定常過程

正式には、${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$確率過程とし、${\displaystyle F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })}$無条件（つまり、特定の開始値を参照しない）同時分布の累積分布関数を表す。${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$時々​${\displaystyle t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{n}+\tau }$⁠。それから、${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$^{[ 1 ] : 155}の場合、厳密に定常、強定常、または厳密な意味で定常であると言われる。

以来$\displaystyle \tau }$影響しない${\displaystyle F_{X}(\cdot )}$⁠、${\displaystyle F_{X}}$時間とは無関係である。

ホワイトノイズは、定常過程の最も単純な例である。

標本空間も離散的である離散時間定常過程の例（つまり、確率変数は のいずれかをとることができる）${\displaystyle N}$可能な値) はベルヌーイ スキームです。連続サンプル空間を持つ離散時間定常プロセスのその他の例としては、自己回帰移動平均モデルのサブセットである自己回帰プロセスと移動平均プロセスがあります。非自明な自己回帰成分を持つモデルは、パラメータ値に応じて定常または非定常のいずれかになり、重要な非定常の特殊ケースは、モデルに単位根が存在する場合です。

信号処理で一般的に用いられる定常性の弱い形式は、弱意味定常性、広意味定常性（WSS）、または共分散定常性として知られています。WSSランダムプロセスは、1次モーメント（すなわち平均）と自己共分散が時間に関して変化せず、2次モーメントがすべての時間で有限であることのみを必要とします。有限の平均と共分散を持つ厳密に定常なプロセスはすべてWSSでもあります。^{[ 2 ]： 299}

つまり、連続時間ランダムプロセス${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$つまり、WSSは平均関数に関して以下の制約を受ける。${\displaystyle m_{X}(t)\triangleq \operatorname {E} [X_{t}]}$および自己共分散関数${\displaystyle K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]}$⁠ :

最初の性質は平均関数が${\displaystyle m_{X}(t)}$は一定でなければならない。2番目の性質は、自己共分散関数が の差のみに依存することを意味する。$t1$そして$t2$そして、2つの変数ではなく1つの変数でインデックス付けするだけでよい。^{[ 1 ] : 159}したがって、次のように書く代わりに、

${\displaystyle \,\!K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)\,}$

この表記は、しばしば次の置換によって省略される。$\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$⁠ :

${\displaystyle K_{XX}(\tau )\triangleq K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)}$

これはまた、自己相関がのみに依存することを意味する。$\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$つまり​

${\displaystyle R_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{1}-t_{2},0)\triangleq R_{X}(\tau ).}$

3つ目の性質は、任意の時刻において2次モーメントが有限でなければならないということである。${\displaystyle t}$⁠ .

広義定常性の主な利点は、時系列をヒルベルト空間の文脈に置くことである。${\displaystyle H}$は、によって生成されるヒルベルト空間である。${\displaystyle \{x(t)\}}$（つまり、与えられた確率空間上のすべての二乗可積分確率変数のヒルベルト空間における、これらの確率変数のすべての線形結合の集合の閉包である。）自己共分散関数の正定値性により、ボフナーの定理から、正の測度が存在することが${\displaystyle \mu }$実数直線上で、${\displaystyle H}$はのヒルベルト部分空間と同型である${\displaystyle L^{2}(\mu )}$によって生成されました${\displaystyle \{e^{-2\pi i\xi \cdot t}\}}$⁠。これにより、連続時間定常確率過程に対して次のフーリエ型分解が得られます。確率過程が存在します。${\displaystyle \omega _{\xi }}$すべての に対して、直交増分を持つ。${\displaystyle t}$⁠ :

${\displaystyle X_{t}=\int e^{-2\pi i\lambda \cdot t}\,d\omega _{\lambda },}$

ここで、右辺の積分は適切な（リーマン）意味で解釈される。離散時間定常過程についても同様の結果が得られ、スペクトル測度は単位円上で定義される。

線形時不変（LTI）フィルタを用いてWSSランダム信号を処理する場合、相関関数を線形演算子として考えると便利です。相関関数は巡回演算子（2つの引数の差のみに依存する）であるため、その固有関数はフーリエ複素指数関数となります。さらに、LTI演算子の固有関数も複素指数関数であるため、WSSランダム信号のLTI処理は非常に扱いやすく、すべての計算を周波数領域で行うことができます。したがって、WSS仮定は信号処理アルゴリズムで広く用いられています。

の場合${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$は複雑な確率過程であり、自己共分散関数は次のように定義される。${\displaystyle K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]}$また、式3の要件に加えて、擬似自己共分散関数が${\displaystyle J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]}$時間差のみに依存します。数式では、${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$WSS の場合、

2つの確率過程${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$そして${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$それらの同時累積分布が同時厳密定常であるならば、それらは同時厳密定常であると呼ばれる。${\displaystyle F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})}$時間シフトの下で変化しない、つまり

2つの確率過程${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$そして${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$共同で（${\displaystyle M+N}$⁠ )次定常となる場合： ^{[ 1 ] : 159}

2つの確率過程${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$そして${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$が両方とも広義定常であり、かつ相互共分散関数が${\displaystyle K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]}$時差のみに依存する${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$これは以下のように要約できます。

時系列データを一次定常化する方法の一つとして、連続する観測値間の差分を計算する方法があります。これは差分法と呼ばれます。差分法は、時系列データの水準の変化を取り除くことで、時系列データの平均値を安定させ、トレンドを除去するのに役立ちます。また、適切な差分を取ることで（例えば、1年間隔の観測値の差分を取ることで年間トレンドを除去するなど）、季節性も除去できます。対数変換などの変換は、時系列データの分散を安定させるのに役立ちます。

定常化のための代理法^{[ 7 ]}は、元の時系列の特定の統計的特性を保持しつつ、非定常成分を除去する新しい時系列を生成することによって機能します。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}一般的なアプローチは、元の時系列にフーリエ変換を適用して、その振幅スペクトルと位相スペクトルを取得することです。周波数全体にわたるパワー分布を決定する振幅スペクトルは、グローバルな自己相関構造を保持するために保持されます。周波数成分の時間的アライメントを符号化し、時系列における時間依存のダイナミクス（非定常性など）の原因となることが多い位相スペクトルは、通常、一様に抽出された一連のランダムな位相で置き換えることによってランダム化されます。${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$共役対称性を強制しながら、実数値の逆関数を保証します。修正されたスペクトルに逆フーリエ変換を適用すると、厳密に定常な代理時系列が得られます。^{[ 11 ]}これは、元のものと同じパワースペクトルを持ちますが、非定常性を引き起こした時間構造がありません。この手法は、定常性特性を調査するための仮説検定でよく使用されます。^{[ 8 ] [ 10 ] [ 12 ] [ 13 ]}