確率過程

確率論および関連分野において、確率過程（/ s t ə ˈ k æ s t ɪ k /）またはランダム過程は、確率空間におけるランダム変数の族として通常定義される数学的対象であり、族のインデックスは多くの場合時間として解釈される。確率過程は、ランダムに変化するように見えるシステムや現象の数学的モデルとして広く使用されている。例としては、細菌集団の成長、熱雑音による電流の変動、気体分子の動きなどがあげられる。^{[1] [4] [5]}確率過程は、生物学、^[6]化学、^[7]生態学、^{[8 ]}神経科学、^[9]物理学、 [10]画像処理、^[11]信号処理、^[11]制御理論、^[12]情報理論、^{[13 ]}コンピュータサイエンス、^[14]電気通信など、多くの分野で応用されている。^{[15]さらに、}金融市場における一見ランダムな変化は、金融における確率過程の広範な利用を促してきた。^{[16] [17] [18]}

応用と現象の研究は、今度は新しい確率過程の提案を促してきました。そのような確率過程の例には、ルイ・バシュリエがパリ証券取引所の価格変動を研究するために使用したウィーナー過程またはブラウン運動過程^[a]、^[21]や、 AKエルランが一定期間に発生する電話の通話数を研究するために使用したポアソン過程^[22]などがあります。これら2つの確率過程は、確率過程の理論において最も重要かつ中心的なものと考えられており、^{[1] [4] [23]}、バシュリエとエルランの前後で、さまざまな状況や国で繰り返し独立して発明されました。^{[21] [24]}

ランダム関数という用語は、確率過程またはランダム過程を指すのにも使用されます。^{[25] [26]確率過程は}関数空間内のランダム要素としても解釈できるためです。^{[27] [28]}確率過程とランダム過程という用語は互換的に使用され、多くの場合、ランダム変数をインデックスするセットに特定の数学的空間はありません。 ^{[27] [29]}しかし、これら2つの用語は、ランダム変数が整数または実数直線の区間でインデックス付けされている場合によく使用されます。^{[5] [29]}ランダム変数がデカルト平面または高次元ユークリッド空間でインデックス付けされている場合、ランダム変数のコレクションは通常、代わりにランダムフィールドと呼ばれます。^{[5] [30]}確率過程の値は必ずしも数値ではなく、ベクトルまたはその他の数学的オブジェクトの場合があります。^{[5] [28]}

確率過程は、その数学的特性に基づいて、ランダムウォーク^[31] 、マルチンゲール^{[32] 、} マルコフ過程[33] 、レヴィ過程^{[34] 、} ガウス過程^[35]、ランダム場[36]、^更新過程、分岐過程^[37 ]など、さまざまなカテゴリに分類できます。確率過程の研究では、確率、微積分、線型代数、集合論、位相幾何学^{[38] [39] [40]}の数学的知識と技術、および実解析、測度論、フーリエ解析、関数解析などの数学的解析の分野が使用されます。^{[41] [42] [43]}確率過程の理論は数学への重要な貢献であると考えられており^[44]、理論的理由と応用の両方の理由で活発に研究され続けています。^{[45] [46] [47]}

確率過程またはランダム過程は、何らかの数学的集合によってインデックス付けされたランダム変数の集合として定義することができ、確率過程の各ランダム変数は集合内の要素と一意に関連付けられている。^{[4] [5]}ランダム変数をインデックス付けするために使用される集合は、インデックス集合と呼ばれる。歴史的には、インデックス集合は自然数などの実数直線のサブセットであり、インデックス集合に時間の解釈を与えていた。^[1]集合内の各ランダム変数は、状態空間と呼ばれる同じ数学的空間から値を取る。この状態空間は、たとえば整数、実数直線、または次元ユークリッド空間である。^{[1] [5]}増分は、確率過程が2つのインデックス値の間で変化する量であり、多くの場合、2つの時点として解釈される。^{[48] [49]}確率過程は、そのランダム性のために多くの結果を持つことができ、確率過程の単一の結果は、他の名前の中でも、サンプル関数または実現と呼ばれる。^{[28] [50]}${\displaystyle n}$

確率過程は、状態空間、インデックスセット、ランダム変数間の依存関係など、さまざまな方法で分類できます。一般的な分類方法の1つは、インデックスセットと状態空間の濃度によるものです。 ^{[51] [52] [53]}

時間として解釈される場合、確率過程のインデックス セットが有限または可算な数の要素（有限の数の集合、整数の集合、自然数など）を持つ場合、確率過程は離散時間であると言われます。^{[54] [55]インデックス セットが実数直線上の何らかの区間である場合、時間は}連続していると言われます。2 種類の確率過程は、それぞれ離散時間確率過程と連続時間確率過程と呼ばれます。^{[48] [56] [57]}離散時間確率過程は、インデックス セットが不可算であるため、連続時間過程ではより高度な数学的手法と知識が必要になるため、研究が容易であると考えられています。^{[58] [59]インデックス セットが整数、またはそのサブセットである場合、確率過程は}ランダム シーケンスとも呼ばれます。^[55]

状態空間が整数または自然数の場合、確率過程は離散確率過程または整数値確率過程と呼ばれます。状態空間が実数直線の場合、確率過程は実数値確率過程または連続状態空間を持つ過程と呼ばれます。状態空間が - 次元ユークリッド空間の場合、確率過程は-次元ベクトル過程または-ベクトル過程と呼ばれます。^{[51] [52]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

英語の「stochastic」という語は、もともと「推測することに関する」という定義を持つ形容詞として使われており、「標的を狙う、推測する」という意味のギリシャ語に由来し、オックスフォード英語辞典では1662年が最古の出現年としている。^[60]ヤコブ・ベルヌーイは、1713年にラテン語で最初に出版された確率に関する著書「Ars Conjectandi 」の中で、 「推測する技術、あるいは確率論」と翻訳されている「Ars Conjectandi sive Stochastice」という語句を使用している。^[61]この語句は、ベルヌーイに関連して、ラディスラウス・ボルトキエヴィチ^[62]によって使用された。ボルトキエヴィチは1917年にドイツ語で「ランダム」という意味のstochastikという語を書いた。英語の「 stochastic process」という用語は、1934年のジョセフ・ドゥーブの論文で初めて登場した。^[60]この用語と具体的な数学的定義については、ドゥーブは1934年の別の論文を引用している。この論文では、ドイツ語で「確率過程」という用語がアレクサンドル・ヒンチンによって使用されていたが、^{[63] [64]}このドイツ語の用語は、例えば1931年にアンドレイ・コルモゴロフによって以前に使用されていた。^[65]

オックスフォード英語辞典によると、英語で「ランダム」という単語が偶然や幸運に関連する現在の意味で使われるようになったのは16世紀に遡るが、それより前の記録では14世紀に「衝動、大きなスピード、力、または暴力（乗馬、走行、打撃などにおいて）」を意味する名詞として使われ始めた。この単語自体は中世フランス語の「スピード、急ぎ」を意味する単語に由来しており、おそらく「走る」または「疾走する」を意味するフランス語の動詞から派生したものである。ランダムプロセスという用語が初めて文書に登場したのは、オックスフォード英語辞典が同義語として挙げている確率過程よりも前のことで、 1888年に出版されたフランシス・エッジワースの記事で使用されていた。^[66]

確率過程の定義は様々であるが^[67]、確率過程は伝統的に、ある集合によってインデックス付けされたランダム変数の集合として定義される。^{[68] [69]}ランダム過程と確率過程という用語は同義語とみなされ、インデックス集合が正確に指定されなくても互換的に使用される。^{[27] [29 ] [30 ] [70] [71] [72]}「集合」^{[28] [70]}または「ファミリー」の両方が使用されるが^{[4] [73] 、「インデックス集合」の代わりに「パラメータ集合」 [28]}または「パラメータ空間」^[30]という用語が使用されることもある。

ランダム関数という用語は、確率過程やランダム過程を指すのにも使用されるが、^{[5] [74] [75]}、確率過程が実数値を取る場合にのみ使用されることもある。^{[28] [73]}この用語は、インデックス セットが実数直線以外の数学的空間である場合にも使用される。^{[5] [76]一方、}確率過程やランダム過程という用語は、インデックス セットが時間として解釈される場合に通常使用され、^{[5] [76] [77]}また、インデックス セットが次元ユークリッド空間または多様体である場合は、ランダム フィールドなどの他の用語が使用される。^{[5] [28] [30]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

確率過程は、他の方法の中でも、 、^[56]、^{[69] [78]}、または単に と表記される。著者の中には、関数表記 の乱用であるにもかかわらず、誤って と書く人もいる。^[79]たとえば、または は、確率過程全体ではなく、インデックス を持つランダム変数を指すために使用される。^[78]インデックスセットが である場合、確率過程を表すために、たとえば と書くことができる。^[29]${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t}\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ ${\displaystyle \{X(t)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T=[0,\infty )}$${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$

最も単純な確率過程の 1 つにベルヌーイ過程があります。 ^[80]これは、独立かつ同一に分布する(iid) ランダム変数のシーケンスで、各ランダム変数は値 1 または 0 のいずれかを取ります。たとえば、確率 で 1 を取り、確率 で 0 を取ります。このプロセスは、コインを繰り返し投げるという理想化に関連付けることができます。コインを投げる場合、表が出る可能性は で、その値は 1、裏が出る場合の値は 0 です。^[81]言い換えると、ベルヌーイ過程は iid ベルヌーイランダム変数のシーケンスであり、^{[82]各理想化されたコイン投げは}ベルヌーイ試行の例です。^[83]${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle p}$

ランダムウォークは確率過程であり、通常はユークリッド空間におけるiidランダム変数またはランダムベクトルの和として定義されるため、離散時間で変化する過程である。 ^{[84] [85] [86] [87] [88]}しかし、この用語を連続時間で変化する過程を指すために使用する人もおり、^[89]特に金融モデルで使用されるウィーナー過程が混乱を招き、批判につながっている。^[90]状態空間が格子や群などの他の数学的対象になるように定義されるランダムウォークには他にも様々な種類があり、一般的には高度に研究されており、さまざまな分野で多くの応用がある。^{[89] [91]}

ランダムウォークの典型的な例は単純ランダムウォークとして知られており、これは整数を状態空間とする離散時間の確率過程であり、各ベルヌーイ変数が正の1または負の1のいずれかの値を取るベルヌーイ過程に基づいています。言い換えると、単純ランダムウォークは整数上で発生し、その値は確率で1増加するか（たとえば）、確率で1減少するため、このランダムウォークのインデックスセットは自然数であり、その状態空間は整数です。 の場合、このランダムウォークは対称ランダムウォークと呼ばれます。^{[92] [93]}${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle p=0.5}$

ウィーナー過程は、定常かつ独立した増分を伴う確率過程であり、増分の大きさに基づいて正規分布する。^{[2] [94]}ウィーナー過程は、その数学的存在を証明したノーバート・ウィーナーにちなんで名付けられたが、液体中のブラウン運動のモデルとしての歴史的なつながりから、ブラウン運動過程または単にブラウン運動とも呼ばれる。^{[95] [96] [97]}

確率論で中心的な役割を果たすウィーナー過程は、他の確率過程との関連において、最も重要で研究されている確率過程であると考えられることが多い。^{[1] [2] [3] [98] [99] [100] [101]}そのインデックスセットと状態空間はそれぞれ非負数と実数であるため、連続的なインデックスセットと状態空間の両方を持つ。^[102]しかし、この過程はより一般的に定義することができ、状態空間は - 次元ユークリッド空間になる。^{[91] [99] [103]任意の増分の}平均がゼロの場合、結果として生じるウィーナー運動またはブラウン運動過程はドリフトがゼロであると言われる。任意の 2 つの時点の増分の平均が、時間差に実数である定数 を乗じたものに等しい場合、結果として生じる確率過程はドリフト を持つと言われる。^{[104] [105] [106]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$

ウィーナー過程のサンプルパスはほぼ確実にどこでも連続だが、どこでも微分可能ではない。これは単純ランダムウォークの連続バージョンと考えることができる。^{[49] [105]}この過程は、特定のランダムウォークなどの他の確率過程の数学的極限として現れ、^{[107] [108]これは}ドンスカーの定理または不変性原理の対象であり、機能的中心極限定理としても知られている。^{[109] [110] [111]}

ウィーナー過程は、マルコフ過程、レヴィ過程、ガウス過程を含むいくつかの重要な確率過程ファミリーのメンバーです。^{[2] [49]}この過程には多くの応用があり、確率計算で使用される主要な確率過程です。^{[112] [113]}ウィーナー過程は定量的金融において中心的な役割を果たしており、^{[114] [115]}たとえば、ブラック・ショールズ・マートンモデルで使用されています。^[116]この過程は、さまざまなランダム現象の数学的モデルとして、自然科学の大部分と社会科学の一部の分野を含むさまざまな分野で使用されています。^{[3] [117] [118]}

ポアソン過程は、さまざまな形式と定義を持つ確率過程です。^{[119] [120]}これは、ある時点までのランダムな数の点またはイベントを表す確率過程である計数過程として定義できます。ゼロから特定の時点までの間隔にある過程の点の数は、その時間といくつかのパラメータに依存するポアソンランダム変数です。この過程は、自然数を状態空間として、非負数をインデックスセットとして持ちます。この過程は、計数過程の例として解釈できるため、ポアソン計数過程とも呼ばれます。^[119]

ポアソン過程が単一の正の定数で定義されている場合、その過程は同次ポアソン過程と呼ばれる。^{[119] [121]}同次ポアソン過程は、マルコフ過程やレヴィ過程などの重要な確率過程のクラスのメンバーである。^[49]

同次ポアソン過程は、さまざまな方法で定義および一般化できます。指数集合が実数直線となるように定義でき、この確率過程は定常ポアソン過程とも呼ばれます。^{[122] [123]}ポアソン過程のパラメータ定数を の非負の積分可能な関数に置き換えると、結果として得られる過程は非同次または非同次ポアソン過程と呼ばれ、過程の点の平均密度は一定ではなくなります。^[124]待ち行列理論の基本過程として機能するポアソン過程は、数学モデルにとって重要な過程であり、特定の時間枠内でランダムに発生するイベントのモデルに応用されています。^{[125] [126]}${\displaystyle t}$

実数直線上で定義されるポアソン過程は、他のランダムな対象と同様に確率過程として解釈することができる。^{[ 49] [127] [ 128] [129]}しかし、次元ユークリッド空間や他の数学的空間上で定義されることもあり、 ^[130]確率過程ではなく、ランダムな集合やランダムな計数測度として解釈されることが多い。^{[128] [129]}この設定では、ポアソン過程はポアソン点過程とも呼ばれ、応用面でも理論面でも確率論で最も重要な対象の一つである。^{[22] [131]}しかし、ポアソン過程は実数直線上だけで考慮され、他の数学的空間上では考慮されないことが多いため、十分な注目を集めていないと指摘されている。^{[131] [132]}${\displaystyle n}$

確率過程は、共通の確率空間 上で定義されるランダム変数の集合として定義される。ここで、は標本空間、は-代数、 は確率測度である。そして、何らかの集合 によってインデックス付けされたランダム変数はすべて、何らかの- 代数に関して測定可能でなければならない同じ数学的空間 内の値を取る。^[28]${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle P}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \Sigma }$

言い換えれば、与えられた確率空間と測定可能な空間に対して、確率過程は次のように表される - 値ランダム変数の集合である。^[80]${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle (S,\Sigma )}$${\displaystyle S}$

歴史的に、自然科学の多くの問題では、点は時間を意味していたので、ランダム変数も時刻 に観測された値を表す。^[133]確率過程は、実際には2つの変数の関数であり、 であることを反映して と書くこともできる。^{[28] [134]}${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

確率過程を考える方法は他にもあるが、上記の定義は伝統的なものと考えられている。^{[68] [69]}たとえば、確率過程は-値ランダム変数として解釈または定義することができ、ここで は集合から空間 へのすべての可能な関数の空間である。^{[27] [68]}しかし、一般に「関数値ランダム変数」としてのこの代替定義では、追加の規則性仮定を明確に定義する必要がある。^[135]${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

この集合は確率過程のインデックス集合^{[4] [51]}またはパラメータ集合^{[28] [136]}と呼ばれる。この集合は実数直線のサブセットであることが多く、自然数や区間などであり、集合に時間の解釈を与える。^[1]これらの集合に加えて、インデックス集合は、全順序を持つ別の集合、またはより一般的な集合^{[1] [54]}である可能性があり、例えばデカルト平面や-次元ユークリッド空間などであり、要素は空間内の点を表すことができる。^{[48] [137]}とはいえ、多くの結果と定理は、全順序インデックス集合を持つ確率過程に対してのみ可能である。^[138]${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t\in T}$

確率過程の数学的空間 は状態空間と呼ばれる。この数学的空間は整数、実数直線、次元ユークリッド空間、複素平面、またはより抽象的な数学的空間を使用して定義することができる。状態空間は確率過程が取り得るさまざまな値を反映する要素を使用して定義される。^{[1] [5] [28] [51] [56]}${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$

標本関数は確率過程の単一の結果であるため、確率過程の各ランダム変数の単一の可能な値を取ることによって形成される。 ^{[28] [139]}より正確には、が確率過程である場合、任意の点に対して、写像${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

は、サンプル関数、実現、または、特に が時間として解釈される場合は、確率過程のサンプルパスと呼ばれます。^[50]これは、固定された に対して、インデックスセットを状態空間にマップするサンプル関数が存在することを意味します。^[28]確率過程のサンプル関数の他の名前には、軌道、パス関数^[140]またはパスがあります。^[141]${\displaystyle T}$${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

確率過程の増分は、同じ確率過程の 2 つの確率変数の差です。時間として解釈できるインデックス セットを持つ確率過程の場合、増分は、確率過程が特定の期間にどれだけ変化するかです。たとえば、が状態空間とインデックス セットを持つ確率過程である場合、となる任意の2 つの非負の数とに対して、その差は増分と呼ばれる - 値の確率変数です。 ^{[48] [49]}増分に関心がある場合、状態空間は実数直線または自然数であることが多いですが、 - 次元ユークリッド空間やバナッハ空間などのより抽象的な空間である場合もあります。^[49]${\displaystyle \{X(t):t\in T\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T=[0,\infty )}$${\displaystyle t_{1}\in [0,\infty )}$${\displaystyle t_{2}\in [0,\infty )}$${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$

確率空間上で定義された確率過程の場合、確率過程の法則はイメージ測度として定義されます。 ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow S^{T}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle X}$

ここでは確率測度、 は関数合成を表し、は測定可能な関数の逆像、またはそれと同値な-値ランダム変数であり、ここで はのすべての可能な -値関数の空間であるため、確率過程の法則は確率測度である。^{[27] [68] [142] [143]}${\displaystyle P}$${\displaystyle \circ}$${\displaystyle X^{-1}}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle t\in T}$

の測定可能な部分集合に対して、 の逆像は ${\displaystyle B}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle X}$

したがってaの法則は次のように書ける: ^[28]${\displaystyle X}$

確率過程やランダム変数の法則は確率法則、確率分布、分布とも呼ばれる。^{[133] [142] [144] [145] [146]}

法則 を持つ確率過程の場合、に対する有限次元分布は次のように定義されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in T}$

この測度はランダムベクトルの結合分布であり、法則の有限部分集合への「射影」として見ることができる。^{[27] [147]}${\displaystyle \mu_{t_{1},..,t_{n}}}$${\displaystyle (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle T}$

任意の測定可能な- 倍の直交座標系の部分集合に対して、確率過程の有限次元分布は次のように表される。^[28]${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}=S\times \dots \times S}$${\displaystyle X}$

確率過程の有限次元分布は、一貫性条件として知られる2つの数学的条件を満たす。^[57]

定常性は、確率過程のすべてのランダム変数が同一分布しているときに確率過程が持つ数学的特性である。言い換えれば、が定常確率過程である場合、任意のランダム変数は同じ分布を持ち、これは任意のインデックスセット値のセットに対して、対応するランダム変数が ${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}}$${\displaystyle n}$

すべて同じ確率分布を持っています。定常確率過程のインデックスセットは通常時間として解釈されるため、整数または実数直線になります。^{[148] [149]}しかし、定常性の概念は点過程やランダムフィールドにも存在し、インデックスセットは時間として解釈されません。^{[148] [150] [151]}

インデックスセットが時間として解釈できる場合、有限次元分布が時間の変換に対して不変であれば、確率過程は定常であると言われる。このタイプの確率過程は、定常状態にあるが依然としてランダムな変動を経験する物理システムを記述するために使用できる。^[148]定常性の背後にある直感は、時間が経過しても定常確率過程の分布は同じままであるということにある。^[152]ランダム変数のシーケンスは、ランダム変数が同一に分布している場合にのみ、定常確率過程を形成する。^[148]${\displaystyle T}$

上記の定常性の定義を持つ確率過程は厳密に定常であると言われることもありますが、定常性には他の形式もあります。1つの例は、離散時間または連続時間の確率過程が広義の定常であると言われる場合です。この場合、その過程はすべてのと2つのランダム変数の共分散に対して有限の2次モーメントを持ち、すべての に対して数にのみ依存します。^{[152] [153]}キンチンは、共分散定常性や広義の定常性などの別名を持つ、広義の定常性という関連概念を導入しました。^{[153] [154]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{t+h}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle t\in T}$

濾過とは、ある確率空間と、ある全順序関係を持つインデックス セット（実数のあるサブセットがインデックス セットである場合など）に関連して定義されるシグマ代数の増加するシーケンスです。より正式には、確率過程が全順序を持つインデックス セットを持つ場合、確率空間上の濾過 は、すべての に対してとなるシグマ代数の族です。ここで、および はインデックス セットの全順序を表します。^[51]濾過の概念を使用すると、確率過程に含まれる情報量を調べることができ、これは時間 と解釈できます。^{[51] [155]}濾過の背後にある直感は、時間が経つにつれて に関するますます多くの情報が既知または利用可能になり、それが に取り込まれ、 のますます細かい分割につながるというものです。^{[156] [157]}${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle t,s\in T}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle T}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle \Omega }$

確率過程の修正とは、元の確率過程と密接に関係する別の確率過程のことである。より正確には、別の確率過程と同じインデックスセット、状態空間、および確率空間を持つ確率過程は、次の すべてに対して である場合にの修正であると言われる。${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$

が成り立つ。互いの修正である2つの確率過程は同じ有限次元法則^{[158]を持ち、それらは}確率的に同値または同値であると言われる。^[159]

修正の代わりにバージョンという用語も使用されるが、^{[150] [160] [161] [162]}、一部の著者は、2つの確率過程が同じ有限次元分布を持つが、異なる確率空間で定義される場合にバージョンという用語を使用する。したがって、互いの修正である2つの過程は、後者の意味で互いのバージョンでもあるが、その逆は当てはまらない。^{[163] [142]}

連続時間実数値確率過程がその増分に対して特定のモーメント条件を満たす場合、コルモゴロフ連続性定理によれば、確率 1 で連続サンプルパスを持つこの過程の修正版が存在するため、確率過程には連続修正版またはバージョンが存在する。^{[161] [162] [164]}この定理はランダム フィールドに一般化することもできるので、インデックス セットは- 次元ユークリッド空間になる^[165] 。また、状態空間として計量空間を持つ確率過程にも一般化できる。^[166]${\displaystyle n}$

同じ確率空間、同じインデックスセット、セット空間で定義された2つの確率過程は、次の場合に 区別できないと言われる。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

が成り立つ。^{[142] [158]} 2つの と が互いの修正であり、ほぼ確実に連続している場合、と は区別できない。^[167]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

分離可能性は、確率測度に対するその指数集合に基づく確率過程の特性である。この特性は、確率過程の関数または非可算な指数集合を持つ確率場がランダム変数を形成できるように仮定されている。確率過程が分離可能であるためには、他の条件に加えて、その指数集合が分離可能な空間である必要がある。^[b]つまり、指数集合には稠密な可算部分集合がある。^{[150] [168]}

より正確には、確率空間を持つ実数値連続時間確率過程が分離可能であるとは、そのインデックス集合が稠密な可算部分集合を持ち、確率がゼロの集合が存在すること、つまりであり、あらゆる開集合およびあらゆる閉集合に対して、2 つのイベントおよび が最大で の部分集合上で互いに異なることである。^{[169] [170] [171]} 分離可能性の定義^[c]は、他のインデックス集合および状態空間^[174]に対しても述べることができる。例えば、ランダム フィールドの場合、インデックス集合と状態空間は- 次元ユークリッド空間になることができる。^{[30] [150]}${\displaystyle X}$${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U\subset T}$${\displaystyle \Omega _{0}\subset \Omega }$${\displaystyle P(\Omega _{0})=0}$${\displaystyle G\subset T}$${\displaystyle F\subset \textstyle R=(-\infty ,\infty )}$${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\cap U\}}$${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\}}$${\displaystyle \Omega _{0}}$${\displaystyle n}$

確率過程の分離可能性の概念は、ジョセフ・ドゥーブによって導入されました。^[168]分離可能性の基本的な考え方は、インデックスセットの点の可算な集合が確率過程の特性を決定するようにすることです。^[172]可算なインデックスセットを持つ任意の確率過程は、すでに分離可能性条件を満たしているため、離散時間確率過程は常に分離可能です。^[175]ドゥーブの定理（ドゥーブの分離可能性定理とも呼ばれる）によると、任意の実数値連続時間確率過程には分離可能な修正があります。^{[168] [170] [176]}この定理のバージョンは、実数直線以外のインデックスセットと状態空間を持つより一般的な確率過程にも存在します。^[136]

同じ確率空間で同じインデックスセットを使用して定義された2つの確率過程とが独立であるとは、すべてのおよびすべてのエポックの選択に対して、ランダムベクトルとが独立であることを意味する。^{[177] ：p.515}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$${\displaystyle \left(X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n})\right)}$${\displaystyle \left(Y(t_{1}),\ldots ,Y(t_{n})\right)}$

2つの確率過程は、その相互共分散が常にゼロである場合に無相関であると言われる。 ^{[178] : p. 142}正式には： ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$。

2つの確率過程とが独立している場合、それらは相関もしていない。^{[178] ：p.151}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

2つの確率過程は、それらの相互相関が常にゼロであるとき、直交していると呼ばれる。 ^{[178] ：p.142}正式には： ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [X(t_{1}){\overline {Y(t_{2})}}]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ orthogonal}}\quad \iff \quad \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$。

スコロホド空間（Skorohod space）は、や などの実数直線上のある区間で定義され、実数直線上またはある距離空間上に値を取る、右連続で左極限を持つすべての関数の成す数学的空間である。 ^{[179] [180] [181]}このような関数は、フランス語のcontinue à droite, limite à gaucheの頭字語に基づいて、càdlàg 関数または cadlag 関数として知られている。^{[179] [182]}アナトリー・スコロホド^[181]によって導入されたスコロホド関数空間は、しばしば文字 で表されるため[ ^{179] [180] [181] [182]}、関数空間は空間とも呼ばれる。^{[179] [183]​​ [184]}この関数空間の表記には、すべてのcàdlàg関数が定義されている区間も含めることができるため、たとえば、は単位区間上で定義されたcàdlàg関数の空間を表します。^{[182] [184] [185]}${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D[0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

スコロホッド関数空間は確率過程の理論で頻繁に使用される。これは、連続時間確率過程の標本関数がスコロホッド空間に属すると仮定されることが多いためである。^{[181] [183]}​​ このような空間には連続関数が含まれており、これはウィーナー過程の標本関数に対応する。しかし、この空間には不連続性を持つ関数も含まれており、これはポアソン過程（実数直線上）などのジャンプを持つ確率過程の標本関数もこの空間のメンバーであることを意味する。^{[184] [186]}

確率過程の数学的構成の文脈では、規則性という用語は、確率過程の特定の条件を議論し、仮定して、起こり得る構成上の問題を解決するときに使用されます。^{[187] [188]}たとえば、無数インデックスセットを持つ確率過程を研究するには、サンプル関数が連続しているなど、確率過程が何らかの規則性条件に準拠していると仮定されます。^{[189] [190]}

マルコフ過程は、伝統的に離散時間または連続時間における確率過程であり、マルコフ特性を持ち、マルコフ過程の次の値は現在の値に依存しますが、確率過程の前の値とは条件付きで独立しています。言い換えれば、プロセスの現在の状態が与えられた場合、将来のプロセスの振る舞いは過去の振る舞いとは確率的に独立しています。^{[191] [192]}

ブラウン運動過程とポアソン過程（1次元）はどちらも連続時間におけるマルコフ過程の例である^[193]が、整数上のランダムウォークとギャンブラーの破産問題は離散時間におけるマルコフ過程の例である。^{[194] [195]}

マルコフ連鎖は、離散状態空間または離散インデックスセット（多くの場合、時間を表す）のいずれかを持つマルコフ過程の一種ですが、マルコフ連鎖の正確な定義はさまざまです。^[196]たとえば、マルコフ連鎖を、離散時間または連続時間で可算状態空間を持つマルコフ過程（したがって時間の性質に関係なく）として定義するのが一般的ですが、^{[197] [198] [199] [200]}、マルコフ連鎖を、離散時間を可算状態空間または連続状態空間（したがって状態空間に関係なく）で持つものとして定義することも一般的でした。^{[196]ジョセフ・ドゥーブやカイ・ライ・チョンなどの研究者は2番目}の定義を使用していたにもかかわらず、現在では離散時間を持つというマルコフ連鎖の最初の定義が使用される傾向があると主張されています。[ 201 ^]

マルコフ過程は確率過程の重要なクラスを形成し、多くの分野で応用されています。^{[39] [202]}たとえば、マルコフ連鎖モンテカルロとして知られる一般的な確率シミュレーション手法の基礎であり、特定の確率分布を持つランダムなオブジェクトをシミュレートするために使用され、ベイズ統計に応用されています。^{[203] [204]}

マルコフ性の概念はもともと連続時間と離散時間の確率過程を対象としていたが、この性質は次元ユークリッド空間などの他のインデックスセットにも適用され、マルコフ確率場として知られるランダム変数の集合をもたらした。^{[205] [206] [207]}${\displaystyle n}$

マルチンゲールは離散時間または連続時間の確率過程であり、その性質として、過程の現在の値と過去のすべての値が与えられたとき、すべての将来の値の条件付き期待値が現在の値に等しいというものがあります。離散時間では、この性質が次の値に当てはまる場合、すべての将来の値に当てはまります。マルチンゲールの正確な数学的定義には、時間の経過と共に利用可能な情報が増えるという直感に関連するフィルタリングという数学的概念と組み合わせた 2 つの条件が必要です。マルチンゲールは通常、実数値として定義されます^{[208] [209] [155]が、複素数値[210]}やさらに一般的な値にすることもできます。 ^[211]

対称ランダムウォークとウィーナー過程（ドリフトがゼロ）は、それぞれ離散時間と連続時間におけるマルチンゲールの例です。^{[208] [209]平均がゼロで}、独立かつ同一に分布するランダム変数のシーケンスの場合、連続する部分和から形成される確率過程は離散時間マルチンゲールです。^[212]この点で、離散時間マルチンゲールは、独立したランダム変数の部分和の考え方を一般化しています。^[213]${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$${\displaystyle X_{1},X_{1}+X_{2},X_{1}+X_{2}+X_{3},\dots }$

マルチンゲールは、適切な変換を適用することで確率過程から作成することもできます。これは、同次ポアソン過程（実数直線上）の場合に発生し、補償ポアソン過程と呼ばれるマルチンゲールになります。^[209]マルチンゲールは、他のマルチンゲールから構築することもできます。^[212]たとえば、マルチンゲールであるウィーナー過程に基づくマルチンゲールがあり、連続時間マルチンゲールを形成します。^{[208] [214]}

マルチンゲールは、妥当な報酬期待を形成できる「公平なゲーム」という概念を数学的に定式化するものであり、^[215]もともとはそのようなゲームで「不公平な」優位性を得ることは不可能であることを示すために開発された。^[216]しかし現在では確率の多くの分野で使用されており、これがマルチンゲールを研究する主な理由の 1 つとなっている。^{[155] [216] [217]}確率における多くの問題は、問題の中にマルチンゲールを見つけて研究することで解決されてきた。^{[218]マルチンゲールは、そのモーメントにいくつかの条件が与えられれば収束するため、主に}マルチンゲール収束定理により、収束結果を導き出すためによく使用される。^{[213] [219] [220]}

マルチンゲールは統計学において多くの応用があるが、統計学、特に統計的推論の分野では、その使用と応用はそれほど広範ではないと指摘されている。^[221]待ち行列理論やパーム計算などの確率論の分野や、経済学[223]や金融[17]などの他の分野で^も応用されている。

レヴィ過程は、連続時間におけるランダムウォークの一般化として考えることができる確率過程の一種である。^{[49] [224]}これらの過程は、金融、流体力学、物理学、生物学などの分野で多くの応用がある。^{[225] [226]}これらの過程の主な定義特性は定常性と独立性であるため、定常増分と独立増分を持つ過程として知られている。言い換えれば、非負数に対して、対応する増分が ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}}$${\displaystyle n-1}$

これらはすべて互いに独立しており、各増分の分布は時間の違いのみに依存します。^[49]

レヴィ過程は、その状態空間がバナッハ空間のような抽象的な数学的空間であるように定義されることもあるが、ユークリッド空間で値を取るように定義されることが多い。指数集合は非負数なので、 となり、時間の解釈を与える。ウィーナー過程、同次ポアソン過程（1次元）、従属変数などの重要な確率過程はすべてレヴィ過程である。^{[49] [224]}${\displaystyle I=[0,\infty )}$

ランダムフィールドは、次元ユークリッド空間または何らかの多様体によってインデックス付けされたランダム変数の集合である。一般に、ランダムフィールドは確率過程またはランダム過程の一例とみなすことができ、インデックスセットは必ずしも実数直線のサブセットではない。^[30]しかし、インデックスが2次元以上の場合、ランダム変数のインデックス付きコレクションはランダムフィールドと呼ばれるという慣習がある。^{[5] [28] [227]}確率過程の特定の定義でインデックスセットが実数直線のサブセットであることが求められる場合、ランダムフィールドは確率過程の一般化とみなすことができる。^[228]${\displaystyle n}$

点過程は、実数直線、次元ユークリッド空間、またはより抽象的な空間などの数学的空間上にランダムに配置された点の集合である。点過程という用語は、歴史的には過程という言葉が何らかのシステムの時間的発展を意味していたため好まれず、点過程はランダム点場とも呼ばれる。^[229]点過程には、ランダム計数測度やランダム集合など、さまざまな解釈がある。^{[230] [231]}一部の著者は、点過程と確率過程を2つの異なるオブジェクトと見なし、点過程は確率過程から生じるか、確率過程に関連するランダムオブジェクトであると考えているが^{[232] [233]、}点過程と確率過程の違いは明確ではないと指摘されている。^[233]${\displaystyle n}$

他の著者は、点過程を確率過程とみなし、その過程は実数直線や次元ユークリッド空間など、それが定義されている基礎空間^{[d]の集合によってインデックス付けされる。 [236] [237]}更新過程や計数過程などの他の確率過程は、点過程理論で研究されている。^{[238] [233]}${\displaystyle n}$

確率論は運任せのゲームに起源を持つ。運任せのゲームには長い歴史があり、数千年前にプレイされていたゲームもあるが^[239] 、確率の観点からそれらの分析はほとんど行われていない。^[240] 1654年は、フランスの数学者ピエール・フェルマーとブレーズ・パスカルがギャンブルの問題に触発されて確率に関する書簡を交わした年であり、確率論の誕生とよく考えられている。^{[241] [242]しかし、ギャンブルゲームの確率については、}ジェロラモ・カルダーノの『ギャンブルの書』など、16世紀に書かれ、1663年に死後に出版された、より以前の数学的研究もあった。 ^[243]

カルダノの後、ヤコブ・ベルヌーイ^[e]が確率論の歴史において重要な出来事とされる『予想の技法』を著した。ベルヌーイの著書は、やはり死後の1713年に出版され、多くの数学者に確率論の研究を促した。 ^{[245] [246]しかし、}ピエール＝シモン・ラプラス、アブラアン・ド・モアブル、カール・ガウス、シメオン・ポアソン、パフヌティ・チェビシェフなど、一部の著名な数学者が確率論に貢献したにもかかわらず、^{[247] [248]}数学者コミュニティの大半^{[f] は}、20世紀まで確率論を数学の一部とは考えていなかった。^{[247] [249] [250] [251]}

物理科学では、19世紀に科学者らが統計力学という分野を発展させた。統計力学では、気体で満たされた容器などの物理系を、数学的には多数の運動粒子の集まりとみなして扱う。ルドルフ・クラウジウスなど一部の科学者は統計物理学にランダム性を取り入れようとしたが、ほとんどの研究にはランダム性がほとんどないか全くなかった。^{[252] [253]} 1859年にジェームズ・クラーク・マクスウェルが、気体粒子がランダムな方向にランダムな速度で運動するモデルを発表し、この分野、より具体的には気体の運動論に大きく貢献したことで状況は変わった。^{[254] [255]}気体の運動論と統計物理学は19世紀後半も発展を続け、主にクラウジウス、ルートヴィヒ・ボルツマン、ジョサイヤ・ギブスらが手がけ、後にアルバート・アインシュタインのブラウン運動の数学的モデルに影響を与えた。^[256]

1900年にパリで開催された国際数学者会議で、ダヴィト・ヒルベルトは数学の問題のリストを提示したが、その中で6番目の問題は、公理を含む物理学と確率の数学的処理を求めていた。^[248] 20世紀の初め頃、数学者は数学関数の積分を研究する数学の分野である測度論を開発したが、その創始者のうちの2人はフランスの数学者、アンリ・ルベーグとエミール・ボレルであった。1925年、別のフランスの数学者ポール・レヴィは、測度論の考え方を使った最初の確率の本を出版した。^[248]

1920年代には、ソ連でセルゲイ・ベルンシュタイン、アレクサンドル・ヒンチン、^[g]、アンドレイ・コルモゴロフなどの数学者によって確率論への基本的な貢献がなされた。^[251]コルモゴロフは1929年に測度論に基づいて確率論の数学的基礎を提示する最初の試みを発表した。^[257] 1930年代初頭、ヒンチンとコルモゴロフは確率セミナーを開催し、エフゲニー・スルツキーやニコライ・スミルノフなどの研究者が参加した。^[258]ヒンチンは、実数直線でインデックス付けされたランダム変数の集合として確率過程の最初の数学的定義を与えた。^{[63] [259] [h]}

1933年、アンドレイ・コルモゴロフはドイツ語で確率論の基礎に関する著書『確率論の基礎』[i]を出版した。コルモゴロフ^はこの本で測度論を用いて確率論の公理的枠組みを展開した。この本の出版は、確率論と確率過程論が数学の一部となった現代確率論の誕生と広く考えられている。^{[248] [251]}

コルモゴロフの本の出版後、確率論と確率過程に関するさらなる基礎研究が、ヒンチンとコルモゴロフのほか、ジョセフ・ドゥーブ、ウィリアム・フェラー、モーリス・フレシェ、ポール・レヴィ、ヴォルフガング・デーブリン、ハラルド・クラマーなどの数学者によって行われた。^{[248] [251]} 数十年後、クラマーは1930年代を「数学的確率論の英雄的時代」と呼んだ。^[251] 第二次世界大戦は確率論の発展を大きく妨げ、例えばフェラーがスウェーデンからアメリカ合衆国に移住し^[251]、現在では確率過程の先駆者と見なされているデーブリンが亡くなった。^[261]

第二次世界大戦後、確率論と確率過程の研究は数学者からより多くの注目を集め、確率と数学の多くの分野で重要な貢献がなされ、新しい分野も創出されました。^{[251] [264]} 1940年代から、伊藤清はウィーナー運動またはブラウン運動過程に基づく確率積分と確率微分方程式を含む確率計算の分野を発展させる論文を発表しました。^[265]

また、1940年代から、確率過程、特にマルチンゲールと数学のポテンシャル理論との関連が、初期のアイデアである角谷静雄、その後のジョセフ・ドゥーブの研究によって確立されました。^{[264] 1950年代には、}ギルバート・ハントによってマルコフ過程とポテンシャル理論を関連付ける先駆的な研究が行われ、これはレヴィ過程の理論に大きな影響を与え、伊藤が開発した方法を用いたマルコフ過程の研究への関心が高まりました。^{[21] [266] [267]}

1953年、ドゥーブは著書『確率過程』を出版した。これは確率過程の理論に大きな影響を与え、確率における測度論の重要性を強調した。^{[264] [263]}ドゥーブはまた、主にマルチンゲール理論を開発し、後にポール＝アンドレ・マイヤーが多大な貢献をした。それ以前の研究はセルゲイ・バーンスタイン、ポール・レヴィ、ジャン・ヴィルによって行われ、ヴィルは確率過程にマルチンゲールという用語を採用した。^{[268] [269]}マルチンゲール理論の手法は、さまざまな確率問題を解くために人気を博した。マルコフ過程を研究するための手法と理論が開発され、次にマルチンゲールに適用された。逆に、マルチンゲール理論の手法はマルコフ過程を扱うために確立された。^[264]

他の確率論の分野も発展し、確率過程の研究に利用されたが、その主なアプローチの一つが大偏差理論であった。^[264]この理論は統計物理学など多くの分野で応用されており、その中核となるアイデアは少なくとも1930年代にまで遡る。1960年代後半から1970年代にかけて、ソ連のアレクサンダー・ウェンツェルとアメリカ合衆国のモンロー・D・ドンスカーおよびシュリニヴァサ・バラダンによって基礎研究が行われ、 ^[270]後にバラダンは2007年のアーベル賞を受賞することになった。^[271] 1990年代と2000年代には、シュラム・レーヴナー進化論^[272]とラフパス^[142]の理論が確率過程や確率論における他の数学的対象を研究するために導入・発展し、その結果、2008年にヴェンデリン・ヴェルナー^[273]に、 2014年にマーティン・ヘアラーにフィールズ賞が授与されました。 ^[274]

確率過程の理論は今でも研究の焦点であり続けており、確率過程をテーマにした国際会議が毎年開催されている。^{[45] [225]}

キンチンは1930年代に確率過程の数学的定義を与えたが、^{[63] [259]}ブラウン運動過程やポアソン過程など、特定の確率過程は既にさまざまな設定で発見されていた。^{[21] [24]}点過程や再生過程などの確率過程のいくつかのファミリーは、何世紀にもわたる長く複雑な歴史を持っている。^[275]

ベルヌーイ過程は、偏ったコインを投げるための数学的モデルとして利用でき、おそらく研究された最初の確率過程である。^[81]この過程は、独立したベルヌーイ試行の連続であり、^[82]ヤコブ・ベルヌーイにちなんで名付けられた。ベルヌーイは、この試行を偶然のゲームの研究に使用し、クリスティアーン・ホイヘンスが以前に提案し研究した確率問題も研究した。^[276]ベルヌーイ過程を含むベルヌーイの研究は、1713年に彼の著書『予想の技術』として出版された。 ^[277]

1905年、カール・ピアソンは、生物学への応用を動機として平面上のランダムウォークを記述する問題を提起した際にランダムウォークという用語を作り出したが、ランダムウォークを含むそのような問題は既に他の分野で研究されていた。何世紀も前に研究された特定のギャンブル問題は、ランダムウォークを含む問題と見なすことができる。[ 89 ^{] [277]}たとえば、ギャンブラーの破産として知られる問題は、単純なランダムウォークに基づいており、^{[195] [278]}吸収障壁のあるランダムウォークの例である。^{[241] [279]}パスカル、フェルマー、ホイエンスは、この問題の数値解を与えたが、その方法については詳述しなかった。^{[280]その後、より詳細な解がヤコブ・ベルヌーイと}アブラハム・ド・モアブルによって提示された。^[281]

ジョージ・ポリアは、1919年と1921年に、次元整数格子におけるランダムウォークについて、対称ランダムウォークが格子内の前の位置に戻る確率を研究した論文を発表した。ポリアは、格子内のどの方向にも等確率で進む対称ランダムウォークは、1次元と2次元では確率1で無限回格子内の前の位置に戻るが、3次元以上では確率0であることを示した。^{[282] [283]}${\displaystyle n}$

ウィーナー過程またはブラウン運動過程は、統計学、金融、物理学などさまざまな分野に起源を持つ。^[21] 1880年、デンマークの天文学者 トルヴァルド・ティーレは最小二乗法に関する論文を書き、この過程を使って時系列分析におけるモデルの誤差を研究した。^{[284] [285] [286]この研究は現在、}カルマンフィルタリングとして知られる統計手法の初期の発見とみなされているが、この研究はほとんど見過ごされていた。ティーレの論文のアイデアはあまりにも先進的だったため、当時の数学や統計学のコミュニティ全体には理解されなかったと考えられている。^[286]

フランスの数学者ルイ・バシュリエは1900年の論文^{[287] [288]でウィーナー過程を用いて}パリ証券取引所の価格変動をモデル化したが^[289]、彼はティーレの研究を知らなかった^{[21] 。バシュリエが}ジュール・ルニョーのランダムウォークモデルからアイデアを得たのではないかと推測されているが、バシュリエはルニョーを引用しておらず^[290]、バシュリエの論文は現在では金融数学の分野における先駆的論文とみなされている。^{[289] [290]}

バシュリエの研究はほとんど注目されず、数十年にわたって忘れ去られていたが、1950年代にレナード・サベージによって再発見され、1964年にバシュリエの論文が英訳されてから人気が高まったと一般に考えられている。しかし、この研究は数学界で決して忘れ去られることはなかった。バシュリエは1912年に自身の考えを詳述した本を出版し^[290] 、その本はドゥーブ、フェラー^{[290] 、コルモゴロフ[21]}などの数学者に引用された。その本は引用され続けたが、1960年代から経済学者がバシュリエの研究を引用し始めると、バシュリエの元の論文が彼の本よりも多く引用されるようになった^{[290] 。}

1905年、アルバート・アインシュタインはブラウン運動の物理的観察を研究した論文を発表し、気体の運動論の考えを使って液体中の粒子の一見ランダムな動きを説明した。アインシュタインは、空間の特定の領域で粒子が見つかる確率を記述する拡散方程式として知られる微分方程式を導出した。アインシュタインのブラウン運動に関する最初の論文の直後、マリアン・スモルホフスキーはアインシュタインを引用した論文を発表したが、彼は別の方法を使って同等の結果を独自に導き出したと記した。^[291]

アインシュタインの研究とジャン・ペランの実験結果は、後に1920年代にノーバート・ウィーナーに影響を与え、パーシー・ダニエルが開発した測度論とフーリエ解析を用いて、ウィーナー過程が数学的対象として存在することを証明した[ ^{292] 。 [21]}

ポアソン過程は、定義上ポアソン分布を含んでいることからシメオン・ポアソンにちなんで名付けられたが、ポアソンはこの過程を研究することはなかった。^{[22] [293]}ポアソン過程の初期の用途や発見については多くの主張がある。^{[22] [24]} 20世紀初頭、ポアソン過程はさまざまな状況で独立して発生した。^{[22] [24]} 1903年、スウェーデンでフィリップ・ルンドベリが、現在では基本的かつ先駆的であると考えられている研究を含む論文を発表し、その中で同次ポアソン過程を用いて保険金請求をモデル化することを提案した。^{[294] [295]}

もう一つの発見は1909年にデンマークで起こりました。AKアーランが有限の時間間隔で着信する電話の数の数学的モデルを開発する際にポアソン分布を導き出したのです。アーランは当時ポアソンの以前の研究を知らず、各時間間隔で着信する電話の数は互いに独立していると仮定していました。その後、彼は極限ケースを発見しました。これは事実上、ポアソン分布を二項分布の極限として書き直すものです。^[22]

1910年、アーネスト・ラザフォードとハンス・ガイガーはアルファ粒子の計数に関する実験結果を発表しました。彼らの研究に触発されたハリー・ベイトマンは計数問題を研究し、微分方程式族の解としてポアソン確率を導き、ポアソン過程を独自に発見しました。^[22]この後、ポアソン過程の研究と応用は数多く行われましたが、その初期の歴史は複雑で、生物学者、生態学者、エンジニア、さまざまな物理学者によるさまざまな分野でのさまざまな応用によって説明されています。^[22]

マルコフ過程とマルコフ連鎖は、20世紀初頭にマルコフ連鎖を研究したアンドレイ・マルコフにちなんで名付けられました。マルコフは、独立したランダムシーケンスの拡張を研究することに興味を持っていました。1906年に発表されたマルコフ連鎖に関する最初の論文で、マルコフは、特定の条件下ではマルコフ連鎖の平均結果が固定された値のベクトルに収束することを示し、独立性の仮定なしに大数の弱法則を証明しました。 ^{[296] [297] [298]}独立性の仮定は、そのような数学的法則が成立するための要件であると一般に考えられていました。^{[298]マルコフは後に、}アレクサンドル・プーシキンの『エフゲニー・オネーギン』の母音の分布を研究するためにマルコフ連鎖を使用し、そのような連鎖の中心極限定理を証明しました。

1912年、ポアンカレはカードシャッフルを研究する目的で有限群上のマルコフ連鎖を研究した。マルコフ連鎖の初期の用途としては、1907年にポール・エーレンフェストとタチアナ・エーレンフェストが導入した拡散モデルや、マルコフの研究に先立つ1873年にフランシス・ゴルトンとヘンリー・ウィリアム・ワトソンが導入した分岐過程などがある。 ^{[296] [297]}ゴルトンとワトソンの研究の後、彼らの分岐過程は30年ほど前にイレネー・ジュール・ビエネイメによって独立に発見され研究されていたことが後に明らかになった。^[299] 1928年以降、モーリス・フレシェはマルコフ連鎖に興味を持ち始め、最終的に1938年にマルコフ連鎖に関する詳細な研究を発表した。^{[296] [300]}

アンドレイ・コルモゴロフは1931年の論文で、連続時間マルコフ過程の初期理論の大部分を展開した。^{[251] [257]}コルモゴロフは、1900年のルイ・バシュリエの株式市場の変動に関する研究や、ノーバート・ウィーナーのアインシュタインのブラウン運動モデルに関する研究に部分的に触発された。^{[257] [301]}彼は拡散過程として知られるマルコフ過程の特定のセットを紹介して研究し、その過程を記述する微分方程式のセットを導出した。^{[257] [302]}コルモゴロフの研究とは独立して、シドニー・チャップマンはブラウン運動を研究しながら、1928年の論文で現在チャップマン・コルモゴロフ方程式と呼ばれる方程式を、コルモゴロフほど数学的に厳密ではない方法で導出した。^[303]この微分方程式は現在コルモゴロフ方程式^[304]またはコルモゴロフ・チャップマン方程式と呼ばれています。^[305]マルコフ過程の基礎に大きく貢献した他の数学者には、1930年代のウィリアム・フェラーや、1950年代のユージン・ディンキンがいます。^[251]

ウィーナー過程やポアソン過程（実数直線上）などのレヴィ過程は、1930年代に研究を始めたポール・レヴィにちなんで名付けられているが、^[225]無限に分割可能な分布との関連は1920年代にまで遡る。^[224] 1932年の論文で、コルモゴロフはレヴィ過程に関連するランダム変数の特性関数を導出した。この結果は後にレヴィによって1934年にさらに一般的な条件下で導出され、その後、ヒンチンが1937年にこの特性関数の別の形式を独立に与えた。^{[251] [306]レヴィ、ヒンチン、コロモゴロフに加えて、}ブルーノ・ド・フィネッティと伊藤清によってもレヴィ過程理論への初期の基本的な貢献がなされた。^[224]

数学では、数学的対象の構築が必要であり、確率過程の場合も同様である。これは、それらが数学的に存在することを証明するためである。^[57]確率過程を構築するには、主に2つのアプローチがある。1つのアプローチは、関数の測定可能な空間を考慮し、確率空間からこの関数の測定可能な空間への適切な測定可能なマッピングを定義し、対応する有限次元分布を導出することである。^[307]

もう一つのアプローチは、特定の有限次元分布を持つランダム変数の集合を定義し、次にコルモゴロフの存在定理^[j]を使用して対応する確率過程が存在することを証明することです。^{[57] [307]}この定理は、無限積空間上の測度の存在定理であり、^{[311] は}、任意の有限次元分布が整合性条件と呼ばれる2つの条件を満たす場合、それらの有限次元分布を持つ確率過程が存在すると述べています。^[57]

連続時間確率過程を構築する場合、離散時間過程では発生しない、無数な指数集合のために、ある種の数学的困難が生じる。^{[58] [59]}一つの問題は、同じ有限次元分布を持つ確率過程が複数存在する可能性があることである。例えば、ポアソン過程の左連続修正と右連続修正は、どちらも同じ有限次元分布を持つ。^[312]これは、確率過程の分布が、必ずしも確率過程のサンプル関数の特性を一意に特定するわけではないことを意味する。^{[307] [313]}

もう一つの問題は、インデックスセットの無数の点に依存する連続時間プロセスの関数は測定できない可能性があり、そのため特定のイベントの確率が明確に定義されない可能性があることです。^[168]たとえば、確率過程またはランダムフィールドの上限は、必ずしも明確に定義されたランダム変数ではありません。^{[30] [59]}連続時間確率過程の場合、インデックスセットの無数の点に依存する他の特性には次のものがあります。^[168]${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$

• 確率過程のサンプル関数は連続関数です。${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$
• 確率過程のサンプル関数はの有界関数であり、${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$
• 確率過程のサンプル関数は の増加関数です。${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$

ここで、記号∈は「集合のメンバー」と読むことができ、集合のメンバーのようになります。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle T}$

上で述べた2つの困難、すなわち「複数の...」と「...の機能」を克服するために、異なる仮定とアプローチが可能である。^[69]

ジョセフ・ドゥーブが提案した確率過程の数学的構成上の問題を回避するための一つのアプローチは、確率過程が分離可能であると仮定することである。^[314]分離可能性は、標本関数が本質的にインデックス集合内の密な可算集合上の点の値によって決定されることを要求することにより、無限次元分布が標本関数の特性を決定することを保証する。 ^[315]さらに、確率過程が分離可能であれば、インデックス集合の無数の点の関数は測定可能であり、その確率を調べることができる。^{[168] [315]}

アナトリー・スコロホドとアンドレイ・コルモゴロフによって開発された別のアプローチも可能であり、^[316]任意の計量空間を状態空間とする連続時間確率過程に対して適用できる。このような確率過程を構築するには、確率過程のサンプル関数が適切な関数空間に属していると仮定する。この関数空間は通常、左極限を持つすべての右連続関数からなるスコロホド空間である。このアプローチは現在では分離可能性の仮定よりもよく使われているが、^{[69] [262]}このアプローチに基づく確率過程は自動的に分離可能になる。^[317]

あまり使われていないが、分離可能性仮定は、すべての確率過程が分離可能なバージョンを持つため、より一般的であると考えられている。^[262]また、スコロホッド空間で確率過程を構築できない場合にも使用される。^[173]たとえば、ランダムフィールドを構築して研究する場合、ランダム変数の集合が、-次元ユークリッド空間などの実数直線以外の集合によってインデックス付けされるときに、分離可能性が仮定される。^{[30] [318]}${\displaystyle n}$

金融における確率過程の最も有名な応用例の1つは、オプション価格決定のためのブラック＝ショールズ・モデルである。フィッシャー・ブラック、マイロン・ショールズ、ロバート・ソローによって開発されたこのモデルは、特定の種類の確率過程である幾何ブラウン運動^{を使用して、資産価格のダイナミクスを記述する。 [319] [320]}このモデルは、株価が連続時間確率過程に従うと仮定し、ヨーロピアンスタイルのオプションの価格決定のための閉形式の解を提供する。ブラック＝ショールズ式は金融市場に大きな影響を与え、現代のオプション取引の多くの基礎を形成した。

ブラック・ショールズ・モデルの主な仮定は、株式などの金融資産の価格は対数正規分布に従い、その連続収益は正規分布に従うというものです。このモデルには、ボラティリティが一定であるという仮定などの制限がありますが、その単純さと実用性から、今でも広く使用されています。

金融における確率過程のもう一つの重要な応用は、市場ボラティリティの時間変動性を捉えることを目的とした確率的ボラティリティモデルである。ヘストンモデル^[321]はよく知られた例であり、資産価格のボラティリティがそれ自身の確率過程に従うことを許容している。ボラティリティが一定であると仮定するブラック・ショールズモデルとは異なり、確率的ボラティリティモデルは、特に不確実性が高い時期や市場ストレスの時期に、市場ダイナミクスをモデル化するためのより柔軟なフレームワークを提供する。

生物学における確率過程の主な応用の一つは、個体群動態である。個体群が予測可能な方法で変化すると仮定する決定論的モデルとは対照的に、確率モデルは出生、死亡、および移住における固有のランダム性を考慮する。出生死亡過程^[322]は単純な確率モデルであり、ランダムな出生と死亡により個体群が時間の経過とともにどのように変動するかを説明する。これらのモデルは、絶滅危惧種や小さな微生物個体群の場合のように、ランダムなイベントが大きな影響を与える可能性がある小さな個体群を扱う場合に特に重要である。

もう一つの例は分岐過程であり、^[322]各個体が独立して繁殖する集団の成長をモデル化します。分岐過程は、特に疫学において集団内の感染症の蔓延をモデル化できるため、集団の絶滅や爆発を説明するためによく使用されます。

確率過程はコンピュータサイエンス、特にランダム化アルゴリズムの分析と開発において重要な役割を果たしている。これらのアルゴリズムはランダムな入力を利用して問題解決を簡素化したり、複雑な計算タスクのパフォーマンスを向上させたりする。例えば、マルコフ連鎖は、GoogleのPageRankのような検索エンジンで採用されているような最適化やサンプリングタスクの確率アルゴリズムで広く使用されている。^[323]これらの方法は計算効率と精度のバランスが取れているため、大規模なデータセットの処理に非常に役立つ。ランダム化アルゴリズムは、不確実性を効果的に管理する必要がある暗号化、大規模シミュレーション、人工知能などの分野でも広く適用されている。^[323]

コンピュータサイエンスにおける確率過程のもう一つの重要な応用は、システム内のタスクのランダムな到着とサービスをモデル化する待ち行列理論である。 ^[324]これは特にネットワークトラフィック分析とサーバー管理に関連している。たとえば、待ち行列モデルは遅延の予測、リソース割り当ての管理、Webサーバーと通信ネットワークのスループットの最適化に役立つ。確率モデルの柔軟性により、研究者は高トラフィック環境のパフォーマンスをシミュレートして改善することができる。たとえば、待ち行列理論は効率的なデータセンターとクラウドコンピューティングインフラストラクチャを設計するために不可欠である。^[325]

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• ウィキメディア・コモンズの確率過程に関連するメディア