ボーア半径

ボーア半径（​${\displaystyle a_{0}}$は物理定数であり、水素原子の基底状態における原子核と電子間の最も可能性の高い距離にほぼ等しい原子のボーアモデルにおける役割から、ニールス・ボーアにちなんで名付けられた5.291 772 105 44 (82) × 10 ⁻¹¹  m 。^{[ 1 ] [ 2 ]}この単位には「ボーア」という名前も提案された。^{[ 3 ] [ 4 ]}

ボーア半径は次のように定義される^{[ 5 ]}$${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{e^{2}m_{\text{e}}}}={\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c\alpha }},}$$ どこ

• $\displaystyle \varepsilon _{0}}$は自由空間の誘電率です。
• ${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数である。
• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$は電子の質量です。
• ${\displaystyle e}$は基本電荷です。
• ${\displaystyle c}$は真空中の光速であり、
• ${\displaystyle \alpha }$は微細構造定数である。

ボーア半径のCODATA値は5.291 772 105 44 (82) × 10 ⁻¹¹  m ^{‍ [1 ]} ( 52.9177210462–52.9177210626 pm )。 

1913年にニールス・ボーアが提唱した原子構造のボーアモデルでは、電子は静電引力によって中心の原子核の周りを軌道運動する。当初の導出では、電子の軌道角運動量は換算プランク定数の整数倍に制約されると仮定されており、これは発光スペクトルにおける離散的なエネルギー準位の観測とよく一致し、各準位の半径が一定であることを予測した。最も単純な原子である水素では、1つの電子が原子核の周りを軌道運動し、その最小の軌道（エネルギーが最も低い軌道）の軌道半径はボーア半径とほぼ等しい。（換算質量効果のため、厳密にはボーア半径とは等しくなく、約0.05%の差がある。）

ボーアの原子モデルは、1926年に発表されたシュレーディンガー方程式に従う電子波動関数に取って代わられました。これは、スピンと量子真空効果によってさらに複雑になり、微細構造と超微細構造を生み出します。それにもかかわらず、ボーア半径の公式は、基本定数との単純な関係性から、原子物理学の計算において中心的な役割を果たし続けています（これが、前述のように、換算質量ではなく真の電子質量を用いて定義される理由です）。そのため、原子単位系における長さの単位となりました。

シュレーディンガーの水素原子の量子力学理論では、ボーア半径は、電子の位置を観測する動径確率密度が最大となる動径座標の値である。一方、電子の動径距離の期待値は、 ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}a_{0}}$[ ⁶ ]^​​

ボーア半径は、関連する長さのセットの1つであり、他の長さは電子の縮小コンプトン波長（ ）である。${\displaystyle \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\mathrm {e} }}$⁠ )、古典的な電子半径（ ⁠${\displaystyle r_{\mathrm {e} }}$⁠ )、エネルギー1ハートリーの光子の角波長（ ⁠${\displaystyle \hbar c/E_{\text{h}}=1/(4\pi R_{\infty })}$これらの定数のいずれも、微細構造定数を用いて他の定数のいずれかで表すことができる。${\displaystyle \alpha }$⁠ :

${\displaystyle r_{\mathrm {e} }=\alpha \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\mathrm {e} }=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}(\hbar c/E_{\text{h}})。}$

水素原子の換算質量効果を考慮したボーア半径は次のように表される。

${\displaystyle a_{0}^{*}={\frac {m_{\text{e}}}{\mu }}a_{0},}$

どこ${\textstyle \mu =m_{\text{e}}m_{\text{p}}/(m_{\text{e}}+m_{\text{p}})}$は電子-陽子系の換算質量（${\displaystyle m_{\text{p}}}$（は陽子の質量である）。換算質量の使用は、軌道を回る物体の質量が軌道を回る物体の質量に比べて無視できるという近似が成り立たない場合を超えて、古典物理学における二体問題を一般化したものである。電子-陽子系の換算質量は電子の質量よりわずかに小さいため、「換算」ボーア半径はボーア半径（ ）よりわずかに大きくなる。$${\displaystyle a_{0}^{*}\approx 1.00054\,a_{0}\approx 5.2946541\times 10^{-11}}$$⁠ m).

この結果は、ポジトロニウム（陽電子の周りを回る電子）やミューオニウム（反ミューオンの周りを回る電子）などの他の系にも、系の換算質量を用い、電荷の変化を考慮することで一般化できます。通常、ボーアモデルの関係式（半径、エネルギーなど）は、電子の質量を系の換算質量に置き換えるだけで（必要に応じて電荷も調整する）、これらの特殊な系に対して（最低次まで）容易に修正できます。例えば、ポジトロニウムの半径は約⁠${\displaystyle 2\,a_{0}}$⁠、ポジトロニウム系の換算質量は電子質量の半分であるため（ ⁠${\displaystyle \mu _{{\text{e}}^{-},{\text{e}}^{+}}=m_{\text{e}}/2}$⁠ )

水素様原子のボーア半径は主に次の式に比例する。${\displaystyle r_{Z}=a_{0}/Z}$⁠、と⁠${\displaystyle Z}$は原子核内の陽子の数である。一方、換算質量（${\displaystyle \mu }$⁠ ) は⁠によってより良く近似されるだけである${\displaystyle m_{\text{e}}}$原子核質量が増加する極限において、これらの結果は次の式にまとめられます。

${\displaystyle r_{Z,\mu }={\frac {m_{\text{e}}}{\mu }}{\frac {a_{0}}{Z}}.}$

近似的な関係式をまとめた表を以下に示します。

• ボーア磁子
• リュードベリエネルギー

• 物理学における長さスケール：ボーア半径