濾過（確率論）

確率論の一分野である確率過程論において、フィルター処理とは、ある時点で利用可能な情報をモデル化するために使用される部分集合の完全順序付けされた集合であり、したがって、ランダム（確率的）過程の形式化において重要な役割を果たす。

させて${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$を確率空間とし、${\displaystyle I}$全順序を持つインデックス集合とする${\displaystyle \leq }$（頻繁${\displaystyle \mathbb {N} }$、 $\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$または、$\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$)

すべての${\displaystyle i\in I}$させて$\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$σ代数の部分である${\displaystyle {\mathcal {A}}}$。 それから

${\displaystyle \mathbb {F}$ :=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}

ろ過と呼ばれる場合、$\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }}$すべての人々のために${\displaystyle k\leq \ell }$。したがって、濾過とは、非減少順序で並べられたσ代数の族である。 ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {F} }$濾過の場合、 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)}$これはフィルタリングされた確率空間と呼ばれます。

させて${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$確率空間上の確率過程である${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$。 させて${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$確率変数によって生成されるσ代数を表す${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$。 それから

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$

はσ代数で あり、$\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$これは濾過です。

${\displaystyle \mathbb {F} }$定義上、すべては濾過なので、これは本当に濾過です。${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$σ代数であり、

$\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1).$

これは自然濾過として知られています${\displaystyle {\mathcal {A}}}$に関して${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$。

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• 濾過（数学）
• フィルター（数学）