確率過程と境界値問題

数学では、いくつかの境界値問題は確率解析法を使って解くことができます。おそらく最も有名な例は、1944年に角谷静雄がブラウン運動を使ってラプラス作用素のディリクレ問題を解いたことでしょう。しかし、半楕円型の2階偏微分方程式の大きなクラスでは、関連するディリクレ境界値問題は、関連する確率微分方程式を解く伊藤過程を使って解くことができることが判明しています。

を 内の領域（開連結集合）とします。をラプラス演算子、 を境界上の有界関数とし、次の問題を考えます。 ${\displaystyle D}$${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \partial D}$

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=0,&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}}$

解が存在する場合、から始まる標準ブラウン運動に対して、 からの（ランダムな）最初の出口点でのの期待値が であることが示されます。Kakutani 1944、p. 710 の定理 3 を参照してください。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$

を の領域とし、を上の半楕円微分作用素とします。 ${\displaystyle D}$${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L}$${\textstyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}}$

ここで、係数と は連続関数であり、行列のすべての固有値は非負です。 ととします。ポアソン問題を考えます。 ${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \alpha (x)=a_{ij}(x)}$${\textstyle f\in C(D;\mathbb {R} )}$${\textstyle g\in C(\partial D;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{cases}-Lu(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}\quad {\mbox{(P1)}}}$

この問題を解くための確率的方法の考え方は次のとおりです。まず、コンパクトにサポートされた関数上で無限小生成元がと一致する伊藤拡散を 見つけます。たとえば、 は確率微分方程式の解として考えることができます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}}$

ここで はn次元ブラウン運動であり、上記のような成分を持ち、行列場は次のように選択されます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (x)\sigma (x)^{\top }=a(x),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

点 について、 は与えられた初期データの法則を表し、 はに関する期待値を表します。は からの の最初の退出時間を表します。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}=x}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$${\displaystyle \tau _{D}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$

この表記法では、(P1)の候補解は次のようになります。

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\cdot \chi _{\{\tau _{D}<+\infty \}}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

ただし、 は有界関数であり、次の条件を満たすものとする。 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}f(X_{t}){\big |}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty }$

さらにもう 1 つの条件が必要であることがわかります。

${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}{\big (}\tau _{D}<\infty {\big )}=1,\quad \forall x\in D}$

すべての に対して、から始まるプロセスはほぼ確実に有限時間内に終了します。この仮定の下では、上記の候補解は次のようになります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

そして、(P1)を、 (関数上の)の特性演算子を表す場合、次の意味で解きます。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}-{\mathcal {A}}u(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{t\uparrow \tau _{D}}u(X_{t})}=g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )},&\mathbb {P} ^{x}{\mbox{-a.s.,}}\;\forall x\in D\end{cases}}\quad {\mbox{(P2)}}}$

さらに、が(P2)を満たし、すべてのに対してとなる定数が存在する場合: ${\textstyle v\in C^{2}(D;\mathbb {R} )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x\in D}$

${\displaystyle |v(x)|\leq C\left(1+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}g(X_{s}){\big |}\,\mathrm {d} s\right]\right)}$

それから。 ${\displaystyle v=u}$

• 角谷静雄(1944). 「2次元ブラウン運動と調和関数」. Proc. Imp. Acad. Tokyo . 20 (10): 706–714. doi : 10.3792/pia/1195572706 .
• 角谷静雄(1944). 「n空間におけるブラウン運動について」Proc. Imp. Acad. Tokyo . 20 (9): 648–652. doi : 10.3792/pia/1195572742 .
• Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式: 応用入門(第 6 版). ベルリン: Springer. ISBN 3-540-04758-1。（第9節参照）