平方（代数）

数学では、平方とは数をその数自身で乗じた結果です。この演算を表すのに「平方する」という動詞が使われます。平方は2乗 することと同じで、上付き文字の 2 で表されます。たとえば、 3 の平方は 3 ²と書かれ、これは数字の 9 です。プログラミング言語やプレーンテキストファイルなど上付き文字が使用できない場合は、 の代わりに(キャレット) または の表記法が使用されることがあります。平方に対応する形容詞はquadraticです。 x^2x**2x²

整数の二乗は、平方数または完全平方とも呼ばれます。代数学では、二乗の演算は、多項式、その他の式、または数値以外の数学的値のシステムの値に一般化されることがよくあります。たとえば、線形多項式 x + 1の二乗は、二次多項式 ( x + 1) ² = x ² + 2 x + 1です。

数だけでなく他の多くの数学システムでも、平方の重要な性質の 1 つは、(すべての数xに対して) xの平方はその加法逆数 − xの平方に等しいということです。つまり、平方関数はx ² = (− x ) ²という恒等式を満たします。これは、平方関数が偶関数であるとも表現できます。

二乗演算は、と呼ばれる実関数を定義します。平方関数または二乗関数。その定義域は実数直線全体であり、その像は非負の実数の集合である。

自乗関数は正の数の順序を保存します。つまり、数が大きいほど自乗も大きくなります。言い換えると、自乗は区間[0, +∞)上で単調関数です。負の数では、絶対値が大きい数の自乗も大きくなるため、自乗は(−∞,0]上で単調減少関数です。したがって、ゼロは自乗関数の（グローバル）最小値です。数xの自乗x ²がxより小さい（つまりx ² < x）のは、0 < x < 1の場合、つまりx が開区間(0,1)に属する場合のみです。これは、整数の自乗が元の数xより小さくなることはないことを意味します。

すべての正の実数は、厳密に 2 つの数の平方です。そのうちの 1 つは厳密に正で、もう 1 つは厳密に負です。ゼロは、1 つの数、つまりゼロ自身の平方です。このため、平方根関数を定義することができます。この関数は、負でない実数に、その平方が元の数である負でない数を関連付けます。

実数体系では、負の数の平方根は取れません。なぜなら、すべての実数の平方は非負だからです。負の数に実数の平方根がないことは、虚数単位i (これは -1 の平方根の 1 つです) を仮定することで、実数体系を複素数に拡張するために使用できます。

「すべての非負の実数は平方である」という性質は、実閉体の概念に一般化されている。実閉体とは、すべての非負の元が平方であり、奇数次のすべての多項式が根を持つような順序付き体である。実閉体は、その代数的性質によって実数体と区別することはできない。実数のすべての性質は、一階述語論理（つまり、∀ または ∃ によって量化された変数が集合ではなく元を表す式によって表現される）で表現することができ、すべての実閉体に対して真であり、逆に、特定の実閉体に対して真である一階述語論理のすべての性質は、実数に対しても真である。

幾何学では平方関数の主な用途がいくつかあります。

平方関数という名前は、面積の定義におけるその重要性を示しています。これは、長さ  lの辺を持つ正方形の面積がl ²に等しいという事実に由来しています。面積は大きさの 2 乗に依存します。つまり、 n 倍大きい図形の面積はn ²倍大きくなります。これは、平面だけでなく 3 次元の面積にも当てはまります。たとえば、球 の表面積はその半径の 2 乗に比例しますが、これは、重力などの物理的な力の強さが距離に応じてどのように変化するかを説明する逆 2 乗の法則によって物理的に明らかになります。

平方関数は、ピタゴラスの定理とその一般化である平行四辺形の法則を通じて距離と関連しています。ユークリッド距離は滑らかな関数ではありません。固定点からの距離の3 次元グラフは円錐を形成し、円錐の先端には滑らかでない点があります。ただし、グラフが放物面である距離の平方 ( d ²またはr ²で示される) は、滑らかで解析的な関数です。

ユークリッドベクトルとそれ自身のドット積は、その長さの2乗に等しくなります。つまり、 v ⋅ v = v ²です。これは、内積を介して線形空間の2次形式にさらに一般化されます。力学における慣性テンソルは、2次形式の例です。これは、慣性モーメントとサイズ（長さ）の2次関係を示しています。

ピタゴラスの三つ組、つまり最初の二つの正の整数の平方の合計が三番目の正の整数の平方に等しい三つ組は 無限に存在します。これらの三つ組はそれぞれ、直角三角形の整数辺になります。

平方関数は任意の体または環で定義されます。この関数の像の元は平方と呼ばれ、平方の逆像は平方根と呼ばれます。

平方の概念は、奇数の素数pを法とする数によって形成される有限体 Z / p Zにおいて特に重要です。この体の非ゼロ元は、 Z / p Zの平方である場合は平方剰余と呼ばれ、そうでない場合は平方非剰余と呼ばれます。ゼロは平方ですが、平方剰余とは見なされません。このタイプのすべての有限体には、ちょうど( p − 1)/2 個の平方剰余とちょうど( p − 1)/2個の平方非剰余があります。平方剰余は乗法の下で群を形成します。平方剰余の性質は、数論で広く使用されています。

より一般的には、環において、平方関数は環を分類するために使用されることがあるさまざまな特性を持つ場合があります。

ゼロは、ゼロでない元の平方である場合があります。ゼロでない元の平方がゼロにならないような可換環は、被約環と呼ばれます。より一般的には、可換環において、根基イデアルは、が成り立つようなイデアル Iです。ヒルベルトの零点定理のため、両方の概念は代数幾何学において重要です。 ${\displaystyle x^{2}\in I}$${\displaystyle x\in I}$

環の元がその環自身の平方に等しい場合、その元はべき等元と呼ばれます。どの環でも、0 と 1 はべき等元です。体およびより一般的には整域には、他のべき等性は存在しません。ただし、 n を法とする整数の環には2 k 個^のべき等性があります。ここで、 k はnの 異なる素因数の数です。すべての要素がその平方に等しい (すべての要素がべき等である) 可換環はブール環と呼ばれます。コンピューター サイエンスの例としては、要素が2 進数で、乗算演算がビット単位の AND、加算演算がビット単位の XOR である環があります。

全順序環では、任意のxに対してx ² ≥ 0 が成り立ちます。さらに、x ² = 0となるのは、 x = 0 のときのみです 。

2 が可逆な超可換代数では、任意の奇数の元の平方はゼロになります。

Aが可換半群であれば、

${\displaystyle \forall x,y\in A\quad (xy)^{2}=xyxy=xxyy=x^{2}y^{2}.}$

二次形式の言語では、この等式は、平方関数が「合成を可能にする形式」であることを示しています。実際、平方関数は、合成を可能にする他の二次形式を構築するための基礎です。この手順は、倍加によって四元数から八元数を生成するために、 LE Dicksonによって導入されました。倍加法は、AA Albertによって形式化されました。彼は、実数体と平方関数から始めて、それを倍加して二次形式x ² + y ²の複素数体を取得し、次に再度倍加して四元数を取得しました。倍加手順はCayley–Dickson 構成と呼ばれ、反転を含む体F上の次元 2 ⁿの代数を形成するために一般化されています。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

平方関数z ^{2 は}合成代数 の「ノルム」であり、恒等関数は単純な反転を形成してケイリー・ディクソン構成を開始し、双複素数、双四元数、双四元数の合成代数につながります。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

複素数では、平方関数は、各非ゼロ複素数がちょうど 2 つの平方根を持つという意味で 二重被覆です。${\displaystyle z\to z^{2}}$

複素数の絶対値の二乗は、絶対二乗、二乗係数、二乗絶対値と呼ばれます。^{[1] [より適切な出典が必要]} これは複素数とその複素共役の積であり、複素数の実部と虚部の二乗の和に等しくなります。

複素数の絶対値の二乗は常に非負の実数であり、複素数がゼロの場合にのみゼロになります。絶対値の二乗は絶対値よりも計算が簡単で (平方根が不要)、滑らかな 実数値関数です。この 2 つの特性のため、明示的な計算や数学的解析手法 (最適化や積分など) が関係する場合、絶対値よりも絶対値​​の二乗が好まれることがよくあります。

複素ベクトルの場合、共役転置を含むドット積を定義して、ノルムの二乗を得ることができます。

正方形は代数学、より一般的には数学のほぼすべての分野で広く使われており、また、多くの単位が正方形と逆正方形を使用して定義される物理学でも使用されています。以下を参照してください。

最小二乗法は過剰決定システムで使用される標準的な方法です。

統計学と確率論では、値の集合またはランダム変数の標準偏差を求めるために二乗法が使用されます。集合の平均からのそれぞれの値x _iの偏差は 、差 として定義されます。これらの偏差を二乗し、新しい数値集合（それぞれが正の値）の平均を求めます。この平均が分散であり、その平方根が標準偏差です。  ${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle x_{i}-{\overline {x}}}$

• 立方体（代数）
• ユークリッド距離
• 二乗による累乗
• ヒルベルトの第17の問題、正の多項式を有理関数の平方和として表現することに関する問題
• 計量テンソル
• 多項式環
• 多項式SOS、多項式の平方和として非負多項式を表現する
• 二次方程式
• 平方自由多項式
• 平方和（さまざまな関連リンクを含む曖昧さ回避ページ）

代数的（可換環が必要）

• ブラフマグプタ・フィボナッチ恒等式、上で述べた意味での複素数と関連している
• デゲンの8平方恒等式は、同様に八元数と関連している。
• 2つの平方の差
• オイラーの四平方恒等式は、四元数と同じく
• ラグランジュの恒等式

他の

• パーセヴァルの正体
• ピタゴラスの三角関数の等式

• 加速度、平方時間あたりの長さ
• 結合定数（分母に二乗電荷を持ち、分子に二乗距離で表すこともできる）
• 断面積（物理学）、面積次元の量
• 運動エネルギー（速度の2乗依存性）
• 比エネルギー、（二乗速度）次元の量

• マーシャル、マレー『正の多項式と平方和』数学概論およびモノグラフ、146。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、2008年。xii+187頁。ISBN 978-0-8218-4402-1、ISBN 0-8218-4402-4  
• Rajwade, AR (1993)。Squares 。ロンドン数学会講義ノートシリーズ。第171巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-42668-5.ZBL0785.11022  。​