非反射的であることを証明した。[ 25 ]
ハメル基底 とは、ベクトル空間V の部分集合B であり、V のすべての要素 v ∈ V は一意に次のように表される。
v = ∑ b ∈ B α b b {\displaystyle v=\sum _{b\in B}\alpha _{b}b} α b F で、セットが
{ b ∈ B ∣ α b ≠ 0 } {\displaystyle \{b\in B\mid \alpha _{b}\neq 0\}} は有限である。この性質により、無限次元バナッハ空間ではハーメル基底は扱いにくくなる。無限次元バナッハ空間のハーメル基底は非可算でなければならないからである。（無限次元バナッハ空間 X のすべての有限次元部分空間は内部 が空であり、X のどこにも稠密 ではない。したがって、ベールのカテゴリー定理 から、これらの有限次元部分空間の基底の可算和集合は基底として機能できないことがわかる。[ 26 ]
注記 ↑ シャウダー（1927） を参照。 1 2 シャウダー、ユリウス（1928）。 「アイネ固有シャフト・デ・ハールシェン直交系」。数学的ツァイシュリフト 28 : 317–320 .土井 : 10.1007/bf01181164。 1 2 Faber, Georg (1910)、「Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar」、 Deutsche Math.-Ver (ドイツ語) 19 : 104 – 112. ISSN 0012-0456 ; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553 ↑ Karlin, S. (1948 年 12 月). "バナッハ空間の基底" . Duke Mathematical Journal . 15 (4): 971– 985. doi : 10.1215/S0012-7094-48-01587-7 . ISSN 0012-7094 . ↑ ファビアンら。 (2011 、定理 4.10) ↑ Enflo, Per (1973年7月). 「バナッハ空間における近似問題に対する反例」 . Acta Mathematica . 130 (1): 309–317 . doi : 10.1007/BF02392270 . ↑ 初期に発表された証明については、 Bessaga, C. および Pełczyński, A. (1958)、「On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces」、Studia Math. 17 : 151 – 164 の p. 157、C.3 を参照。この記事の冒頭で、Bessaga と Pełczyński は、Mazur の結果が Banach の本に証明なしで掲載されていると書いていますが( 正確には p. 238 ) 、証明を含む参考文献は示していません。 ↑ Schauder (1927) の48 ～ 49 ページを参照。Schauder はそこでこのシステムの一般的なモデルを定義しており、今日使用されている Faber – Schauder システムはその特殊なケースである。 ↑ ボチカレフ、SV (1974)、「円盤で解析的な関数の空間における基底の存在とフランクリンのシステムのいくつかの性質」、(ロシア語) Mat. Sb . (NS) 95 (137): 3 – 18、159 を参照。Math. USSR-Sb. 24 (1974)、1–16 に翻訳されている。この問題はバナッハの著書、 Banach (1932) p. 238、§3 にある。 ↑ P.5参照 161、III.D.20、 Wojtaszczyk (1991) 。 ↑ P.5参照 192、III.E.17、 Wojtaszczyk (1991) 。 ↑ Franklin, Philip (1928). "連続直交関数の集合". Math. Ann. 100 : 522– 529. doi : 10.1007/bf01448860 . ↑ 3ページ参照。 164、III.D.26、 Wojtaszczyk (1991) 。 ↑ Ciesielski, Z (1969) を参照。 「 C 1 ( I 2 ) における基底の構築」。 ステューディア数学。 33 : 243–247 . Schonefeld, Steven (1969). "微分可能関数の空間における Schauder 基底" . Bull. Amer. Math. Soc. 75 (3): 586– 590. doi : 10.1090/s0002-9904-1969-12249-4 . ↑ バナッハ (1932) のp. 238、§3 を。 ↑ 3ページ参照。 40、II.B.11、 Wojtaszczyk (1991) 。 1 2 Ryan (2002) の 命題 4.25、p.。 ↑ Ryan (2002) の 80 ページ、 系 4.13 を参照。 ↑ Szankowski, Andrzej (1981). " B ( H ) は近似特性を持たない" . Acta Math . 147 : 89– 108. doi : 10.1007/bf02392870 を参照。 ↑ Lindenstrauss & Tzafriri (1977) の p. 24 を参照。 ↑ Gowers, W. Timothy; Maurey, Bernard (1992年5月6日). 「無条件基本数列問題」. arXiv : math/9205204 . ↑ リンデンストラウス ＆ ツァフリリ（1977） の9 ページを参照。 ↑ Lindenstrauss & Tzafriri (1977) の 8 ページを参照。 ↑ ジェームズ（1950） および リンデンストラウス ＆ ツァフリリ（1977 、p.9 ） を参照。 ↑ ジェームズ（1950） および リンデンストラウス ＆ ツァフリリ（1977 、p.23 ） を参照。 ↑ Carothers, NL (2005), A short course on Banach space theory , Cambridge University Press ISBN 0-521-60372-2 この記事は、 PlanetMath の Countable basis からの資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。
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さらに読む クフナー、アロイス（2013）、『関数空間 』、デ・グリュイター非線形解析および応用シリーズ、第 14巻、プラハ：チェコスロバキア科学アカデミー出版局、デ・グリュイター
