相互作用粒子システム

確率論において、相互作用粒子システム( IPS ) は、サイト空間(可算無限次グラフ)とローカル状態空間 (コンパクトな距離空間)によって与えられる何らかの配置空間上の確率過程 です。より正確には、IPS は確率的に相互作用するコンポーネントの集合的な動作を記述する連続時間マルコフジャンプ過程です。IPS は、確率的セルオートマトン ( SCA) の連続時間版です。 ${\displaystyle (X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$${\displaystyle \Omega =S^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

主な例としては、投票者モデル、接触過程、非対称単純排除過程(ASEP)、グラウバー動力学、特に確率的イジングモデルが挙げられます。

IPS は通常、マルコフ生成器によって定義され、マルコフ半群とHille-Yosida 定理 を使用した一意のマルコフ過程を生成します。生成器は、いわゆる遷移率 によって与えられます。ここで、 はサイトの有限集合であり、すべてのに対して です。この率は、構成 から構成 にジャンプするプロセスの指数関数的な待機時間を表します。より一般的には、遷移率は上の有限測度の形式で与えられます。 ${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0}$${\displaystyle \Lambda \subset G}$${\displaystyle \eta ,\xi \in \Omega }$${\displaystyle \eta _{i}=\xi _{i}}$${\displaystyle \notin \Lambda }$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )}$${\displaystyle S^{\Lambda}}$

IPS の生成器は次の形式をとる。まず、 のドメインは「観測可能値」の空間の部分集合、つまり配置空間 上の実数値連続関数の集合である。次に、のドメイン内の任意の観測可能値に対して、 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]}$。

例えば、確率的イジングモデルでは、あると すると、${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$${\displaystyle c_{\Lambda }=0}$${\displaystyle \Lambda \neq \{i\}}$${\displaystyle i\in G}$

${\displaystyle c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|ji|=1}\eta _{i}\eta _{j}] }$

ここで、の構成は と等しくなりますが、サイトで反転されます。は、逆温度をモデル化する新しいパラメーターです。 ${\displaystyle \eta^{i}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \beta}$

投票者モデル(通常は連続時間ですが、離散バージョンもあります) は、接触プロセスに似たプロセスです。このプロセスでは、特定のトピックに対する投票者の態度を表すものと見なされます。投票者は、独立した指数ランダム変数に従って分布する時間に意見を再考します (これにより、局所的にポアソン過程が得られます。一般に投票者は無限に存在するため、グローバルなポアソン過程は使用できないことに注意してください)。再考の際には、投票者はすべての近隣者の中から 1 人の近隣者を均一に選択し、その近隣者の意見を採用します。近隣者の選択を均一以外のものにすることで、プロセスを一般化できます。 ${\displaystyle \eta (x)}$

1 次元の離散時間投票者モデルでは、は時間 における粒子の状態を表します。非公式には、各個人は直線上に配置され、半径 内にある他の個人を「見る」ことができます。これらの人々の一定割合以上が反対する場合、個人は態度を変え、そうでない場合は同じ態度を維持します。Durrett と Steif (1993) および Steif (1994)は、大きな半径に対して、ほとんどの個人が決して変わらない場合 、およびの限界でほとんどのサイトが同意するという臨界値が存在することを示しています。(これらの結果は両方とも の確率が半分であると仮定しています。) ${\displaystyle \xi _{t}(x):\mathbb {Z} \to \{0,1\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta _{c}}$${\displaystyle \theta >\theta _{c}}$${\displaystyle \theta \in (1/2,\theta _{c})}$${\displaystyle \xi_{0}(x)=1}$

このプロセスはより多くの次元に自然に一般化され、これに関するいくつかの結果はDurrettと Steif (1993) で説明されています。

連続時間プロセスは、各個人が一度に信念を持ち、それを近隣の人々の態度に基づいて変更するという点で類似しています。このプロセスは、 Liggett (1985、226) によって非公式に説明されています。「定期的に (つまり、独立した指数時間で)、個人は、かなり単純な方法で自分の見解を再評価します。つまり、一定の確率でランダムに「友人」を選択し、その立場を採用します。」この解釈に基づいて、Holley とLiggett (1975)によってモデルが構築されました。

このプロセスは、動物が領土をめぐって争い、互角の力を持つ場合に、クリフォードとサドベリー (1973) が最初に提案したプロセスに相当します。特定の時間に、近隣の動物が侵入する場所が選択されます。

• クリフォード、ピーター、エイダン・サドベリー（1973）。「空間的葛藤のモデル」バイオメトリカ60 （3 ）：581-588。doi ：10.1093/ biomet /60.3.581。
• Durrett , Richard ; Jeffrey E. Steif (1993). 「しきい値投票システムの固定結果」。確率年報。21 (1): 232–247。doi : 10.1214/ aop /1176989403。
• Holley, Richard A.; Thomas M. Liggett ( 1975). 「弱く相互作用する無限システムのエルゴード定理と投票者モデル」。確率年報。3 (4): 643–663. doi : 10.1214/aop/1176996306。
• Steif, Jeffrey E. (1994). 「臨界点における閾値投票オートマトン」.確率年報. 22 (3): 1121–1139. doi : 10.1214/aop/1176988597 .
• Liggett, Thomas M. (1997). 「相互作用システムの確率モデル」.確率年報. 25 (1). 数理統計研究所: 1–29. doi : 10.1214/aop/1024404276 . ISSN  0091-1798.
• リゲット、トーマス・M. (1985)。相互作用粒子システム。ニューヨーク：シュプリンガー出版。ISBN 0-387-96069-4。