従属語（数学）

確率論において、従属変数とは、負でない、増分が定常かつ独立である確率過程である。^{[1]従属変数は、}レヴィ過程の特殊なクラスであり、局所時間理論において重要な役割を果たす。^[2]この文脈において、従属変数は、別の確率過程、すなわち従属確率過程における時間の発展を記述する。言い換えれば、従属変数は、与えられた時系列時間単位において従属過程内で発生する「時間ステップ」のランダムな数を決定する。

従属過程であるためには、過程はレヴィ過程^[3]でなければならない。また、ほぼ確実に増加過程^[3]または加法過程^[4] でなければならない。

従属変数は、非負かつレヴィ過程である実数値確率過程で ある。^[1] 従属変数は、以下の特性をすべて備えた確率過程である。 ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$

• ${\displaystyle X_{0}=0}$ ほぼ確実に
• ${\displaystyle X}$は非負であり、すべての${\displaystyle X_{t}\geq 0}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle X}$は定常増分 を持ち、つまり、およびに対して、確率変数の分布は、 およびには依存 せず、のみに依存する。${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle Y_{t,h}:=X_{t+h}-X_{t}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle X}$は独立した増分を持ち、つまりすべてのおよびすべてのに対して、によって定義される確率変数は互いに独立している。${\displaystyle n}$${\displaystyle t_{0} <t_{1} <\dots <t_{n}}$${\displaystyle (Y_{i})_{i=0,\dots ,n-1}}$${\displaystyle Y_{i}=X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}}}$
• のパスはcàdlàgであり、右からどこにでも連続しており、左からの限界はどこにでも存在することを意味します。${\displaystyle X}$

分散ガンマ過程は、ガンマ従属項に従うブラウン運動として記述できます。^[3]ドリフトを伴うブラウン運動、がガンマ過程、 に従うランダムな時間変化の影響を受ける 場合、分散ガンマ過程は次のようになります。 ${\displaystyle W(t)}$${\displaystyle \theta t}$${\displaystyle \Gamma (t;1,\nu )}$

${\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\theta \,\Gamma (t;1,\nu )+\sigma \,W(\Gamma (t;1,\nu )).}$

コーシー過程は、レヴィ従属項に従うブラウン運動として記述できる。^[3]

すべての従属節は次のように記述できる。 ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$

${\displaystyle X_{t}=at+\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }x\;\Theta (\mathrm {d} s\;\mathrm {d} x)}$

どこ

• ${\displaystyle a\geq 0}$はスカラーであり、
• ${\displaystyle \Theta }$は、強度測度 を伴う上の ポアソン過程です。ここではを伴う上の測度であり、 はルベーグ測度です。${\displaystyle (0,\infty )\times (0,\infty )}$ ${\displaystyle \operatorname {E} \Theta =\lambda \otimes \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\max(x,1)\;\mu (\mathrm {d} x)<\infty }$${\displaystyle \lambda }$

この測度は従属項のレヴィ測度と呼ばれ、そのペアは従属項の特性と呼ばれます。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (a,\mu )}$

逆に、任意のスカラーと測度は、上記の関係によって特性を持つ従属項を定義します。 ^{[5] [1]}${\displaystyle a\geq 0}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle \int \max(x,1)\;\mu (\mathrm {d} x)<\infty }$${\displaystyle (a,\mu )}$