エルゴード過程

物理学、統計学、計量経済学、信号処理において、確率過程は、観測量のアンサンブル平均が時間平均に等しい場合にエルゴード的レジームにあると言われます。 ^{[ 1 ]}このレジームでは、過程からのランダムサンプルの任意の集合は、レジーム全体の平均的な統計的特性を表す必要があります。^{[ 2 ]}レジームは、エルゴード性尺度が適用される過程の時間窓を意味します。

広義の定常過程${\displaystyle X(t)}$一定の平均値を持つ

${\displaystyle \mu _{X}=E[X(t)],}$

および自己共分散

${\displaystyle r_{X}(\tau )=E[(X(t)-\mu _{X})(X(t+\tau )-\mu _{X})],}$

それはラグのみに依存する $\displaystyle \tau }$そして時間通りに来なかった${\displaystyle t}$特性${\displaystyle \mu _{X}}$そして$\displaystyle r_{X}(\tau )}$これらはアンサンブル平均（すべての可能なサンプル関数について計算） です${\displaystyle X}$時間平均ではなく、時間平均です。

そのプロセス${\displaystyle X(t)}$ 時間平均推定値が平均エルゴード的^{[ 3 ]}または一次モーメントで平均二乗エルゴード的^{[ 4 ]}であると言われます。

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}X(t)\,dt}$

二乗平均がアンサンブル平均に収束する${\displaystyle \mu _{X}}$ として${\displaystyle T\rightarrow \infty }$。

^同様に、時間平均 推定^値が

${\displaystyle {\hat {r}}_{X}(\tau )={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}[X(t+\tau )-\mu _{X}][X(t)-\mu _{X}]\,dt}$

二乗平均がアンサンブル平均に収束する$\displaystyle r_{X}(\tau )}$、 として${\displaystyle T\rightarrow \infty }$平均と自己共分散に関してエルゴード的なプロセスは、広い意味でエルゴード的と呼ばれることがある。

エルゴード性の概念は、離散時間ランダム過程にも適用される。 ${\displaystyle X[n]}$整数${\displaystyle n}$。

離散時間ランダム過程${\displaystyle X[n]}$平均に関してエルゴード的である場合

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}X[n]}$

二乗平均が アンサンブル平均に収束する${\displaystyle E[X]}$、 として${\displaystyle N\rightarrow \infty }$。

エルゴード性とは、集団平均が時間平均に等しいことを意味する。以下に、この原理を説明するための例を示す。

• 偏りのないランダムウォークは非エルゴード的である。その期待値は常にゼロであるが、時間平均は発散する分散を持つ確率変数となる。

• 2枚のコインがあるとします。1枚は公平なコインで、もう1枚は両面とも表です。まず、どちらかのコインを（無作為に）選び、次に選んだコインを独立に連続して投げます。n回目の投げの結果をX[n]とします。表が出た場合は1、裏が出た場合は0です。すると、アンサンブル平均は1/2(1/2 + 1) = 3/4となります。しかし、長期平均は公平なコインでは1/2 、両面とも表のコインでは1となります。したがって、長期的な時間平均は1/2または1のいずれかになります。つまり、このランダム過程は平均に関してエルゴード的ではありません。

• エルゴード仮説
• エルゴード性
• エルゴード理論とは、エルゴード性のより一般的な定式化を扱う数学の一分野である。
• ロシュミットのパラドックス
• ポアンカレの再帰定理

• Porat, B. (1994).デジタルランダム信号処理：理論と方法. Prentice Hall. p.  14. ISBN 0-13-063751-3。
• パポリス、アタナシオス（1991）。確率、確率変数、および確率過程。ニューヨーク：マグロウヒル。427 ～ 442頁。ISBN  0-07-048477-5。