乗算演算子

作用素論において、乗法作用素とは、ある関数のベクトル空間上で定義され、関数φにおけるその値が固定関数fによる乗算で与えられる作用素T _fである。つまり、 すべてのφ はT _fの定義域にあり、すべてのx はφの定義域（これはfの定義域と同じ）にある。^[1]$${\displaystyle T_{f}\varphi (x)=f(x)\varphi (x)\quad }$$

乗算演算子は、対角行列によって与えられた演算子の概念を一般化します。^{[2]より正確には、}演算子理論の結果の1つは、ヒルベルト空間上のすべての自己随伴演算子はL ²空間上の乗算演算子とユニタリ同値であるというスペクトル定理です。^[3]

これらの演算子は、同様に任意の固定関数fによって誘導される合成演算子と対比されることが多く、円上の乗算演算子をハーディ空間に圧縮するテプリッツ演算子とも密接に関連しています。

• Xが-有限である 上の乗算演算子は、fが にある場合にのみ有界になります。この場合、その演算子ノルムは に等しくなります。^[1]${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle L^{2}(X)}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle L^{\infty }(X)}$${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$

• 乗算演算子の随伴はであり、 はfの複素共役である。結果として、 が自己随伴となるのはfが実数値の場合のみである。^[4]${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle T_{\overline {f}}}$${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle T_{f}}$

• 有界乗算演算子のスペクトルはfの本質的な範囲である。このスペクトルの外側では、 の逆は乗算演算子である^[1]${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle (T_{f}-\lambda )}$${\displaystyle T_{\frac {1}{f-\lambda }}.}$

• と上の2つの有界乗算演算子は、fとgがほぼすべての点で等しい場合に等しい。^[4]${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle T_{g}}$${\displaystyle L^{2}}$

区間[ −1, 3 ]上の複素数値平方可積分関数のヒルベルト空間 X = L ² [−1, 3]を考える。f ( x ) = x ²として、 X内の 任意の関数φに対する演算子を定義する 。これは自己随伴有界線型演算子で、定義域はX = L ² [−1, 3]全体、ノルムは9である。そのスペクトルは区間[0, 9] ( [−1, 3]上で定義された関数x ↦ x ²の値域) となる。実際、任意の複素数λに対して、演算子T _f − λ は次のように与えられる。 $${\displaystyle T_{f}\varphi (x)=x^{2}\varphi (x)}$$ $${\displaystyle (T_{f}-\lambda )(\varphi )(x)=(x^{2}-\lambda )\varphi (x).}$$

これは、 λが[0, 9]の範囲にない場合に限り逆数 であり、その逆は 別の乗算演算子である となります。 $${\displaystyle (T_{f}-\lambda )^{-1}(\varphi )(x)={\frac {1}{x^{2}-\lambda }}\varphi (x),}$$

この例は、任意のL ^p空間上の乗算演算子のノルムとスペクトルを特徴付けることに簡単に一般化できます。

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• スペクトルの分解（関数解析）

• コンウェイ、JB (1990)。関数解析コース。数学大学院テキスト。第96巻。Springer Verlag。ISBN 0-387-97245-5。