クラスター分解

物理学において、クラスター分解特性とは、離れた場所で行われた実験は互いに影響を及ぼし合わないという性質のことである。通常、量子場の理論に適用され、境界のある領域に局在する演算子の真空期待値は、これらの領域が互いに十分に離れると必ず因数分解されることを要求する。1963年にEyvind Wichmannと James H. Crichton によってS行列のコンテキストで初めて定式化され^[1]、Steven Weinbergによって、低エネルギー極限ではクラスター分解特性がローレンツ不変性および量子力学とともに必然的に量子場の理論につながると推測された。弦理論は3 つの条件をすべて満たしているため、すべてのエネルギー スケールでこれが真であるという反例を提供している。^[2]

S行列は、初期状態 から最終状態 へと発展する過程の振幅を表します。初期状態と最終状態が とが互いに近いが と からは遠い2 つのクラスターで構成されている場合、クラスター分解プロパティにより、S行列 は${\displaystyle S_{\beta \alpha}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \beta _{2}}$

${\displaystyle S_{\beta \alpha }\rightarrow S_{\beta _{1}\alpha _{1}}S_{\beta _{2}\alpha _{2}}}$

2つのクラスター間の距離が増加するにつれて、クラスター分解特性は、2つのクラスター間の距離が増加するにつれて増加する。これを物理的に解釈すると、空間的に十分に離れた任意の2つの実験は、互いに影響を及ぼし合うことができない。[3] この条件は、宇宙全体の状態を知らなくても物理学を行う能力にとって基本的なものである。S行列を、接続されたS行列要素^の積の合計に展開すると、摂動レベルでは接続されたファインマン図と同等になり、クラスター分解特性は、粒子のクラスターの一部が互いに離れている場合は常に、接続されたS行列要素が消えなければならないことを要求していると言い換えることができる。 ${\displaystyle \alpha _{1}\rightarrow \beta _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}\rightarrow \beta _{2}}$${\displaystyle S_{\beta \alpha}^{c}}$

この位置空間定式化は、運動量空間 S行列の観点から再定式化することもできる。^[4]フーリエ変換により位置空間に接続されたS行列が得られるため、これは指数項を通じて位置のみに依存する。したがって、粒子のサブセットに対して一方向への一様な平行移動を実行すると、運動量空間S行列は次の ように変化する。${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}\xrightarrow {{\boldsymbol {x}}_{i}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{i}+{\boldsymbol {a}}} e^{i{\boldsymbol {a}}\cdot (\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i})}{\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}.}$

並進不変性により、すべての粒子の並進はS行列を変えることができないため、並進指数因子が消えることを保証するには、運動量を保存するデルタ関数に比例する必要があります。粒子のいくつかのクラスターに対応する運動量のサブセットのみの追加のデルタ関数がある場合、このクラスターは、クラスター分解に違反するS行列を変更することなく、並進によって任意の距離に移動できます。つまり、運動量空間では、この特性により、S行列には単一のデルタ関数のみが必要になります。 ${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }}$ ${\displaystyle \delta (\Sigma {\boldsymbol {p}})}$

クラスター分解は相関関数で定式化することもできる。相関関数では、ある領域に局在する任意の2つの演算子とに対して、真空の期待値は2つの演算子が離れるにつれて因数分解される。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}(x)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}(x)}$

${\displaystyle \lim _{|{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty }\langle {\mathcal {O}}_{1}({\boldsymbol {x}}){\mathcal {O}} _{2}(0)\rangle \rightarrow \langle {\mathcal {O}}_{1}\rangle \langle {\mathcal {O}}_{2}\rangle .}$

この定式化により、共形場理論などのS行列を持たない理論にこの性質を適用することができる。この性質は、通常、公理的な量子場理論でこれらのワイトマン関数に基づいて定式化される。^{[5]ユークリッド}構成的場理論などのいくつかの定式化では、この性質は公理として明示的に導入される。^[6]

理論が生成演算子と消滅演算子から構築される場合、クラスター分解特性が自動的に保持されます。これは、S行列をファインマン図の和として展開することで確認でき、これにより、接続されたS行列要素を接続されたファインマン図で識別できます。生成演算子と消滅演算子が互いに交換して単一の運動量デルタ関数が残るたびに、頂点が発生します。V 個の頂点、I 個の内部線、および L 個のループを持つ接続された図では、デルタ関数の IL が内部運動量を固定し、V-(IL) デルタ関数は固定されません。オイラーの公式の形式では、C 個の互いに素な接続コンポーネントを持つグラフは C = V-I+L を満たします。接続されたS行列要素は C=1 の図に対応するため、これらには単一のデルタ関数しかなく、したがって、運動量空間でデルタ関数に関して上で定式化されたクラスター分解特性が保持されます。

ミクロ因果性、すなわち局所演算子の交換関係が空間的分離に対して消滅することを要求する局所条件は、 S行列がクラスター分解を満たすための十分条件である。この意味で、クラスター分解は、ミクロ因果性が場に対して果たすのと同様の目的をS行列に対して果たし、遠く離れた領域間で因果関係の影響が伝播するのを防ぐ。^[7]しかし、クラスター分解は、古典理論に対しても定式化できるため、超光速因果関係がないよりも弱い。 ^[8]

クラスター分解の重要な要件の 1 つは、一意の真空状態が必要であることです。真空状態が混合状態である場合はクラスター分解は失敗します。 ^[9]相関関数が因数分解される速度は理論のスペクトルに依存し、質量ギャップが質量の場合は指数関数的に減少しますが、質量のない粒子が存在する場合は まで遅くなる可能性があります。^[10]${\displaystyle m}$${\displaystyle \langle \phi (x)\phi (0)\rangle \sim e^{-m|x|}}$${\displaystyle 1/|x|^{2}}$