Doob のマーチンゲール収束定理

数学 、特に確率過程の理論において 、ドゥーブのマルチンゲール収束定理は、アメリカの数学者ジョセフ・L・ドゥーブにちなんで名付けられた、スーパーマルチンゲールの極限に関する一連の結果です。^[1]非公式には、マルチンゲール収束定理は通常、特定の有界条件を満たす任意のスーパーマルチンゲールは必ず収束するという結果を指します。スーパーマルチンゲールは非増加数列のランダム変数アナログと考えることができます。この観点から、マルチンゲール収束定理は、任意の有界単調数列は収束するという単調収束定理のランダム変数アナログです。非減少数列に類似しているサブマルチンゲールには対称的な結果があります。

離散時間マルチンゲールに対するマルチンゲール収束定理の一般的な定式化は次の通りである。 をスーパーマルチンゲールとする。スーパーマルチンゲールが次の意味で有界であると仮定する。 ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

${\displaystyle \sup _{t\in \mathbf {N} }\operatorname {E} [X_{t}^{-}]<\infty }$

ここで、 は の負の部分であり、 によって定義されます。すると、数列は有限の期待値を持つランダム変数にほぼ確実に収束します。 ${\displaystyle X_{t}^{-}}$${\displaystyle X_{t}}$${\textstyle X_{t}^{-}=-\min(X_{t},0)}$${\displaystyle X}$

正の部分の期待値が制限されているサブマルチンゲールには対称的なステートメントがあります。スーパーマルチンゲールは非増加シーケンスの確率的類似物であり、定理の条件は、シーケンスが下から制限されるという単調収束定理の条件に類似しています。マルチンゲールが制限されているという条件は重要です。たとえば、偏りのないランダム ウォークはマルチンゲールですが、収束しません。 ${\displaystyle \pm 1}$

直感的に、シーケンスが収束しない理由は 2 つあります。無限に伸びるか、振動するかです。有界条件により、前者は起こりません。後者は「ギャンブル」の議論により不可能です。具体的には、時刻 に株価 である株式市場ゲームを考えてみましょう。このゲームで期待利益がプラスになる、常に負でない量の株式を保有しながら、時間の経過とともに株式を売買する戦略はありません。その理由は、過去のすべての情報を考慮すると、各時刻における株価の期待変化は最大でもゼロだからです (スーパーマルチンゲールの定義による)。しかし、価格が収束せずに振動する場合は、期待利益がプラスになる戦略があります。つまり、大まかに言えば、安く買って高く売るということです。この議論は、結果を証明するために厳密に行うことができます。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle X_{t}}$

証明は、スーパーマルチンゲールが一様に有界であるという（より強い）仮定を行うことで簡略化されます。つまり、常にが成り立つような定数が存在します。シーケンスが収束しない場合は、 とは異なります。シーケンスも有界である場合は、となる実数とが存在し、シーケンスは区間を無限に頻繁に横切ります。つまり、シーケンスは最終的に 未満になり、その後 を超え、さらにその後 未満になり、以下同様に無限に続きます。シーケンスが 未満で始まり、その後 を超えるこれらの期間は、「アップクロッシング」と呼ばれます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle |X_{n}|\leq M}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$${\displaystyle \liminf X_{n}}$${\displaystyle \limsup X_{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

株式市場のゲームを考えてみましょう。このゲームでは、時刻 に、価格 で株式を売買できます。一方では、スーパーマルチンゲールの定義から、任意の に対して、このゲームを ステップ プレイした後に、負でない株式量を維持し、正の期待利益が得られる戦略は存在しないことがわかります。他方では、価格が固定間隔を頻繁に横切る場合、次の戦略がうまくいくようです。価格が を下回ったら株式を購入し、価格が を超えたら売却します。確かに、時刻 までのシーケンスでのアップクロッシングの回数が である場合、時刻 での利益は少なくとも です。アップクロッシングごとに少なくとも利益が得られ、最後のアクションが「購入」だった場合、最悪の場合、購入価格は で、現在の価格は です。しかし、どの戦略でも期待利益は最大 であるため、必然的に ${\displaystyle t}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle N\in \mathbf {N} }$${\displaystyle N}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle u_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (b-a)u_{N}-2M}$${\displaystyle b-a}$${\displaystyle a\leq M}$${\displaystyle -M}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}u_{N}{\big ]}\leq {\frac {2M}{b-a}}.}$

期待値の単調収束定理によれば、これは次のことを意味する。

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}\lim _{N\to \infty }u_{N}{\big ]}\leq {\frac {2M}{b-a}},}$

したがって、シーケンス全体で予想される交差の数は有限です。したがって、区間 の無限交差イベントは確率 で発生します。すべての有理数およびの和集合により、確率 で、無限に頻繁に交差する区間は存在しません。すべて に対して、区間 の交差が有限回ある場合、シーケンスの下限と上限は一致するはずなので、シーケンスは収束する必要があります。これは、マルチンゲールが確率 で収束することを示しています。 ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a,b\in \mathbf {Q} }$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle 1}$

上記のマルチンゲール収束定理の条件下では、スーパーマルチンゲールが平均で収束する（つまり、）ということは必ずしも真ではありません。 ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [|X_{n}-X|]=0}$

例として、^{[2] を}を伴うランダムウォークとします。を となる最初の時間とし、を によって定義される確率過程とします。すると はマルチンゲール に関する停止時間となるので、もマルチンゲールであり、停止マルチンゲールと呼ばれます。特に、は下方に有界となるスーパーマルチンゲールであるため、マルチンゲール収束定理により、ほぼ確実にランダム変数 に点ごとに収束します。しかし、の場合には となるので、 はほぼ確実にゼロになります。 ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle X_{0}=1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X_{n}=0}$${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle Y_{n}:=X_{\min(N,n)}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y_{n}>0}$${\displaystyle Y_{n+1}=Y_{n}\pm 1}$${\displaystyle Y}$

これは を意味します。しかし、任意のについて、 はから始まり、その後平均ゼロの動きをするランダムウォークであるため、 です (または、はマルチンゲールであるため、であることにも注意してください)。したがって、 は平均でに収束できません。さらに、 が任意のランダム変数 に平均で収束する場合、いくつかの部分列はほぼ確実に に収束します。したがって、上記の議論により、 はほぼ確実に になり、平均での収束と矛盾します。 ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]=0}$${\displaystyle \operatorname {E} [Y_{n}]=1}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {E} [Y_{n}]=\operatorname {E} [Y_{0}]=1}$${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R=0}$

以下では、はフィルタリングされた確率空間となり、 はフィルタリング に関して右連続スーパーマルチンゲールとなる。言い換えれば、すべての に対して、 ${\displaystyle (\Omega ,F,F_{*},\mathbf {P} )}$${\displaystyle F_{*}=(F_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle N:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbf {R} }$${\displaystyle F_{*}}$${\displaystyle 0\leq s\leq t<+\infty }$

${\displaystyle N_{s}\geq \operatorname {E} {\big [}N_{t}\mid F_{s}{\big ]}.}$

Doob の第一マルチンゲール収束定理は、ランダム変数が点ごとの意味で、つまりサンプル空間内の各変数に対して個別に限界を持つための十分な条件を提供します。 ${\displaystyle N_{t}}$${\displaystyle t\to +\infty }$${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

について、そして、 ${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle N_{t}^{-}=\max(-N_{t},0)}$

${\displaystyle \sup _{t>0}\operatorname {E} {\big [}N_{t}^{-}{\big ]}<+\infty .}$

すると点ごとの極限

${\displaystyle N(\omega )=\lim _{t\to +\infty }N_{t}(\omega )}$

は存在し、ほぼすべてのに対して有限である。^[3]${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

ドゥーブの第 1 マルチンゲール収束定理における収束は点単位であり、一様ではなく、平均二乗収束や任意のL ^p空間における収束とは無関係であることに注意することが重要です。L ¹における収束(つまり、平均における収束)を得るには、ランダム変数の一様積分可能性が必要です。チェビシェフの不等式により、L ¹における収束は確率における収束と分布における収束を意味します。 ${\displaystyle N_{t}}$

以下は同等です:

• ${\displaystyle (N_{t})_{t>0}}$は一様積分可能である、すなわち

${\displaystyle \lim _{C\to \infty }\sup _{t>0}\int _{\{\omega \in \Omega \,\mid \,|N_{t}(\omega )|>C\}}\left|N_{t}(\omega )\right|\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=0;}$

• 積分可能な確率変数が存在し、との両方がほぼ確実にとなる。すなわち、${\displaystyle N\in L^{1}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$${\displaystyle N_{t}\to N}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle L^{1}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|N_{t}-N\right|\right]=\int _{\Omega }\left|N_{t}(\omega )-N(\omega )\right|\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )\to 0{\text{ as }}t\to +\infty .}$

ドゥーブの交差不等式、またはドゥーブの交差補題と呼ばれる次の結果は、ドゥーブのマルチンゲール収束定理を証明する際に使用されます。^[3]「ギャンブル」の議論は、一様有界スーパーマルチンゲールの場合、交差の数が制限されることを示しています。交差補題は、この議論を、負の部分の期待値が制限されているスーパーマルチンゲールに一般化します。

を自然数とする。 をフィルタリングに関するスーパーマルチンゲールとする。、となる 2 つの実数とする。 となる となる、となる分離区間の最大数となるようにランダム変数を定義する。これらは区間 に関するアップクロッシングと呼ばれる。すると ${\displaystyle N}$${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle (U_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle U_{n}}$${\displaystyle [n_{i_{1}},n_{i_{2}}]}$${\displaystyle n_{i_{2}}\leq n}$${\displaystyle X_{n_{i_{1}}}<a<b<X_{n_{i_{2}}}}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle (b-a)\operatorname {E} [U_{n}]\leq \operatorname {E} [(X_{n}-a)^{-}].\quad }$

ここで はの負の部分であり、 によって定義される。^{[4] [5]}${\displaystyle X^{-}}$${\displaystyle X}$${\textstyle X^{-}=-\min(X,0)}$

を連続マルチンゲールとし、 ${\displaystyle M:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \sup _{t>0}\operatorname {E} {\big [}{\big |}M_{t}{\big |}^{p}{\big ]}<+\infty }$

ある に対して となります。すると、 において-ほぼ確実にかつ となるようなランダム変数が存在します。 ${\displaystyle p>1}$${\displaystyle M\in L^{p}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$${\displaystyle M_{t}\to M}$${\displaystyle t\to +\infty }$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$

離散時間マルチンゲールの場合のステートメントは本質的に同一ですが、連続性の仮定が不要になるという明らかな違いがあります。

Doob のマルチンゲール収束定理は、条件付き期待値にも収束特性があることを意味します。

を確率空間とし、を内のランダム変数とする。を の任意のフィルタリングとし、によって生成される最小のσ代数を と定義する。すると、 ${\displaystyle (\Omega ,F,\mathbf {P} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle F_{*}=(F_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{\infty }}$${\displaystyle (F_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{k}{\big ]}\to \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{\infty }{\big ]}{\text{ as }}k\to \infty }$

どちらも- ほぼ確実に、そして で。 ${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle L^{1}}$

この結果は通常、レヴィのゼロ-1 法則またはレヴィの上向き定理と呼ばれます。この名前の由来は、 が内のイベントである場合、定理によれば、ほぼ確実に、つまり確率の極限は 0 または 1 であるからです。平易な言葉で言えば、イベントの結果を決定するすべての情報を徐々に学習していくと、結果がどうなるかが徐々にわかってくるということです。これはほとんどトートロジーのように聞こえますが、結果は依然として自明ではありません。たとえば、この法則は、任意のテール イベントAについて、ほぼ確実に となるため、 となることを述べているため、コルモゴロフのゼロ-1 法則を簡単に示します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle F_{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {P} [A\mid F_{k}]\to \mathbf {1} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} [A]=\mathbf {1} _{A}}$${\displaystyle \mathbf {P} [A]\in \{0,1\}}$

同様に、レヴィの下降定理も成り立ちます 。

を確率空間とし、を 内のランダム変数とする。を のサブシグマ代数の任意の減少列とし、 を交差点と定義する。すると ${\displaystyle (\Omega ,F,\mathbf {P} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle (F_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{k}{\big ]}\to \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{\infty }{\big ]}{\text{ as }}k\to \infty }$

どちらも- ほぼ確実に、そして で。 ${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle L^{1}}$

• 後方マルチンゲール収束定理^[6]

• Øksendal, Bernt K. (2003). 確率微分方程式: 応用入門 (第 6 版). ベルリン: Springer. ISBN 3-540-04758-1。（付録C参照）