定常増分

確率論では、確率過程の変化が観測の開始時刻ではなく観測期間のみに依存する場合、その確率過程は定常増分を持つと言われます。多くの大きな確率過程族は、定義（例：レヴィ過程）または構成（例：ランダムウォーク） によって定常増分を持ちます。

確率過程は、 すべてのおよびに対して、確率変数の分布が 定常増分を持つ場合、${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle h>0}$

${\displaystyle Y_{t,h}:=X_{t+h}-X_{t}}$

は のみに依存し、 には依存しない。^{[1] [2]}${\displaystyle h}$${\displaystyle t}$

定常増分を持つことは、レヴィ過程などの多くの大きな確率過程ファミリーを定義する特性です。ウィーナー過程とポアソン過程は特別なレヴィ過程であるため、どちらも定常増分を持ちます。ランダム ウォークなどの他の確率過程ファミリーは、構造上、定常増分を持ちます。

レヴィ過程ではない定常増分を持つ確率過程の例は で与えられます。ここで は、平均 0 で分散 1 の正規分布に従う独立した同一分布のランダム変数です。この場合、増分は平均 0 で分散 2 の正規分布に従うためから独立しています。この特殊なケースでは、増分は観測期間自体からも独立しています。 ${\displaystyle X=(X_{t})}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle Y_{t,h}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle h}$

定常増分の概念は、より複雑なインデックスセットを持つ確率過程に一般化できます。を、インデックスセットが 加算に関して閉じている確率過程とします。任意の に対して、確率変数 が定常増分を持つ場合、${\displaystyle T}$${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle p,q,r\in T}$

${\displaystyle Y_{1}=X_{p+q+r}-X_{q+r}}$

そして

${\displaystyle Y_{2}=X_{p+r}-X_{r}}$

は同一の分布を持つ。を考慮するだけで十分である。^[1]${\displaystyle 0\in T}$${\displaystyle r=0}$

• 定常プロセス