ヤコビ多項式

数学 において、ヤコビ多項式（超幾何多項式と呼ばれることもある）は、古典的な直交多項式 の一種である。これらは区間の重みに関して直交している 。ゲーゲンバウアー多項式、そしてルジャンドル多項式、ゼルニケ多項式、チェビシェフ多項式もヤコビ多項式の特殊なケースである。^[1]${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$ ${\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$${\displaystyle [-1,1]}$

ヤコビ多項式は、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビによって導入されました。

ヤコビ多項式は超幾何関数によって次のように定義される: ^[2]

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),}$

ここで、はポッホハマーの記号（下降階乗） です。この場合、超幾何関数の級数は有限なので、次の同等の式が得られます。${\displaystyle (\alpha +1)_{n}}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.}$

同等の定義はロドリゲスの公式によって与えられる：^{[1] [3]}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}}.}$

ならば、それはルジャンドル多項式に簡約されます。 ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$

${\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2 }-1)^{n}\;.}$

実際、ヤコビ多項式は次のようにも書ける。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose ns}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{ns}}$

整数の場合${\displaystyle n}$

${\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}}$

ここでガンマ関数です。 ${\displaystyle \Gamma (z)}$

4つの量、、が 非負の整数である特別な場合には、ヤコビ多項式は次のように表される 。${\displaystyle n}$${\displaystyle n+\alpha }$${\displaystyle n+\beta }$${\displaystyle n+\alpha +\beta }$

和は、階乗の引数が非負であるすべての整数値に及びます。 ${\displaystyle s}$

${\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,}$

${\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}},}$

${\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{2}.}$

ヤコビ多項式は直交条件を満たす

${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1.}$

定義されているように、これらは重みに関して単位ノルムを持ちません。これは、 の場合、上の式の右辺の平方根で割ることで修正できます。 ${\displaystyle n=m}$

正規直交基底は得られませんが、その単純さから代替の正規化が好まれることがあります。

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}$

多項式は対称関係にある

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}$

したがって、もう一方の終端値は

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$

明示的な表現の 階微分は次式となる 。${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}$

ヤコビ多項式は2階線形同次微分方程式の解である^[1]${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.}$

を固定したヤコビ多項式の再帰関係は^[1]である。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}}$

簡潔に書くと 、これは次のように表される。${\displaystyle n=2,3,\ldots }$${\displaystyle a:=n+\alpha }$${\displaystyle b:=n+\beta }$${\displaystyle c:=a+b=2n+\alpha +\beta }$${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle 2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z).}$

ヤコビ多項式は超幾何関数で記述できるため、超幾何関数の回帰式はヤコビ多項式の回帰式と同等である。特に、ガウスの連続関係は恒等式に対応する。

${\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta \right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)}\right)\,.\end{aligned}}}$

ヤコビ多項式の生成関数は次のように与え られる。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },}$

どこ

${\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~,}$

そして平方根の枝は次のように選ばれる。^[1]${\displaystyle R(z,0)=1}$

の内部において、が大きい場合のの漸近線はダルブーの公式^{[1]で与えられる。}${\displaystyle x}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k(\theta )\cos(N\theta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}}\right),}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}},\\N&=n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{\tfrac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\tfrac {1}{2}}\right),\\0<\theta &<\pi \end{aligned}}}$

そして、" " 項は、すべての に対して区間上で一様です。 ${\displaystyle O}$${\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

点付近のヤコビ多項式の漸近挙動はメーラー・ハイネの公式で与えられる。${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}}$

ここで、境界のある領域における限界値は一様です。 ${\displaystyle z}$

外側の漸近線はそれほど明確ではありません。 ${\displaystyle [-1,1]}$

式（１ ）は、ウィグナーd行列 （に対して）をヤコビ多項式で表すことができる： ^[4]${\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi )}$${\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }$

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-m}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}$

どこ。 ${\displaystyle M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|)}$

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