メビウスの変形

変換の固定点 $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$ は、固定点方程式f ( γ ) = γを解くことによって得られます。c ≠ 0の場合、この方程式を展開すると、2 つの根が得られます。 $${\displaystyle c\gamma ^{2}-(ad)\gamma -b=0\ ,}$$ そして二次方程式の解の公式を適用する。根は $${\displaystyle \gamma _{1,2}={\frac {(ad)\pm {\sqrt {(ad)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(ad)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}}$$ 判別式付き $${\displaystyle \Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc),}$$ 行列 $${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$ は変換を表します。放物線変換は判別式がゼロであるため、固定点が一致します。cがゼロで判別式もゼロでない場合、変換は楕円型または双曲型になります。

c = 0の場合、二次方程式は線形方程式に退化し、変換は線形になります。この場合、固定点の 1 つは無限遠点です。a ≠ dの場合、2 番目の固定点は有限であり、次のように与えられます。 $${\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{a-d}}.}$$

この場合、変換は平行移動、回転、拡大縮小からなる単純な変換になります。 $${\displaystyle z\mapsto \alpha z+\beta .}$$

c = 0かつa = dの場合、両方の固定点は無限遠にあり、メビウス変換は純粋な平行移動に対応する。 $${\displaystyle z\mapsto z+\beta .}$$

位相幾何学的に、（非恒等）メビウス変換が（重複度を持つ）2点を固定するという事実は、球面の オイラー標数が2であることに対応する。$${\displaystyle \chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.}$$

まず、射影線形群PGL(2, K )は厳密に 3-推移的です 。異なる点の任意の 2 つの順序付き 3 つ組に対して、メビウス変換の場合と同様に、一方の 3 つ組を他方の 3 つ組に変換する一意の写像が存在し、同じ代数的証明 (本質的には、この群が 3 次元であるため次元数え上げ) によって証明されます。したがって、少なくとも 3 つの点を固定する写像はすべて恒等写像です。

次に、メビウス群を次のように特定するとわかる。${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )}$任意のメビウス関数は恒等写像とホモトピックである。実際、一般線形群の任意の要素はガウス・ジョルダン消去法によって恒等写像に還元できる。これは射影線形群も経路連結であり、恒等写像とのホモトピーを提供するということを示している。レフシェッツ・ホップの定理は、有限個の不動点を持つ写像の不動点のインデックス（この文脈では多重度）の合計が写像のレフシェッツ数に等しいことを述べている。この場合、レフシェッツ数はホモロジー群上の恒等写像のトレースであり、これは単にオイラー標数である。

対照的に、実射影直線の射影線形群PGL(2, R )は、 例えば点を固定する必要はありません。${\displaystyle (1+x)/(1-x)}$実数固定点はありません。複素変換として ± i ^{[注 1 ]} を固定しますが、写像 2 x は0 と ∞ の 2 点を固定します。これは、円 (実数射影直線) のオイラー標数が 0 であることに対応しており、したがってレフシェッツの固定点定理は、少なくとも 0 点を固定しなければならないが、それ以上の点を固定する可能性があると述べているだけです。

メビウス変換は、いわゆる標準形と呼ばれる不動点を用いて表されることもあります。ここではまず、2つの異なる不動点を持つ非放物型の場合を扱います。

非放物線の場合：

放物線以外の変換はすべて拡大/回転と 共役であり、つまり、次の形式の変換である。$${\displaystyle z\mapsto kz}$$( k ∈ C )は、0 と ∞ に固定点を持つ。これを確認するには、マップを定義する。 $${\displaystyle g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}}$$ これは点 ( γ ₁ , γ _{2 ) を (0, ∞) に送るものです。ここでは、} γ ₁とγ ₂は異なる有限点であると仮定します。どちらか一方が既に無限大にある場合は、g を変更して無限大を固定し、もう一方の点を 0 に送ることができます。

fが異なる固定点 ( γ ₁、γ ₂ ) を持つ場合、変換は${\displaystyle gfg^{-1}}$0と∞に固定点を持つため、拡大縮小である。${\displaystyle gfg^{-1}(z)=kz}$変換fの不動点方程式は次のように書ける 。$${\displaystyle {\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}.}$$

fについて解くと、（行列形式で）次のようになる。 $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}}$$ または、固定点の1つが無限遠にある場合： $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.}$$

上記の式から、固定点における fの導関数を計算することができる。$${\displaystyle f'(\gamma _{1})=k}$$そして$${\displaystyle f'(\gamma _{2})=1/k.}$$

固定点の順序が与えられている場合、 fの乗数 ( k ) の1 つをfの特性定数として区別できることに注意してください。固定点の順序を逆にすることは、特性定数の逆乗数を取ることと同等です。 $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).}$$

等角航路変換において、| k | > 1の場合、γ1_は反発固定点、γ2_は吸引固定点である。| k | < 1の場合は、役割が逆転する。

放物線の場合：

放物線の場合、固定点γは1つだけである。その点を∞に写す変換は $${\displaystyle g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}}$$または、 γが既に無限大の 場合は恒等式。変換${\displaystyle gfg^{-1}}$無限を固定するものであり、したがって翻訳である。 $${\displaystyle gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.}$$

ここで、βは並進長さと呼ばれる。放物線変換の不動点公式は次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .}$$

fについて解くと（行列形式で） $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}} 注意してください ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}(\beta$ ;\gamma )=|{\mathfrak {H}}(\beta  ;\gamma )|=\det {\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}=1-\gamma ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\ベータ ^{2}=1}

γ = ∞ の場合： $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}}

βはfの特性定数ではないことに注意してください。放物線変換の場合、特性定数は常に1です。上記の式から、以下を計算できます。 $${\displaystyle f'(\gamma )=1.}$$

もし${\displaystyle c\neq 0}$、 させて：

• ${\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c\quad }$（ d / cによる翻訳）
• ${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{z}}\quad }$（実軸に関する反転と鏡映）
• ${\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad }$（相似変換と回転）
• ${\displaystyle f_{4}(z)=z+a/c\quad }$(翻訳：a / c )

これらの関数は合成することができ、もし $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$ 1つは $${\displaystyle f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.}$$ 言い換えれば、 $${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},}$$ と $${\displaystyle e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.}$$

この分解によって、メビウス変換の多くの性質が明らかになる。

逆メビウス変換の存在とその明示的な公式は、より単純な変換の逆関数の合成によって容易に導出できます。つまり、各g _iがf _iの逆関数となるような関数g ₁、g ₂、g ₃、g ₄を定義します。すると、合成 によって$${\displaystyle g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}$$ 逆関数の公式を示す。

この分解から、メビウス変換は円反転の非自明な性質をすべて引き継ぐことがわかります。例えば、角度の保存は、円反転が角度を保存することを証明することに帰着します。なぜなら、他の種類の変換は拡大縮小と等長変換（平行移動、鏡映、回転）であり、これらは自明に角度を保存するからです。

さらに、メビウス変換は、円反転がこの性質を持つため、一般化された円を一般化された円に写像します。一般化された円とは、円または直線のいずれかであり、後者は無限遠点を通る円とみなされます。メビウス変換は必ずしも円を円に、直線を直線に写像するとは限らず、両者を混在させる場合があることに注意してください。円を別の円に写像する場合でも、最初の円の中心を2番目の円の中心に写像するとは限りません。

交差比はメビウス変換の下で不変です。つまり、メビウス変換が4つの異なる点を写像する場合、${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$4つの異なるポイントへ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}$それぞれ、そして $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.}$$

ポイントのいずれかが${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$が無限遠点である場合、交差比は適切な極限を取ることによって定義されなければなりません。たとえば、交差比は${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\infty }$は $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.}$$

4つの異なる点の交差比が実数となるのは、それらを通る直線または円が存在する場合に限る。これは、メビウス変換が一般化された円を保存することを示すもう一つの方法である。

2点z ₁とz _{2は、一般化円}Cに関して共役であるとは、 z ₁とz ₂を通り、 C を2 点でaとbで切断する一般化円Dが与えられたとき、( z ₁ , z ₂ ; a , b )の交比が調和的である(つまり、交比が -1 である) 場合をいう。この性質は、円Dの選択に依存しない。この性質は、直線または円に関して対称であるとも呼ばれることがある。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

2点zとz ^{*は、直線に関して}対称である場合、直線に関して共役である。2点は、円に関して反転させることで交換できる場合、円に関して共役である。

点z ^{∗ は}、点z _{0において}e ^iθに基づくベクトルによって決定される直線Lの場合、 zと共役である。これは明示的に次のように表すことができる。 $${\displaystyle z^{*}=e^{2i\theta }\,{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.}$$

Cが半径rの円で、 z ₀を中心とする場合、点z ^∗はzと共役である。これは明示的に次のように表すことができる。 $${\displaystyle z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}.}$$

メビウス変換は一般化された円と交差比を保存するため、共役も保存する。

PGL(2, C )の複素射影直線CP ¹への自然作用は、メビウス群のリーマン球面への自然作用と全く同じである。

任意の体Kに対して、射影線形自己同型群PGL(2, K )を分数線形変換群と同一視することも同様に可能である。これは広く用いられており、例えば実数直線のホモグラフィの研究や光学におけるその応用などに利用されている。

分割すると${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$行列式の平方根によって、行列式が 1 の行列が得られる。これにより、特殊線形群SL(2, C )からPGL(2, C )への全射群準同型が誘導され、${\displaystyle \pm I}$その核として。

これにより、メビウス群が半単純かつ非コンパクトである 3 次元複素リー群(または 6 次元実リー群) であり、SL(2, C ) がPSL(2, C )の二重被覆であることを示すことができます。SL (2, C )は単連結であるため、メビウス群の普遍被覆であり、メビウス群の基本群はZ ₂です。 

3つの異なる点のセットが与えられた${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$リーマン球面上と、異なる点の第二の集合⁠${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$メビウス変換は正確に1つだけ存在する。${\displaystyle f(z)}$と${\displaystyle f(z_{j})=w_{j}}$のために⁠${\displaystyle j=1,2,3}$（言い換えれば、メビウス群のリーマン球面への作用は厳密に3-推移的である。）それを決定する方法はいくつかある。${\displaystyle f(z)}$与えられた点の集合から。

行列によって定義される非恒等メビウス変換${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$行列式が放物線状であると言われるのは、 $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4}$$ （したがってトレースはプラスまたはマイナス2になります。特定の変換ではどちらも発生する可能性があります。${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$署名するまでしか決定されません）。実際、選択肢の 1 つは${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$メビウス変換は、単位行列と同じ特性多項式X ² − 2 X + 1を持ち、したがって単冪行列である。メビウス変換が放物線状であるのは、拡張複素平面上にちょうど 1 つの不動点を持つ場合のみである。${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$これは、行列共役によって定義できる場合に限り発生します。$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$ これは複素平面における平行移動を表す。

与えられた固定点を持つ放物線メビウス変換の集合${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$は、恒等式とともに、行列群と同型な 部分群を形成する。$${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\mid b\in \mathbb {C} \right\};}$$これは、ボレル部分群（メビウス群、または行列群の場合はSL(2, C )）の単冪根基 の例です。この概念は任意の簡約リー群に対して定義されます。

非放物線変換はすべて2つの固定点を持ち、行列共役によって定義されます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}$$ 複素数λは0、1、または-1と等しくなく、複素数k = λ ²を乗じることによる拡大/回転に対応し、kは変換の特性定数または乗数と呼ばれます。

変換が行列で表現できる場合、その変換は楕円型であると言われる。${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$行列式1の $${\displaystyle 0\leq \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}<4.}$$

変換が楕円型であるのは、| λ | = 1かつλ ≠ ±1の場合に限る。${\displaystyle \lambda =e^{i\alpha }}$楕円変換は、 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$$αは実数 である。

いかなる場合でも${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$特性定数kを持つ特性定数${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}}$k ⁿです。したがって、有限位数のメビウス変換はすべて楕円変換であり、 λ が1 の根である場合、または同等にαがπの有理数倍である場合です。分数倍の最も単純な可能性はα = π /2であり、これはまた、唯一のケースでもあります。${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=0}$は、円形変換。これは幾何学的には2つの固定点を中心とした180°回転に対応します。このクラスは行列形式で次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$ {0, 1, ∞}を固定する代表点は3つあり、これらはこれら3点の対称群における3つの転置である。${\displaystyle 1/z,}$これは1を固定し、0を∞と交換します（点1と-1を中心とした180°の回転）。${\displaystyle 1-z}$これは、∞を固定し、0を1と入れ替える（点1/2と∞を中心とした180°回転）ものであり、${\displaystyle z/(z-1)}$これは0を固定し、1を∞と入れ替える（0と2の点を中心に180°回転する）。

変換が行列で表現できる場合、その変換は双曲的であると言われる。${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$その痕跡は実在し、 $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.}$$

変換が双曲的であるのは、λが実数であり、λ ≠±1である場合に限る。

変換がロクソドロミックであるとは、${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}}$は[0, 4]に含まれない。変換がロクソドロミックであるのは、次の場合に限る。${\displaystyle |\lambda |\neq 1}$。

歴史的に、等角航路または航行線による航行とは、一定の方位角を保つ航路を指します。その結果得られる航路は対数螺旋であり、等角航路メビウス変換によって複素平面が変形される形状に似ています。下の幾何学的図形を参照してください。

実数上（係数が実数でなければならない場合）、非双曲ロクソドローム変換は存在せず、実円錐曲線と同様に、楕円、放物線、双曲に分類されます。この用語は、トレースの絶対値の半分、|tr|/2 を変換の離心率 とみなすことに由来します。2 で割ることで次元が補正されるため、単位の離心率は 1 になります (この理由から、トレースの代替として tr/ nが使用されることがあります)。また、絶対値は、PSL で作業しているためトレースが ±1 の係数までしか定義されないことを補正します。あるいは、上記のように、トレースの二乗の半分を離心率の二乗の代用として使用することもできます。これらの分類 (ただし、二乗と絶対値が異なるため、正確な離心率の値は一致しません) は、実数トレースでは一致しますが、複素数トレースでは一致しません。SL(2, R ) (2重被覆)の要素の分類にも同じ用語が用いられ、他の箇所でも同様の分類が用いられている。ロクソドローム変換は本質的に複雑な現象であり、複雑な離心率に対応する。

ρ = 0の場合、固定点は引力も斥力もなく、どちらにも偏らず、この変換は楕円変換と呼ばれます。これらの変換は、すべての点を2つの固定点の周りを円を描くように移動させる傾向があります。固定点の1つが無限遠にある場合、これは点の周りのアフィン回転を行うことと同等です。

任意の楕円メビウス変換によって生成される1パラメータ部分群を取ると、連続変換が得られ、その部分群内のすべての変換は同じ2点を固定します。他のすべての点は、リーマン球面上の2つの固定点の間に入れ子になった円の族に沿って流れます。一般に、2つの固定点は任意の異なる2点になり得ます。

これには重要な物理的解釈があります。ある観測者が一定の角速度で軸を中心に回転していると想像してみてください。すると、2つの固定点を天球の北極と南極とすることができます。夜空の見え方は、固定点0、∞、およびαを観測者の一定の角速度に対応する数として共有する楕円変換の1パラメータ部分群によって記述される方法で、正確に連続的に変化します。

以下に、リーマン球面（平面への立体投影後）に対する楕円メビウス変換の効果を示す図をいくつか示します。

これらの図は、単一のメビウス変換の効果を示しています。この変換によって生成される1パラメータ部分群は、図に示されている円弧の族に沿って点を連続的に移動させます。

αがゼロ（または2πの倍数）の場合、その変換は双曲変換であると言われます。これらの変換は、ある固定点から別の固定点へと円軌道に沿って点を移動させる傾向があります。

双曲型メビウス変換によって生成される1パラメータ部分群を取ると、連続変換が得られ、その部分群内のすべての変換は同じ2点を固定します。他のすべての点は、最初の固定点から離れて2番目の固定点に向かう特定の円弧の族に沿って流れます。一般に、この2つの固定点は、リーマン球面上の任意の異なる2点になり得ます。

これにも重要な物理的解釈がある。観測者が天球上で北極の方向に（一定の加速度で）加速していると想像してみよう。すると、夜空の見え方は、固定点0と∞を共有する双曲変換の1パラメータ部分群によって記述される通りの形で変化する。ここで、ρは観測者の加速度ベクトルの大きさに対応する実数である。星々は経度に沿って、南極から北極に向かって移動しているように見える。（経度は、球面から平面への立体投影では円弧として現れる。）

以下に、双曲型メビウス変換がリーマン球面（平面への立体投影後）に及ぼす影響を示す図をいくつか示します。

これらの図は、固定点に位置する正電荷と負電荷の電界線に似ている。なぜなら、円形の流線が2つの固定点の間で一定の角度をなしているからである。

ρとαの両方がゼロでない場合、その変換はロクソドロミック変換と呼ばれる。これらの変換は、すべての点を一方の固定点から他方の固定点までS字型の経路に沿って移動させる傾向がある。

「ロクソドローム」という言葉は、ギリシャ語の「λοξος (loxos)、斜めの+ δρόμος (dromos)、コース」に由来します。一定の方位で航行する場合、例えば北東の針路を維持すれば、最終的には対数螺旋を描いて北極の周りを航行することになります。メルカトル図法では、北極と南極は無限遠に投影されるため、このようなコースは直線になります。ロクソドロームが経線に対してなす角度（つまり、その傾斜、螺旋の「​​きつさ」）は、kの引数です。もちろん、メビウス変換の2つの固定点は、北極と南極だけでなく、どこにでも存在し得ます。しかし、ロクソドローム変換は、そのようなロクソドロームに沿ってすべての点を移動させる変換と共役になります。

任意のロクソドロミック・メビウス変換によって生成される1パラメータ部分群を取ると、連続変換が得られ、その部分群内のすべての変換は同じ2点を固定します。他のすべての点は、最初の固定点から離れて2番目の固定点に向かう特定の曲線族に沿って流れます。双曲の場合とは異なり、これらの曲線は円弧ではなく、球面から平面への立体投影の下で、一方の固定点の周りを反時計回りに無限回、もう一方の固定点の周りを時計回りに無限回ねじれる螺旋曲線として現れる特定の曲線です。一般に、2つの固定点は、リーマン球面上の任意の異なる2点です。

2 つの固定点が 0、∞ の場合の物理的な解釈は、おそらく推測できるでしょう 。ある軸を中心に回転（一定の角速度で）しながら同じ軸に沿って移動する観測者は、固定点が 0、∞ であり、 ρとαがそれぞれ実際の線速度と角速度の大きさによって決定される、1 つのパラメータを持つ等角投影変換のサブグループに従って、夜空の見え方が変化するのを目にするでしょう。

これらの画像は、リーマン球面に立体投影されたメビウス変換を示しています。特に注目すべきは、球面に投影した場合、固定点が無限遠にある特殊なケースは、固定点が任意の位置にある場合と見た目が全く同じであるということです。

メビウス群とローレンツ群の同型性は、複数の著者によって指摘されている。双曲幾何学とメビウス幾何学に関連する保型関数に関するフェリックス・クライン（1893、1897）^{[ 11 ]}の以前の研究に基づいて、グスタフ・ヘルグロッツ（1909）^{[ 12 ]}は、単位球をそれ自身に変換する双曲運動（すなわち双曲空間の等長自己同型）がローレンツ変換に対応することを示し、ヘルグロッツはそれによって1パラメータのローレンツ変換をロクソドロミック群、楕円群、双曲群、放物群に分類することができた。その他の著者には、エミール・アルティン（1957年）^{[ 13 ]} 、 HSM コクセター（1965年）^{[ 14 ]}、ロジャー・ペンローズ、ヴォルフガング・リンドラー（1984年）^{[ 15 ]} 、トリスタン・ニーダム（1997年）^{[ 16 ]}、WM オリビア（2002年）^{[ 17 ]などがいる。}

ミンコフスキー空間は、実数の順序付き四つ組( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ )の空間と二次形式からなる4 次元実座標空間R ^{4で構成される。}$${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$$

特殊相対性理論の用語を借りて、Q > 0の点は時間的であると考えられ、さらにx ₀ > 0の場合、その点は未来指向的と呼ばれます。Q < 0の点は空間的と呼ばれます。ヌル円錐S はQ = 0の点から構成され、未来ヌル円錐N ^{+はヌル円錐上の}x ₀ > 0の点です。天球は、 N ⁺内の光線の集合と同一視され、その始点はR ⁴の原点です。正の行列式を持ち、二次形式Qを保存し、時間方向を保存するR ⁴上の線形変換の集合は、制限ローレンツ群SO ⁺ (1, 3)を形成します。

天球の幾何学に関連して、変換群SO ⁺ (1, 3)は、球のメビウス変換群PSL(2, C )と同一視される。各( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ⁴に対して、エルミート行列を対応させる。$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}.}$$

行列Xの行列式はQ ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ )に等しい。特殊線形群は、このような行列の空間に作用する。

各A ∈ SL(2, C )に対して、このSL(2, C )の作用はdet A = 1であるためXの行列式を保存します。X の行列式は二次形式Qと同一視されるため、SL(2, C )はローレンツ変換によって作用します。次元の観点から、SL(2, C )はSO(1, 3)の単位元の近傍をカバーします。SL (2, C )は連結であるため、制限ローレンツ群SO ⁺ (1, 3)全体をカバーします。さらに、作用 ( 1 ) の核は部分群{± I }であるため、商群に移行すると群同型が得られます。

ここで、 ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ )が零行列の場合に注目すると、行列X の行列式はゼロとなり、したがって複素 2 ベクトルξとその複素共役の外積として分解されます。

2成分ベクトルξは、( 1 )と互換性のある方法でSL(2, C )によって作用される。これで、エルミート行列上のSL(2, C )の表現の核が{± I }であることが明らかになった。

PSL(2, C )の天球への作用は、立体投影を用いて幾何学的に記述することもできる。まず、 R ^4内のx ₀  = 1で与えられる超平面を考える。 天球は、この超平面と将来のヌル円錐N ^{+との交点である球}S ⁺と同一視できる。この球の北極(1, 0, 0, 1)から平面x ₃ = 0への立体投影では 、座標(1, x ₁ , x ₂ , x ₃ )を持つ点が得られる。$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}$$ 要点を言うと $${\displaystyle \left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right).}$$

複素座標 の導入$${\displaystyle \zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}},}$$ 逆立体投影により、S ⁺上の点( x ₁ , x ₂ , x ₃ )に対して次の式が得られます。

SO ⁺ (1, 3)のN ⁺の点への作用は超平面S ^{+ を保存しませんが、} S ⁺の点に作用し、結果を再びS ^{+に再スケーリングすると、} SO ⁺ (1, 3)の球面への作用が得られ、これは複素変数ζへの作用に相当します。実際には、この作用は分数線形変換によるものですが、この天球の表現からは容易には分かりません。逆に、ζ変数の任意の分数線形変換は、適切な (一意に決定される) 再スケーリングの後、N ⁺上の一意のローレンツ変換に相当します。

立体投影のより不変な記述で、その作用をより明確に理解するためには、変数ζ = z : w を複素射影線CP ¹の同次座標のペアの比として考える必要がある。立体投影は、実数スケーリングに関して次数が 2 の同次であるC ² − {0}からN ⁺への変換に移行する。

これは、スケールに制限すると（4 ）と一致する。${\displaystyle z{\bar {z}}+w{\bar {w}}=1.}$（ ５ ）の成分は、外積から得られる成分と全く同じである。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}.}$$

^{要約すると、制限ローレンツ群 SO +} (1,3)の作用は、メビウス群PSL(2, C )の作用と一致します。このことから、次の定義が導かれます。次元n ≥ 2において、メビウス群Möb( n ) は、円球S ⁿから自身への向きを保存するすべての共形等長変換の群です。共形球をミンコフスキー空間R ^1,n+1のヌル円錐の未来方向光線の空間として実現すると、Möb( n ) は、正の行列式を持ち、時間の方向を保存するローレンツ変換の制限ローレンツ群 SO ⁺ (1, n +1) と同型になります。

コクセターは代わりに、同等の二次形式から始めた。${\displaystyle Q(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}$⁠ .

彼はローレンツ群を、{ x | Q( x ) = −1}が安定である変換と同一視した。そして彼はxを解釈した。を同次座標とし 、{ x | Q( x ) = 0}をヌル錐とし、点{ x | Q( x ) < 0}の双曲空間に対するケイリー絶対値とした。次に、コクセターは変数を導入した。 $${\displaystyle \xi ={\frac {x_{1}}{x_{4}}},\ \eta ={\frac {x_{2}}{x_{4}}},\ \zeta ={\frac {x_{3}}{x_{4}}}}$$ したがって、ローレンツ不変な二次曲面は球面に対応する。${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1}$コクセターは、フェリックス・クラインもこの対応関係について記述しており、 (0, 0, 1)から複素平面への立体射影を適用していると指摘している。${\textstyle z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}.}$コクセターは、反転平面の円が双曲空間の平面を表すという事実を利用し、一般ホモグラフィは2つまたは4つの円における反転の積であり、これは2つまたは4つの平面における反転の積である一般双曲変位に対応することを示しました。

上記のように、メビウス群PSL(2, C )は、ミンコフスキー空間上で、原点、空間の向き、および時間の方向を保存する等長変換の群として作用します。正の光円錐内のQ = 1となる点（双曲 3 次元空間H ³のモデルを形成する）に限定すると、メビウス群はH ³上で向きを保存する等長変換の群として作用することがわかります。実際、メビウス群は双曲 3 次元空間の向きを保存する等長変換の群に等しくなります。ポアンカレ球モデルを使用し、 R ³の単位球をH ³と同一視すると、リーマン球面をH ³の「等角境界」と考えることができます。H ³の向きを保存するすべての等長変換は、リーマン球面上のメビウス変換を生み出し、その逆もまた同様です。