アインシュタイン場の方程式

一般相対性理論では、アインシュタイン場方程式（EFE 、アインシュタイン方程式とも呼ばれる）は時空の幾何学とその中の物質の分布を関連付けます。^[1]

これらの方程式は、 1915年にアルバート・アインシュタインによってテンソル方程式^[2]の形で発表され、局所的な時空の曲率（アインシュタインテンソル）とその時空内の局所的なエネルギー、運動量、応力（応力エネルギーテンソル）^[3]

電磁場がマクスウェル方程式を介して電荷と電流の分布に関連付けられるのと同様に、EFE は時空ジオメトリを質量、エネルギー、運動量、応力の分布に関連付けます。つまり、 EFE は時空内の応力、エネルギー、運動量の特定の配置に対して時空の計量テンソルを決定します。計量テンソルとアインシュタイン テンソルの関係により、このように使用すると、EFE を非線形偏微分方程式の集合として記述できます。EFE の解は計量テンソルの要素です。結果として得られるジオメトリ内の粒子と放射線の慣性軌道 (測地線) は、測地線方程式を使用して計算されます。

EFEは局所的なエネルギー運動量保存則を意味するだけでなく、弱い重力場と光速よりもはるかに遅い速度の極限においてニュートンの万有引力の法則に帰着します。^[4]

EFE の厳密な解は、対称性などの単純化された仮定の下でのみ見つけることができます。回転するブラックホールや膨張する宇宙など、多くの重力現象をモデル化するため、特別なクラスの厳密な解が最も頻繁に研究されています。時空を平坦な時空からのわずかな偏差のみを持つものとして近似することで、さらに単純化され、線形化された EFEが得られます。これらの方程式は、重力波などの現象を研究するために使用されます。

アインシュタイン場方程式（EFE）は次のように表される：^{[5] [1]}

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

ここで、はアインシュタインテンソル、は計量テンソル、は応力エネルギーテンソル、は宇宙定数、はアインシュタインの重力定数です。 ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle T_{\mu \nu }}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \kappa }$

アインシュタインテンソルは次のように定義される。

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },}$

ここで、はリッチ曲率テンソル、 はスカラー曲率です。 これは、計量​​テンソルとその 1 次および 2 次導関数のみに依存する対称 2 次テンソルです。 ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$${\displaystyle R}$

アインシュタインの重力定数は次のように定義される^{[6] [7]}

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},}$または${\displaystyle {\textrm {m/J}},}$

ここで、G はニュートンの万有引力定数、c は真空中の光の速度です。

EFEは次のようにも書ける。

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.}$

標準単位では、左側の各項の単位は 1/長さ²です。

左側の式は、計量によって決定される時空の曲率を表し、右側の式は時空の応力、エネルギー、運動量の内容を表します。したがって、EFE は、応力、エネルギー、運動量によって時空の曲率がどのように決定されるかを示す一連の方程式として解釈できます。

これらの方程式は、自由落下する物質が時空をどのように移動するかを規定する測地線方程式^[8]とともに、一般相対性理論の数学的定式化の中核を形成しています。

EFE は、対称な 4 × 4 テンソルのセットを関連付けるテンソル方程式です。各テンソルには 10 個の独立したコンポーネントがあります。4 つのビアンキ恒等式により、独立した方程式の数が 10 個から 6 個に減り、計量には 4 つのゲージ固定 自由度が残ります。これは、座標系を選択する自由度に対応します。

アインシュタイン場の方程式は当初4次元理論の文脈で定式化されたが、一部の理論家はn次元での結果を研究してきた。^[9]一般相対性理論以外の文脈における方程式は、依然としてアインシュタイン場の方程式と呼ばれている。真空場の方程式（T _μνがどこでもゼロのときに得られる）は、アインシュタイン多様体を定義する。

方程式は見た目よりも複雑です。物質とエネルギーの分布が応力エネルギーテンソルの形で指定されている場合、EFEは計量テンソルの方程式であると理解されます。これは、リッチテンソルとスカラー曲率の両方が複雑な非線形方法で計量に依存するためです。完全に書き出すと、EFEは10個の結合した非線形双曲型楕円偏微分方程式のシステムです。^[10]${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

上記のEFEの形式は、ミスナー、ソーン、ウィーラー（MTW）によって確立された標準です。 ^[11]著者らは、既存の慣習を分析し、これらを3つの兆候（[S1] [S2] [S3]）に従って分類しました。

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$$

上記の 3 番目の記号は、リッチ テンソルの規則の選択に関連しています。 $${\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}$$

これらの定義では、ミスナー、ソーン、ウィーラーは自身を(+ + +)と分類しているが、ワインバーグ (1972) ^[12]は(+ − −)、ピーブルズ (1980) ^[13]およびエフスタティウら (1990) ^[14]は(− + +)、リンドラー (1977) ^{[引用が必要]}アトウォーター (1974) ^{[引用が必要]}コリンズ・マーティン & スクワイアズ (1989) ^[15]およびピーコック (1999) ^[16]は(− + −)である。

アインシュタインを含む著者は、リッチテンソルの定義で異なる符号を使用しており、その結果、右側の定数の符号は負になります。 $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}$$

ここで採用されている MTW (− + + +)メトリック符号規則ではなく、(+ − − −)メトリック符号規則を使用すると、これら両方のバージョンで宇宙項の符号が変わります。

EFE の両辺の メトリックに関するトレースをとると、次の式が得られます。 ここで、Dは時空次元です。Rを解き、これを元の EFE に代入すると、次の同等の「トレース反転」形式が得られます。 $${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,}$$$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).}$$

D = 4次元 では、これは次のように簡約される。$${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).}$$

トレースを再度反転すると、元の EFE が復元されます。トレース反転形式は、場合によってはより便利なことがあります (たとえば、弱場の極限に関心があり、精度を大幅に損なうことなく右側の式をミンコフスキー計量に置き換えることができる場合など)。 ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

アインシュタインの場の方程式では、 彼が最初に発表したバージョンには宇宙定数Λを 含む項がありませんでした。その後、アインシュタインは膨張も収縮もしていない宇宙を想定するために、この項を宇宙定数に含めました。この試みは、次の理由で失敗しました。 $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$$

• この式で記述される任意の望ましい定常解は不安定であり、
• エドウィン・ハッブルの観測により、宇宙は膨張していることが示されました。

その後、アインシュタインはΛを放棄し、ジョージ・ガモフに「宇宙項の導入は彼の生涯最大の失敗だった」と述べた。^[17]

この項を含めても矛盾は生じない。長年、宇宙定数はほぼ普遍的にゼロであると想定されてきた。最近の天文学的観測では宇宙の加速膨張が示されており、これを説明するにはΛの正の値が必要である。^{[18] [19]}銀河規模またはそれより小さい規模では宇宙定数の影響は無視できる。

アインシュタインは宇宙定数を独立したパラメータとして考えていましたが、場の方程式におけるその項は代数的に反対側に移動して、応力エネルギーテンソルの一部として組み込むこともできます。 $${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}$$

このテンソルは、エネルギー密度ρ _vacと等方性圧力p _{vac が}固定定数で与えられる 真空状態を表します。 ここで、Λ のSI 単位は m ⁻²であり、κ は上記のように定義されていると仮定します。 $${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},}$$

したがって、宇宙定数の存在は、真空エネルギーと反対符号の圧力の存在と同等です。このため、一般相対性理論では「宇宙定数」と「真空エネルギー」という用語が同じ意味で使用されています。

一般相対性理論は、エネルギーと運動量の局所的保存則と一致し、次のように表現される。

$${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}$$

これは、応力エネルギーの局所的な保存を表します。この保存則は物理的な要件です。アインシュタインは場の方程式によって、一般相対性理論がこの保存条件と一致することを保証しました。

EFE の非線形性は、一般相対性理論を他の多くの基礎物理理論と区別するものです。たとえば、マクスウェルの電磁気学方程式は、電場と磁場、および電荷と電流の分布において線形です(つまり、2 つの解の合計も解になります)。別の例としては、量子力学のシュレーディンガー方程式があり、これは波動関数において線形です。

EFE は、弱場近似とスローモーション近似の両方を使用して、ニュートンの重力法則に簡約されます。実際、EFE に現れる定数G は、これら 2 つの近似を行うことで決定されます。

エネルギー運動量テンソルT _μνが対象領域でゼロの場合、場の方程式は真空場方程式とも呼ばれます。トレース反転場方程式でT _μν = 0と設定すると、真空場方程式（別名「アインシュタイン真空方程式」（EVE））は次のように表すことができます。 $${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}$$

宇宙定数がゼロでない場合、方程式は $${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}$$

真空場方程式の解は真空解と呼ばれます。平坦なミンコフスキー空間は真空解の最も単純な例です。重要な例としては、シュワルツシルト解やカー解などがあります。

ゼロのリッチテンソルR _μν = 0を持つ多様体はリッチ平坦多様体と呼ばれ、計量に比例するリッチテンソルを持つ多様体はアインシュタイン多様体と呼ばれます。

エネルギー運動量テンソルT _{μν が}自由空間内の電磁場のテンソルである場合、つまり電磁応力エネルギーテンソルが使用される場合、アインシュタイン場の方程式はアインシュタイン-マクスウェル方程式 と呼ばれます（従来の相対性理論では宇宙定数Λはゼロとされています）。 $${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$$ $${\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$$

さらに、共変マクスウェル方程式は自由空間にも適用できる。 ここで、セミコロンは共変微分を表し、括弧は反対称化を表す。最初の方程式は、2形式Fの4-発散がゼロであることを主張し、2番目の方程式は、その外導関数がゼロであると主張する。後者から、ポアンカレの補題により、座標チャートに、コンマが偏微分を表す電磁場ポテンシャルA _αを導入することが可能であること が分かる。これは、その方程式が導出された共変マクスウェル方程式と同等であるとしばしばみなされる。^[20]しかし、方程式のグローバル解には、グローバルに定義されたポテンシャルがない可能性がある。^[21]$${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }}$$

アインシュタイン場の方程式の解は時空の計量である。これらの計量は時空内の物体の慣性運動を含む時空の構造を記述する。場の方程式は非線形であるため、常に完全に解けるとは限らない（つまり近似を行わずに）。例えば、2つの巨大な物体が存在する時空（例えば連星系の理論モデル）の完全な解は知られていない。しかし、このような場合には通常近似が行われる。これらは一般にポストニュートン近似と呼ばれる。それでも、場の方程式が完全に解かれたケースがいくつかあり、それらは厳密解と呼ばれている。^[9]

アインシュタインの場の方程式の厳密な解の研究は宇宙論の研究のひとつで、ブラックホールの予測や宇宙の進化のさまざまなモデルにつながります。

また、エリスとマッカラムが開拓した正規直交フレーム法によって、アインシュタイン場の方程式の新しい解を発見することもできる。^[22]このアプローチでは、アインシュタイン場の方程式は、結合した非線形の常微分方程式のセットに還元される。スーとウェインライトが論じたように、^[23]アインシュタイン場の方程式の自己相似解は、結果として得られる動的システムの固定点である。これらの方法を使用して、ルブラン^[24]とコーリとハスラム^[25]によって新しい解が発見されている。

EFE の非線形性により、正確な解を見つけることは困難です。場の方程式を解く 1 つの方法は、近似を行うことです。つまり、重力物質の源から遠く離れると、重力場は非常に弱くなり、時空はミンコフスキー空間のそれに近似します。すると、計量は、ミンコフスキー計量と、高次項を無視して、真の計量のミンコフスキー計量からの偏差を表す項の合計として表されます。この線形化手順は、重力放射の現象を調べるために使用できます。

EFE は計量テンソルの逆数を含んでいるが、計量テンソルを多項式形式で含み、逆数を含まない形で配置することもできる。まず、4 次元の計量の行列式は、 レヴィ・チヴィタ記号 を使用して記述でき、4 次元の計量の逆数は次のように記述できる。 $${\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}$$$${\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}$$

この計量の逆表現を方程式に代入し、両辺にdet( g )の適切なべきを掛けて分母からそれを消去すると、計量テンソルとその1次および2次導関数の多項式方程式が得られる。方程式が導出されるアインシュタイン-ヒルベルト作用も、フィールドを適切に再定義することで多項式形式で表すことができる。^[26]

一般相対性理論のリソースを参照してください。

• ミスナー、チャールズ W. ;ソーン、キップ S. ;ウィーラー、ジョン アーチボルド(1973)。『重力』サンフランシスコ: WH フリーマン。ISBN 978-0-7167-0344-0。
• ワインバーグ、スティーブン（1972）。重力と宇宙論。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-92567-5。
• ピーコック、ジョン A. (1999)。宇宙物理学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521410724。

ウィキブックスには一般相対性理論に関する本があります。

ウィキバーシティには一般相対性理論に関する学習リソースがあります

• 「アインシュタイン方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 相対性理論に関する Caltech チュートリアル — アインシュタインの場の方程式の簡単な紹介。
• アインシュタインの方程式の意味 — アインシュタインの場の方程式、その導出、そしてその結果のいくつかの説明
• MIT物理学教授エドモンド・バーツィンガーによるアインシュタインの場方程式に関するビデオ講義。
• アーチと足場: アインシュタインが場の方程式を発見した方法 Physics Today 2015年11月号、場の方程式の発展の歴史

• ライデン中心部のブールハーヴェ博物館の壁に描かれたアインシュタインの場の方程式
• スザンヌ・インバー、「アタカマ砂漠における一般相対性理論の影響」、ボリビアの列車の側面に書かれたアインシュタインの場の方程式。