確率的セルオートマトン

確率的セルラーオートマトン、確率的セルラーオートマトン（PCA）、ランダムセルラーオートマトン、局所的に相互作用するマルコフ連鎖^[1]^[2]は、セルラーオートマトン（CMA）の重要な拡張です。セルラーオートマトンとは、相互作用するエンティティの離散時間動的システムであり、その状態は離散的です。

エンティティの集合の状態は、ある単純な同次ルールに従って離散時間ごとに更新されます。すべてのエンティティの状態は、並列または同期して更新されます。確率的セルオートマトンとは、更新ルールが確率的なCA であり、新しいエンティティの状態は、何らかの確率分布に従って選択されることを意味します。これは離散時間ランダム動的システムです。エンティティ間の空間的な相互作用から、更新ルールの単純さにもかかわらず、自己組織化のような複雑な動作が発生する可能性があります。数学的対象としては、離散時間で相互作用する粒子システムとして、確率過程のフレームワークで考えることができます。より詳細な紹介については、 ^{[3]を参照してください。}

マルコフ確率過程としての PCA

離散時間マルコフ過程として、PCA は積空間（直積）上で定義されます。ここでは有限または無限グラフで、は有限空間で、たとえばやなどです。遷移確率は積形式を持ち、は上の確率分布です。一般に、有限近傍 k の場合、何らかの局所性が必要になります。確率論の観点からのより詳細な紹介については、 ^{[4] を参照してください。} $E=\prod _{k\in G}S_{k}$ $G$ $\mathbb {Z}$ $S_{k}$ $S_{k}=\{-1,+1\}$ $S_{k}=\{0,1\}$ $P(d\sigma |\eta )=\otimes _{k\in G}p_{k}(d\sigma _{k}|\eta )$ $\eta \in E$ $p_{k}(d\sigma _{k}|\eta )$ $S_{k}$ $p_{k}(d\sigma _{k}|\eta )=p_{k}(d\sigma _{k}|\eta _{V_{k}})$ $\eta _{V_{k}}=(\eta _{j})_{j\in V_{k}}$ ${V_{k}}$

確率的セルオートマトンの例

多数決セルオートマトン

確率的更新規則を備えた多数決セルオートマトンのバージョンがあります。Toomの規則を参照してください。

格子ランダム場との関係

PCAは統計力学における強磁性のイジング模型のシミュレーションに使用できる。^[5] 統計力学の観点からいくつかのカテゴリーのモデルが研究された。

細胞ポッツモデル

確率的セルオートマトンとセルポッツモデルの間には、特に並列実装時に強いつながり^{[6]があります。}

非マルコフ一般化

Galves –Löcherbach モデルは、非マルコフ的側面を持つ一般化 PCA の例です。

参考文献

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^ RL Dobrushin; VI Kri︠u︡kov; AL Toom (1978). 確率的細胞システム：エルゴード性、記憶、形態形成。マンチェスター大学出版局。ISBN 9780719022067。
^ Fernandez, R.; Louis, P.-Y.; Nardi, FR (2018). 「第 1 章: 概要: PCA モデルと問題」。 Louis, P.-Y.; Nardi, FR (編)。確率的セルオートマトン。 Springer。doi :10.1007/978-3-319-65558-1_1。ISBN 9783319655581. S2CID 64938352。
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さらに読む

Almeida, RM; マカオ、EEN (2010)、「野火の拡散ダイナミクスのための確率的セルラーオートマトンモデル」、第 9 回ブラジルダイナミクス、制御、およびその応用に関する会議、2010 年 6 月 7 ～ 11 日、第 285 巻、p. 012038、doi : 10.1088/1742-6596/285/1/012038。
Clarke, KC; Hoppen, S. (1997)、「サンフランシスコ湾岸地域の歴史的都市化の自己修正セルラーオートマトンモデル」(PDF)、環境と計画 B: 計画とデザイン、24 (2): 247–261、Bibcode :1997EnPlB..24..247C、doi :10.1068/b240247、S2CID 40847078。
マハジャン、ミーナ・バスカー（1992）、異なるタイプの時間変動セルオートマトンによって定義された言語クラスの研究、博士論文、インド工科大学マドラス校。
西尾秀之助、小渕洋一（1975）「フォールトトレラントセルラー空間」、コンピュータとシステム科学ジャーナル、11（2）：150–170、doi：10.1016/s0022-0000（75）80065-1、MR 0389442。
スミス、アルヴィ・レイ III (1972)、「1次元セルオートマトンによるリアルタイム言語認識」、コンピュータとシステム科学ジャーナル、6 (3): 233–253、doi : 10.1016/S0022-0000(72)80004-7、MR 0309383。
Louis, P.-Y.; Nardi, FR, 編 (2018).確率的セルオートマトン. 出現、複雑性、計算. 第27巻. Springer. doi :10.1007/978-3-319-65558-1. hdl :2158/1090564. ISBN 9783319655581。
Agapie, A.; Andreica, A.; Giuclea, M. (2014)、「確率的セルラーオートマトン」、Journal of Computational Biology、21 (9): 699–708、doi :10.1089/cmb.2014.0074、PMC 4148062、PMID 24999557

[1] Toom, AL (1978)、局所的に相互作用するシステムと生物学への応用：プシュチノで開催された生物学におけるマルコフ相互作用プロセスに関するスクールセミナーの議事録、1976年3月、数学の講義ノート、第653巻、Springer-Verlag、ベルリン-ニューヨーク、ISBN 978-3-540-08450-1、MR 0479791

[2] RL Dobrushin; VI Kri︠u︡kov; AL Toom (1978). 確率的細胞システム：エルゴード性、記憶、形態形成。マンチェスター大学出版局。ISBN 9780719022067。

[IntroPCA-3] Fernandez, R.; Louis, P.-Y.; Nardi, FR (2018). 「第 1 章: 概要: PCA モデルと問題」。 Louis, P.-Y.; Nardi, FR (編)。確率的セルオートマトン。 Springer。doi :10.1007/978-3-319-65558-1_1。ISBN 9783319655581. S2CID 64938352。

[4] P.-Y. ルイス博士

[vichniac-5] Vichniac, G. (1984)、「セルラーオートマトンによる物理シミュレーション」、Physica D、10 (1–2): 96–115、Bibcode :1984PhyD...10...96V、doi :10.1016/0167-2789(84)90253-7。

[CPM-6] ボアズ、ソーニャEM;ジャン、イー。マークス、ローランドMH;プロコピウ、ソティリス A.レンス、エリザベス G. (2018)。「第 18 章: 細胞ポッツモデル: 血管形成および血管新生への応用」。ペンシルベニア州ルイにて。フランス、ナルディ（編）。確率的セルオートマトン。スプリンガー。土井：10.1007/978-3-319-65558-1_18。hdl :1887/69811。ISBN 9783319655581。