ヌルベクトル

数学において、ベクトル空間 Xとそれに関連する二次形式 q （X、q）と表記されるものが与えられたとき、ヌルベクトルまたは等方性ベクトルは、 q ( x ) = 0となるXの非ゼロ要素xです。

実 双線型形式の理論では、定常二次形式と等方二次形式は区別されます。これらは、後者にのみ非ゼロのヌルベクトルが存在するという点で区別されます。

ヌルベクトルを持つ二次空間 ( X , q ) は擬ユークリッド空間と呼ばれます。q ( v ) = 0のときの等方性ベクトル vという用語は二次空間で使用され、^{[1]ヌルベクトルのない二次空間に対しては}異方性空間と呼ばれます。

擬似ユークリッドベクトル空間は、直交部分空間 AとBに（一意ではないが）分解できます。X = A + B。ここで、q はA上で正定値、 B上で負定値です。Xのヌル円錐、または等方性円錐は、バランスの取れた球面の和集合で構成されます。 ヌル円錐は、原点を通る 等方性の直線 の和集合でもあります。$${\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,\ \ a,b\in B\}.}$$

ヌルベクトルを持つ合成代数は分割代数である。^[2]

合成代数( A , +, ×, *)では、二次形式は q( x ) = xx * です。xがヌルベクトルの場合、 xの逆数は存在せず、x ≠ 0 なので、A は除算代数ではありません。

ケイリー・ディクソン構成では、複素数体 をこの倍加構成の基礎として使用する、複素複素数、双四元数、双四元数の級数に分割代数が生じます ( LE ディクソン(1919) による)。特に、これらの代数には 2 つの虚数単位があり、それらは可換であるため、それらの積を 2 乗すると +1 になります。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle (hi)^{2}=h^{2}i^{2}=(-1)(-1)=+1.}$それから

${\displaystyle (1+hi)(1+hi)^{*}=(1+hi)(1-hi)=1-(hi)^{2}=0}$したがって、1 + hi はヌルベクトルになります。

実数部分代数、分割複素数、分割四元数、分割八元数は、そのヌル円錐が 0 ∈ Aに出入りする光の追跡を表しており、時空トポロジーを示唆しています。

ミンコフスキー空間の光のようなベクトルはヌルベクトルです。

4つの線形独立な 双四元数 l = 1 + hi、n = 1 + hj、m = 1 + hk、m ^∗ = 1 – hkはヌルベクトルであり、{ l、n、m、m ^∗ }は時空を表すために使用される部分空間の基底として機能します。ヌルベクトルは、時空多様体に対するニューマン-ペンローズ形式論のアプローチでも使用されます。^[3]

リー代数のVerma モジュールにはヌル ベクトルが存在します。

• Dubrovin, BA; Fomenko, AT ; Novikov, SP (1984).現代幾何学: 方法と応用. Burns, Robert G. Springer 訳. p. 50. ISBN 0-387-90872-2。
• ショー、ロナルド (1982)。線形代数と群表現。第 1 巻。アカデミック プレス。p. 151。ISBN 0-12-639201-3。
• ネヴィル、EH（エリック・ハロルド）（1922）。『3次元異方性​​ユークリッド空間における解析幾何学序説』ケンブリッジ大学出版局、p.204。