インデックス付きファミリー

数学において、族、またはインデックス付き族とは、非公式には、あるインデックス セットのインデックスに関連付けられたオブジェクトの集合です。たとえば、整数の集合によってインデックス付けされた実数の族は、実数の集合であり、指定された関数はインデックス付けとして各整数 (同じ場合もあります) に対して 1 つの実数を選択します。

より正式には、インデックス付きファミリとは、その定義域と像を伴う数学関数です(つまり、インデックス付きファミリと数学関数は技術的には同一で、視点が異なるだけです)。 多くの場合、セットの要素はファミリを構成するものと呼ばれます。 この見方では、インデックス付きファミリは関数ではなく、インデックス付き要素のコレクションとして解釈されます。 セットはファミリのインデックス セットと呼ばれ、 はインデックス付きセットです。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$

シーケンスは、自然数でインデックス付けされた族の一種です。一般に、インデックス セットは可算である必要はありません。たとえば、実数でインデックス付けされた自然数のサブセットの非可算族を考えることができます。 ${\displaystyle I}$

およびを集合および関数とし、 が の元であり、関数による の像が で表されるものとします。たとえば、 は で表されます。記号 は、が で添字付けされたの元であることを示すために使用します。 したがって、関数はで添字付けされたの元族を確立し、 は で示されるか、または添字集合が既知であると仮定すれば単に で表されます。 括弧の代わりに山括弧や波括弧が使用されることもありますが、波括弧を使用すると、添字付き族と集合を混同する恐れがあります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f~:~&I\to X\\&i\mapsto x_{i}=f(i),\end{aligned}}}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f(i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle f(3)}$${\displaystyle x_{3}.}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I,}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I},}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)}$

関数とインデックス付きファミリは形式的には同等です。これは、定義域を持つ関数はファミリを誘導し、その逆も同様であるためです。ファミリの要素であることは、対応する関数の範囲内にあることと同じです。ただし、実際には、ファミリは関数ではなくコレクションとして扱われます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle (f(i))_{i\in I}}$

任意の集合は、がそれ自身でインデックス付けされる（つまり、 は恒等関数である）族を生じます。しかし、集合は異なるオブジェクトの集合であるのに対し、族は、族内では異なるインデックスで同じオブジェクトが複数回出現できるという点で集合と異なります。族には、対応する関数が単射である場合に限り、任意の要素が 1 回だけ含まれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(x_{t}\right)_{t\in X},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

インデックス付きファミリは、の下でのの像である集合を定義します。マッピングは単射である必要はないので、となる が存在する可能性があります。したがって、、ただし は集合の濃度を表します。たとえば、自然数でインデックス付けされたシーケンスには、像集合 があります。さらに、集合は上の構造に関する情報を持ちません。したがって、ファミリの代わりに集合を使用すると、一部の情報が失われる可能性があります。たとえば、ファミリのインデックス集合の順序付けは、ファミリの順序付けを誘導しますが、対応する像集合の順序付けは誘導しません。 ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\},}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle i,j\in I}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle x_{i}=x_{j}.}$${\displaystyle |{\mathcal {X}}|\leq |I|}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle \left((-1)^{i}\right)_{i\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$${\displaystyle \left\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\{-1,1\}.}$${\displaystyle \{x_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle I.}$

インデックス付きファミリーは、インデックス付きファミリーのサブファミリーであり、その場合のみ、はサブセットであり、すべてに当てはまります。${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i\in J}}$${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle B_{i}=A_{i}}$${\displaystyle i\in J.}$

たとえば、次の文を考えてみましょう。

ベクトルは線形独立です。${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

ここで はベクトルの族を表します。集合は順序付けられていないので集合の - 番目のベクトルは存在しないため、 - 番目のベクトルはこの族に関してのみ意味を持ちます。さらに、線型独立性はコレクションの特性として定義されます。したがって、それらのベクトルが集合として、または族として線型独立であるかどうかは重要です。たとえば、とを同じベクトルとして考えると、それらの集合は1 つの要素のみで構成され (集合は順序付けられていない個別の要素のコレクションであるため)、線型独立ですが、族には同じ要素が 2 回含まれ (インデックスが異なるため)、線型従属です (同じベクトルは線型従属です)。 ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i\in \{1,\ldots ,n\}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle v_{1}=v_{2}=(1,0)}$

テキストに次のようなことが書かれているとします。

正方行列は、行が線形独立である場合に限り、逆行列となります。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

前の例と同様に、 の行が集合としてではなく族として線形独立である ことが重要です。たとえば、行列 を考えます。行の集合は単一の要素で構成されます 。集合は一意の要素で構成されているため線形独立ですが、行列の行列式が 0 であるため、行列は逆行列ではありません。一方、行の族には、1 行目と 2 行目のように異なるインデックスが付けられた 2 つの要素が含まれるため、線形従属です。したがって、この記述は行の族を指している場合は正しいですが、行の集合を指している場合は間違っています。(この記述は、「行」が多重集合 を指していると解釈される場合にも正しいです。多重集合でも要素は個別に保持されますが、インデックス付き族の構造の一部が欠けています。) ${\displaystyle A}$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (1,1)}$

を正の整数である有限集合とします。 ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \{1,2,\ldots n\},}$${\displaystyle n}$

• 順序付きペア（2組）は、2つの要素の集合によってインデックス付けされたファミリであり、順序付きペアの各要素は、集合の要素によってインデックス付けされます。${\displaystyle \mathbf {2} =\{1,2\};}$${\displaystyle \mathbf {2} .}$
• -タプルは集合によってインデックス付けされた族である${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {n} .}$
• 無限数列は自然数によってインデックス付けされた族です。
• リストは、指定されていないシーケンスまたは無限シーケンスの -tupleです。${\displaystyle n}$${\displaystyle n,}$
• 行列は、要素が順序付けられたペアであるデカルト積によってインデックス付けされたファミリです。たとえば、行列要素を 2 行目と 5 列目にインデックス付けします。${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {m} }$${\displaystyle (2,5)}$
• ネットは有向集合によってインデックス付けされたファミリです。

インデックスセットは、合計やその他の同様の演算でよく使用されます。たとえば、がインデックス付きの数の族である場合、それらのすべての数の合計は次のように表されます。 ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}.}$$

が集合族であるとき、それらすべての集合の和集合は次のように表される。 ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}.}$$

交差と直積についても同様です。

圏論における類似の概念は図と呼ばれます。図は、別の圏Jによってインデックス付けされ、2 つのインデックスに依存する射によって関連付けられた、圏 C 内のオブジェクトのインデックス付きファミリを生成する関数です。

• 配列データ型 – 要素（値または変数）の順序付けられたコレクションを表すデータ型リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 共積 – 圏論的構成
• 図（圏論）  – 圏内のオブジェクトと射のインデックス付きコレクション
• 不連続和 – 数学では、集合に対する演算
• 集合の族 – 集合の集合、または集合のサブセット
• インデックス表記法 – 配列やテンソルの要素を参照する方法
• ネット（数学）  – 点の列の一般化
• パラメトリック ファミリ – 定義が一連のパラメータに依存するオブジェクトのファミリフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• シーケンス – 有限または無限の順序付き要素リスト
• タグ付きユニオン – 複数の異なるが固定された型を取ることができる値を保持するために使用されるデータ構造

• 日本数学会『数学事典』第2版、全2巻、伊藤清（編）、MIT Press、マサチューセッツ州ケンブリッジ、1993年。EDM（巻）として引用。