射影ヒルベルト空間

数学および量子力学の基礎において、複素ヒルベルト空間の射影ヒルベルト空間または光線空間は 、非ゼロベクトルの同値類の集合であり、上の同値関係は次のよう に与えられる。${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle [v]}$${\displaystyle v\in H}$ ${\displaystyle \sim}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle w\sim v}$ゼロでない複素数 に対して の場合に限ります。${\displaystyle v=\lambda w}$${\displaystyle \lambda}$

これは複素ヒルベルト空間に適用される射影化の通常の構成である。 ^[1]量子力学では、同値類は光線または射影光線とも呼ばれる。 ${\displaystyle [v]}$

射影ヒルベルト空間の物理的な意味は、量子論において、波動関数 と が任意の に対して同じ物理的状態 を表すことです。ボルンの規則によれば、系が物理的かつ測定可能な場合、その波動関数は単位ノルムを持ち、その場合、正規化波動関数と呼ばれます。単位ノルム制約は、光線内で を完全には決定しません。これは、 に絶対値が1 の任意の を乗算でき(円群作用)、その正規化を保持できるためです。このような は、グローバル位相と呼ばれるで と表記できます。 ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \lambda \psi}$${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda =e^{i\phi }}$${\displaystyle \phi}$

このように が異なる光線は、同じ状態に対応します (観測可能なC* 代数と 上の表現が与えられた場合、量子状態 (代数的定義)を参照)。測定によって光線の位相を回復することはできません。光線は観測可能ではありません。 は第一種の ゲージ群であると言われています。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U(1)}$

が観測量の代数の既約表現である場合、光線は純粋状態を誘導します。光線の凸線形結合は自然に密度行列を生じ、これは（既約表現の場合でも）混合状態に対応します。 ${\displaystyle H}$

が有限次元の場合、すなわち、ヒルベルト空間は有限次元の内積空間に縮約され、射影光線の集合は複素射影空間として扱うことができる。これはユニタリ群の同次空間である。つまり、 ${\displaystyle H}$${\displaystyle H=H_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$

${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$、

これはヒルベルト空間のノルムから導かれるフビニ・スタディ計量と呼ばれるケーラー計量を持つ。 ^{[2] [3]}

したがって、例えば2次元複素ヒルベルト空間（1つの量子ビットを記述する空間）の射影化は複素射影直線 である。これはブロッホ球面または同等のリーマン球面として知られている。この場合の射影化構成の詳細については ホップファイバ化を参照のこと。${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$

射影ヒルベルト空間の直積は射影空間ではありません。セグレ写像は、2 つの射影空間の直積を、 で与えられる 2 つのヒルベルト空間のテンソル積に関連付けられた射影空間に埋め込むことです。量子論では、これは複合システムの状態をその構成要素の状態から作成する方法を説明します。これは単なる埋め込みであり、全射ではありません。テンソル積空間のほとんどはその範囲にはなく、エンタングルメント状態を表します。 ${\displaystyle \mathbf {P} (H)\times \mathbf {P} (H')\to \mathbf {P} (H\otimes H'),([x],[y])\mapsto [x \時々y]}$

• 複素射影空間
• 射影表現
• 射影空間、一般的な概念

• Ashtekar, Abhay; Schilling, Troy A. (1999). 「量子力学の幾何学的定式化」.アインシュタインの道. ニューヨーク、NY: Springer New York. arXiv : gr-qc/9706069 . doi :10.1007/978-1-4612-1422-9_3. ISBN 978-1-4612-7137-6。
• Cirelli, R; Lanzavecchia, P; Mania, A (1983). 「ケーラー多様体としての有界演算子のフォン・ノイマン代数の正規純粋状態」. Journal of Physics A: Mathematical and General . 16 (16). IOP Publishing: 3829–3835. Bibcode :1983JPhA...16.3829C. doi :10.1088/0305-4470/16/16/020. ISSN  0305-4470.
• Kong, Otto CW; Liu, Wei-Yin (2021). 「量子位相空間の非可換座標像」. Chinese Journal of Physics . 71. Elsevier BV: 418. arXiv : 1903.11962 . Bibcode :2021ChJPh..71..418K. doi :10.1016/j.cjph.2021.03.014. S2CID  85543324.
• ミランダ、リック (1995)。代数曲線とリーマン面。プロビデンス (RI): アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0268-2。