ランダムフィールド

物理学と数学において、ランダム場は任意の領域（通常は のような多次元空間）上のランダム関数である。つまり、各点（または他の領域）でランダムな値を取る関数である。また、インデックス セットに何らかの制限がある確率過程の同義語として考えられることもある。つまり、現代の定義では、ランダム場は確率過程の一般化であり、基礎となるパラメータはもはや実数値または整数値の「時間」である必要はなく、代わりに多次元ベクトルまたは何らかの多様体上の点である値を取ることができる。^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

確率空間 が与えられたとき、X値ランダムフィールドは位相空間Tの要素でインデックス付けされたX値ランダム変数の集合である。つまり、ランダムフィールドFは集合である。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

ここで、それぞれはX値のランダム変数です。 ${\displaystyle F_{t}}$

離散バージョンでは、ランダム フィールドは、インデックスが空間 (たとえば、n次元 ユークリッド空間) 内の離散的な点の集合で識別される乱数のリストです。2D グリッド内の (0,0)、(0,2)、(2,2)、(2,0) にそれぞれ配置されている 、、、および という 4 つのランダム変数があるとします。各ランダム変数は -1 または 1 の値を取ることができ、各ランダム変数の値の確率は、そのすぐ隣の変数によって決まるとします。これは、離散ランダム フィールドの簡単な例です。 ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{3}}$${\displaystyle X_{4}}$

より一般的には、それぞれが取り得る値は、連続領域上で定義される可能性があります。より大きなグリッドでは、ランダム フィールドを、上で説明した「関数値」ランダム変数として考えることも役立ちます。量子場理論では、この概念はランダム関数に一般化され、関数の空間上でランダムな値を取ります(ファインマン積分 を参照)。 ${\displaystyle X_{i}}$

ランダム場にはいくつかの種類があり、その中にはマルコフランダム場(MRF)、ギブスランダム場、条件付きランダム場(CRF)、ガウスランダム場などがあります。1974 年に、Julian Besag はMRF とギブス RF の関係に基づく近似法を提案しました。^{[引用が必要]}

MRFはマルコフ特性を示す

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}$

それぞれの値の選択について。ここで、それぞれはの近傍の集合です 。言い換えれば、ランダム変数が値をとる確率は、そのすぐ隣のランダム変数に依存します。MRF ^{[明確化が必要]}におけるランダム変数の確率は次のように与えられます。 ${\displaystyle (x_{j})_{j}}$${\displaystyle \partial_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},}$

ここで、合計（積分になる場合もある）は k の可能な値全体にわたります。^{[説明が必要]}この量を正確に計算することが難しい場合があります。

自然科学で使用される場合、ランダム フィールドの値は空間的に相関していることがよくあります。たとえば、隣接する値 (つまり、隣接するインデックスを持つ値) は、離れた値ほど差がありません。これは共分散構造の例であり、ランダム フィールドではさまざまなタイプをモデル化できます。1 つの例はIsing モデルで、このモデルでは、最近傍相互作用は、モデルを理解しやすくするための単純化としてのみ含まれることがあります。

ランダムフィールドの一般的な用途は、コンピュータグラフィックス、特に水や土などの自然の表面を模倣したものの生成です。ランダムフィールドは、 ^[2]のように地下の地盤モデルにも使用されています。

神経科学、特にPETやfMRIを用いたタスク関連の機能的脳画像研究では、ランダムフィールドの統計的分析は、真に有意な活性化を示す領域を見つけるための多重比較補正の一般的な代替手段の1つです。^{[3]より一般的には、ランダムフィールドは、統計的検定における}look-elsewhere効果を補正するために使用することができ、ドメインは探索されるパラメータ空間です^[4]。

これらは機械学習アプリケーションでも使用されます (グラフィカル モデルを参照)。

ランダム場は、モンテカルロ法による自然現象の研究に非常に役立ちます。モンテカルロ法では、ランダム場は自然に空間的に変化する特性に対応します。これにより、テンソル値のランダム場^{[明確化が必要]が生まれます。このランダム場では、}統計体積要素(SVE)が重要な役割を果たします。統計体積要素は、特性を平均化できる空間ボックスです。SVE が十分に大きくなると、その特性は決定論的になり、決定論的連続体物理学の代表体積要素(RVE) が回復されます。連続体理論に現れる 2 番目のタイプのランダム場は、従属量 (温度、変位、速度、変形、回転、物体および表面の力、応力など) のランダム場です。^{[5] [明確化が必要]}

• 共分散
• クリギング
• バリオグラム
• リセル
• 確率過程
• 相互作用粒子システム
• 確率的セルオートマトン

• Adler, RJ & Taylor, Jonathan (2007)。ランダムフィールドと幾何学。Springer。ISBN 978-0-387-48112-8。
• Besag, JE (1974). 「空間相互作用と格子システムの統計分析」。​​英国王立統計学会誌。シリーズ B。36 ( 2): 192–236。doi :10.1111/ j.2517-6161.1974.tb00999.x。
• グリフェス、デイビッド (1976)。「ランダム フィールド」。ケメニー、ジョン G.、スネル、ローリー、ナップ、アンソニー W. (編)。可算マルコフ連鎖 (第 2 版)。シュプリンガー。ISBN 0-387-90177-9。
• Davar Khoshnevisan (2002)。マルチパラメータプロセス：ランダムフィールド入門。Springer。ISBN 0-387-95459-7。