コルモゴロフ拡張定理

数学において、コルモゴロフの拡大定理（コルモゴロフの存在定理、コルモゴロフの無矛盾定理、ダニエル・コルモゴロフの定理とも呼ばれる）は、有限次元分布の適切に「無矛盾な」集合が確率過程を定義することを保証する定理である。この定理は、イギリスの数学者パーシー・ジョン・ダニエルとロシアの数学者アンドレイ・ニコラエヴィチ・コルモゴロフによって提唱された。^[1]

何らかの間隔（「時間」と考えられる）を表し、 とします。および異なる時間の有限シーケンスのそれぞれについて、を 上の確率測度とします。これらの測度が 2 つの一貫性条件を満たすものとします。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k}\in T}$${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{k}.}$

1.および測定可能な集合のすべての順列 に対して、 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nu _{t_{\pi (1)}\dots t_{\pi (k)}}\left(F_{\pi (1)}\times \dots \times F_{\pi (k)}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right);}$

2. すべての測定可能な集合に対して、${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k},t_{k+1},\dots ,t_{k+m}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{n}\times \dots \times \mathbb {R} ^{n}} _{m}\right).}$

すると、確率空間 と確率過程が存在し、 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\mathbb {P} \left(X_{t_{1}}\in F_{1},\dots ,X_{t_{k}}\in F_{k}\right)}$

すべての、および測定可能な集合に対して、つまり は時間 に対する有限次元分布として を持ちます。 ${\displaystyle t_{i}\in T}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$${\displaystyle t_{1}\dots t_{k}}$

実際、 を基礎確率空間 としてとり、 を標準過程としてとることが常に可能です。したがって、コルモゴロフの拡張定理を述べる別の方法は、上記の無矛盾条件が成り立つと仮定すると、任意の有限の時刻 の集合に対して周辺を持つ上の(一意の) 測度が存在する、というものです。コルモゴロフの拡張定理は が非可算な場合に適用されますが、このレベルの一般性を得るには、測度が の積 σ 代数でのみ定義され、それほど豊富ではないという 代償を払う必要があります。${\displaystyle \Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\colon (t,Y)\mapsto Y_{t}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{T}}$${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$${\displaystyle t_{1}\dots t_{k}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{T}}$

定理に必要な 2 つの条件は、任意の確率過程によって自明に満たされます。たとえば、実数値の離散時間確率過程 を考えてみましょう。この場合、確率はまたは として 計算できます。したがって、有限次元分布が一貫しているためには、 が成立する必要があります 。最初の条件は、このステートメントを任意の数の時点および任意の制御セットに対して成立するように一般化します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}}$${\displaystyle \nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})}$${\displaystyle \nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})}$${\displaystyle \nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})=\nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle F_{i}}$

例を続けると、2 番目の条件は を意味します。また、これは有限次元分布の任意の一貫した族によって満たされる自明な条件です。 ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{1}>0)=\mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}\in \mathbb {R} )}$

2 つの条件は任意の確率過程に対して自明に満たされるため、この定理の力は、他の条件は必要ないという点にあります。つまり、任意の合理的な (つまり、一貫性のある) 有限次元分布の族に対して、これらの分布を持つ確率過程が存在します。

確率過程に対する測度論的アプローチは、確率空間から始まり、確率過程をこの確率空間上の関数の族として定義します。しかし、多くの応用では、出発点は実際には確率過程の有限次元分布です。定理によれば、有限次元分布が明らかな一貫性要件を満たしていれば、目的に合った確率空間を常に特定できます。多くの場合、これは確率空間が何であるかを明示的に示す必要がないことを意味します。確率過程に関する多くのテキストでは、確かに確率空間を前提としていますが、それが何であるかを明示的に述べることはありません。

この定理は、有限次元分布をガウス確率変数として指定し、上記の無矛盾条件を満たすことで、ブラウン運動の存在の標準的な証明の 1 つに使用されます。ブラウン運動のほとんどの定義と同様に、サンプル パスがほぼ確実に連続していることが要求され、次にコルモゴロフの連続定理を使用して、コルモゴロフの拡張定理によって構築されたプロセスの連続的な修正を構築します。

コルモゴロフ拡張定理は、ユークリッド空間上の測度の集合が何らかの- 値確率過程の有限次元分布となるための条件を与えるが、状態空間が であるという仮定は不要である。実際、これらの測度が特定の適合関係を満たす限り、測定可能な空間の任意の集合と、これらの空間の有限積上に定義された内部正則測度の集合があれば十分である。一般定理の正式な記述は以下のとおりである。^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

を任意の集合とする。 を測定可能な空間の集合とし、各 に対して を上のハウスドルフ位相とする。各有限部分集合 に対して、定義する。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \{(\Omega _{t},{\mathcal {F}}_{t})\}_{t\in T}}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle \tau _{t}}$${\displaystyle \Omega _{t}}$${\displaystyle J\subset T}$

${\displaystyle \Omega _{J}:=\prod _{t\in J}\Omega _{t}}$。

部分集合 については、 が正準投影マップを表すものとします。 ${\displaystyle I\subset J\subset T}$${\displaystyle \pi _{I}^{J}:\Omega _{J}\to \Omega _{I}}$${\displaystyle \omega \mapsto \omega |_{I}}$

各有限集合 に対して、 上の積位相（ によって誘導される）に関して内部正則となる確率測度が上にあると仮定する。また、この測度の集合が次の適合関係を満たすと仮定する。有限集合 に対して、 ${\displaystyle F\subset T}$${\displaystyle \mu _{F}}$${\displaystyle \Omega _{F}}$${\displaystyle \tau _{t}}$${\displaystyle \Omega _{F}}$${\displaystyle \{\mu _{F}\}}$${\displaystyle F\subset G\subset T}$

${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}}$

ここで、 は正準射影マップによって誘導されるのプッシュフォワード測度を表します。 ${\displaystyle (\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}}$${\displaystyle \mu _{G}}$${\displaystyle \pi _{F}^{G}}$

すると、任意の有限部分集合 に対して となるような、上の一意の確率測度が存在します。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Omega _{T}}$${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{T})_{*}\mu }$${\displaystyle F\subset T}$

注記として、すべての測度はそれぞれの空間上の積シグマ代数で定義されますが、これは (前述のように) かなり粗いものです。追加の構造が関係している場合、測度はより大きなシグマ代数に適切に拡張されることがあります。 ${\displaystyle \mu _{F},\mu }$${\displaystyle \mu }$

定理の元の記述は、すべての に対して、に対して となるこの定理の特殊なケースにすぎないことに注意してください。確率過程は、確率測度 でに定義される標準的な過程に過ぎません。定理の元の記述が測度の内部正則性について言及していないのは、ポーランド空間上のボレル確率測度は自動的にラドン となるため、これが自動的に続くためです。 ${\displaystyle \Omega _{t}=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle \mu _{\{t_{1},...,t_{k}\}}=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$${\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in T}$${\displaystyle (\pi _{t})_{t\in T}}$${\displaystyle \Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}}$${\displaystyle P=\mu }$${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$

この定理には多くの広範囲にわたる結果があり、たとえば、次のようなものの存在を証明するために使用できます。

• ブラウン運動、すなわちウィーナー過程、
• 与えられた遷移行列を持つ与えられた状態空間で値を取るマルコフ連鎖、
• (内部正則)確率空間の無限積。

ジョン・アルドリッチによれば、この定理はイギリスの数学者パーシー・ジョン・ダニエルによって、積分理論というわずかに異なる設定で独立に発見されたという。^[3]

• Aldrich, J. (2007)「しかし、シェフィールドの PJDaniell を忘れてはならない」確率と統計の歴史に関する電子ジャーナル、2007 年 12 月。