ベルヌーイ試行

確率論と統計学において、ベルヌーイ試行（または二項試行）は、「成功」と「失敗」という2つの結果しか得られないランダムな実験である。これは、17世紀のスイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイが著書『Ars Conjectandi』（1713年）で分析したことにちなんで名付けられた。 ^{[ 1 ]}

ベルヌーイ試行の数学的な定式化と高度な定式化は、ベルヌーイ過程として知られています。

ベルヌーイ試行は結果が2つしかないため、「はい」か「いいえ」の質問として捉えることができます。例えば：

• シャッフルしたトランプの一番上のカードはエースですか？
• 生まれたばかりの赤ちゃんは女の子でした​​か？（人間の性比を参照。）

この文脈において、成功と失敗は2つの結果を表すラベルであり、文字通りに解釈したり、価値判断として捉えたりすべきではありません。より一般的には、任意の確率空間において、任意の事象（結果の集合）について、事象が発生したか否か（事象または補完事象）に応じてベルヌーイ試行を定義できます。ベルヌーイ試行の例としては、以下のようなものがあります。

• コインを投げる。この文脈では、表（「表」）は慣例的に成功を、裏（「裏」）は失敗を表す。公平なコインは定義上、成功する確率が0.5である。この場合、結果はちょうど2通りある。
• サイコロを振る場合、6が出れば「成功」、それ以外は「失敗」とします。この場合、考えられる結果は6通りあり、今回の結果は6です。それに対応する「6以外」という結果は、残りの5通りの結果を表します。
• 政治的な世論調査を実施する際、無作為に有権者を選び、その有権者が今後の国民投票で「賛成」票を投じるかどうかを確認する。

独立して繰り返される試行からなる実験が存在すると仮定します。各試行には2つの可能な結果しかありません。これを実験的ベルヌーイ試行と呼びます。${\displaystyle n}$実験的に成功（1）と失敗（0）が実現した場合、それらはベルヌーイ確率変数によって定義される。${\displaystyle bX_{r}|==>{x:bX_{r}==f(bX_{r}=x)::[x=1,x=0;;(p,p-1)]}}$ |${\displaystyle p=total_{1}/n}$ させて${\displaystyle p}$ベルヌーイ試行における成功確率とし、${\displaystyle q}$を失敗の確率とする。すると、成功の確率と失敗の確率は、互いに排他的かつ網羅的な事象である「成功」と「失敗」が相補的であるため、合計すると1になる。したがって、次の関係が成り立つ。

${\displaystyle p=1-q,\quad \quad q=1-p,\quad \quad p+q=1.}$

あるいは、これらはオッズの観点から表現することもできます。${\displaystyle p}$成功と${\displaystyle q}$失敗の確率は${\displaystyle p:q}$そして、その可能性は${\displaystyle q:p.}$これらは、割り算によって数値で表すこともできます。$\displaystyle o_{f}}$、そして、$\displaystyle o_{a}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q).\end{aligned}}}$

これらは乗法逆数なので、掛け合わせると1になり、以下の関係が成り立ちます。

${\displaystyle o_{f}=1/o_{a},\quad o_{a}=1/o_{f},\quad o_{f}\cdot o_{a}=1.}$

ベルヌーイ試行が有限個の等確率の結果からの事象を表す場合、${\displaystyle S}$結果の成功と${\displaystyle F}$結果の1つは失敗であり、その確率は${\displaystyle S:F}$そして、その可能性は${\displaystyle F:S.}$これにより、確率とオッズに関する以下の公式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=S/(S+F)\\q&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S.\end{aligned}}}$

ここでは、オッズは確率ではなく結果の数で割ることによって計算されますが、これらの比率は両方の項に同じ定数係数を掛けることによってのみ異なるため、割合は同じです。

ベルヌーイ試行を表す確率変数は、多くの場合、1 =「成功」、0 =「失敗」という慣例を用いて符号化される。

ベルヌーイ試行と密接に関連しているのが二項実験で、これは固定数の${\displaystyle n}$統計的に独立したベルヌーイ試行のそれぞれが成功確率を持つ${\displaystyle p}$は成功回数をカウントします。二項実験に対応する確率変数は、で表されます。${\displaystyle B(n,p)}$、そして二項分布に従うと言われています。ちょうどの確率は${\displaystyle k}$実験の成功${\displaystyle B(n,p)}$次のように与えられます。

${\displaystyle P(k)={n \choose k}p^{k}q^{nk}}$

どこ${\displaystyle {n \choose k}}$は二項係数です。

ベルヌーイ試行は、負の二項分布（特定の回数の失敗が見られるまで、一連のベルヌーイ試行を繰り返して成功回数を数える分布）や、その他さまざまな分布につながる可能性があります。

複数のベルヌーイ試行が行われ、それぞれに成功確率がある場合、これらはポアソン試行と呼ばれることがあります。^{[ 2 ]}

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• ボシュルーのテスト

• 「ベルヌーイ試行」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• 「n回のベルヌーイ試行のシミュレーション」 . math.uah.edu . 2025年3月16日取得。